Б) они не имеют общих точек и лежат в одной плоскости. В) Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Тема урока: Перпендикулярность прямой и плоскости
Тип урока: Изучение и первичное закрепление новых знаний
Цели урока:
1. Образовательные:
рассмотреть определение перпендикулярных прямых;
ввести понятие прямой, перпендикулярной к плоскости;
изучить признак перпендикулярности прямой и плоскости;
научить решать задачи на доказательство;
формировать умения и навыки читать и строить чертежи пространственных конфигураций, пространственных фигур к задачам.
2. Развивающие:
развивать пространственное воображение учащихся при решении геометрических задач, геометрическое мышление, интерес к предмету, познавательную и творческую деятельность учащихся, математическую речь, память, внимание;
учить учащихся самостоятельно добывать знания.
Методы обучения: словесный, наглядный, деятельностный.
Формы обучения: коллективная
Ход и содержание урока:
Организационный этап
Этап актуализации знаний
Тест по теме «Параллельность прямых и плоскостей в пространстве»
Вариант 1.

1. Пересечением двух плоскостей является
А) точка Б) прямая В) отрезок
2. Сколько должно быть общих точек у прямой с плоскостью, чтобы она лежала в этой плоскости?
А) одна Б) две В) три
3. На сколько множеств разбивает пространство любая плоскость?
А) на два Б) на три В) на четыре
4. Чтобы задать единственную плоскость необходимо
А) две точки Б) три точки
В) три точки, не лежащие на одной прямой
5. Какие из перечисленных фигур задают единственную плоскость в пространстве?
А) две параллельные прямые
Б) две скрещивающиеся прямые
В) три точки
6. Сколько плоскостей задают две пересекающиеся прямые?
А) одну плоскость
Б) две плоскости
В) бесконечно много плоскостей
7. Через какие из перечисленных фигуры можно провести единственную плоскость?
А) Через три точки
Б) Через прямую и не лежащую на ней точку
В) Через отрезок
8. Две прямые пересекаются. Что это значит?
А) Они имеют две общие точки.
Б) Они имеют одну общую точку.
В) Они лежат в одной плоскости.
9. Две прямые называются скрещивающимися, если
А) они не имеют общих точек и не лежат в одной плоскости.
Б) они не имеют общих точек.
В) они имеют одну общую точку.
10. Две прямые в пространстве называются параллельными, если
А) они не имеют общих точек.
Б) они не имеют общих точек и лежат в одной плоскости. В) они не имеют общих точек, и не существует проходящей через них плоскости.
11. Прямая и плоскость не имеют общих точек. Это значит, что
А) они параллельны.
Б) они пересекаются.
В) они скрещиваются.
12. Прямая и плоскость имеют только одну общую точку. Это значит, что
А) они параллельны.
Б) они пересекаются.
В) они скрещиваются.
13. Если две плоскости не имеют общих точек, то они
А) параллельны.
Б) пересекаются.
В) скрещиваются.
14. Две плоскости пересекаются. Это значит, что
А) они имеют одну общую точку.
Б) они имеют общую прямую.
В) они имеют общий луч.
15. Укажите свойства параллельных плоскостей
А) Две прямые параллельные третьей прямой, параллельны
Б) Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны.
В) Отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя параллельными
плоскостями, равны
16. Прямолинейные отрезки фигуры изображаются на плоскости чертежа
А) прямыми
Б) отрезками
В) лучами
17. Укажите признак параллельности прямой и плоскости
А) Две прямые параллельные третьей прямой, параллельны
Б) Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны
двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
В) Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой
в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.
18. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Указать скрещивающиеся прямые с прямой CD. Указать прямые, параллельные прямой ВС.

Тест по теме: «Параллельность прямых и плоскостей в пространстве»
Вариант 2.

1. Сколько должно быть общих точек у прямой с плоскостью, чтобы она лежала в этой плоскости?
А) одна Б) две В) три
2. Что является пересечением двух плоскостей
А) прямая Б) отрезок В) точка
3. На сколько множеств разбивает пространство любая плоскость?
А) на три Б) на четыре В) на два
4. Сколько плоскостей задают две пересекающиеся прямые?
А) две плоскости
Б) одну плоскость
В) бесконечно много плоскостей
5. Какие из перечисленных фигур задают единственную плоскость в пространстве?
А) три точки
Б) две скрещивающиеся прямые
В) две параллельные прямые
6. Чтобы задать единственную плоскость необходимо
А) две точки Б) три точки
В) три точки, не лежащие на одной прямой
7. Через какие из перечисленных фигуры можно провести единственную плоскость?
А) Через три точки
Б) Через прямую и не лежащую на ней точку
В) Через отрезок
8. Две плоскости пересекаются. Это значит, что
А) они имеют одну общую точку.
Б) они имеют общую прямую.
В) они имеют общий луч.
9. Две прямые называются скрещивающимися, если
А) они не имеют общих точек и не лежат в одной плоскости.
Б) они не имеют общих точек.
В) они имеют одну общую точку.
10. Две прямые в пространстве называются параллельными, если
А) они не имеют общих точек.
Б) они не имеют общих точек и лежат в одной плоскости. В) они не имеют общих точек, и не существует проходящей через них плоскости.
11. Прямая и плоскость не имеют общих точек. Это значит, что
А) они параллельны.
Б) они пересекаются.
В) они скрещиваются.

12. Свойства параллельных плоскостей
А) Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны.
Б) Две прямые параллельные третьей прямой, параллельны
В) Отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя параллельными
плоскостями, равны
13. Прямая и плоскость имеют только одну общую точку. Это значит, что
А) они параллельны.
Б) они пересекаются.
В) они скрещиваются.
14. Две прямые пересекаются. Что это значит?
А) Они имеют две общие точки.
Б) Они лежат в одной плоскости.
В) Они имеют одну общую точку.

15. Если две плоскости не имеют общих точек, то они
А) скрещиваются.
Б) параллельны.
В) пересекаются.

16. Прямолинейные отрезки фигуры изображаются на плоскости чертежа
А) лучами
Б) прямыми
В) отрезками
17. Укажите признак параллельности плоскостей
А) Две прямые параллельные третьей прямой, параллельны
Б) Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны
двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
В) Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой
в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.
18. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Указать скрещивающиеся прямые с прямой ВС.
Указать прямые, параллельные прямой
АА1.



Этап объяснения нового материала
Две прямые в пространстве называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90°. Перпендикулярность прямых а и b обозначается так: a(b. Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися. На рисунке 43 перпендикулярные прямые а и Ь пересекаются, а перпендикулярные прямые а и с скрещивающиеся. Докажем лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой.
Лемма
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

· Доказательство
Пусть а || b и a ( с. Докажем, что b( с. Через произвольную точку М пространства, не лежащую на данных прямых, проведем прямые МА и МС, параллельные соответственно прямым а и с (рис. 44). Так как а ( с, то (AMC = 90°.
По условию b|| а, а по построению а || МА, поэтому b || МА. Итак, прямые b и с параллельны соответственно прямым МА и МС, угол между которыми равен 90°. Это означает, что угол между прямыми b и с также равен 90°, т. е. b( с. Лемма доказана.

Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости
Определение: прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Перпендикулярность прямой а и плоскости ( обозначается так: а( (.
Если прямая а перпендикулярна к плоскости (, то она пересекает эту плоскость. В самом деле, если бы прямая а не пересекала плоскость (, то она или лежала бы в этой плоскости, или была бы параллельна ей. Но тогда в плоскости ( имелись бы прямые, не перпендикулярные к прямой а, например прямые, параллельные ей, что противоречит определению перпендикулярности прямой и плоскости. Значит, прямая а пересекает плоскость (.
На рисунке 45 изображена прямая а, перпендикулярная к плоскости (.
Привести примеры из окружающей среды перпендикулярности прямой и плоскости

Теоремы, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости
Теорема 1
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
Теорема 2
Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.
Доказательство
Рассмотрим прямую а, которая перпендикулярна к прямым р и q, лежащим в плоскости ( и пересекающимся в точке О (рис. 48, а). Докажем, что а((. Для этого нужно доказать, что прямая а перпендикулярна к произвольной прямой т плоскости (.
Рассмотрим сначала случай, когда прямая а проходит через точку О (рис. 48, б). Проведем через точку О прямую l, параллельную прямой т (если прямая т проходит через точку О, то в качестве l возьмем саму прямую т). Отметим на прямой а точки А и В так, чтобы точка О была серединой отрезка АВ, и проведем в плоскости ( прямую, пересекающую прямые р, q и l соответственно в точках Р, Q и L. Будем считать для определенности, что точка Q лежит между точками Р и L (рис. 48, б).
Так как прямые р и q серединные перпендикуляры к отрезку АВ, то АР = BP и AQ = BQ. Следовательно,
·APQ =
·BPQ по трем сторонам. Поэтому (APQ = (BPQ.
Сравним треугольники APL и BPL. Они равны по двум сторонам и углу между ними (АР = BP, PL общая сторона, (APL = (BPL), поэтому AL = BL. Но это означает, что треугольник ABL равнобедренный и его медиана LO является высотой, т. е. l ( a. Так как l ( a и m ( a, то m ( a (по лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей). Итак, прямая а перпендикулярна к любой прямой m плоскости (, т. е a ( (.
Рассмотрим теперь случай, когда прямая а не проходит через точку О. Проведем через точку О прямую a1, параллельную прямой а. По упомянутой лемме a1 ( p и a1 ( q, поэтому по доказанному в первом случае а1 ( (. Отсюда (по первой теореме п. 16) следует, что a ( (. Теорема доказана.
Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости

Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

Этап первичного закрепления знаний
№ 122. Прямая CD перпендикулярна к плоскости правильного треугольника ABC. Через центр О этого треугольника проведена прямая ОК, параллельная прямой CD. Известно, что АВ=16(3 см, ОК=12 см, CD=16 см.
Решение:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
№ 199
Прямая OA перпендикулярна к плоскости ОВС, и точка О является серединой отрезка AD. Докажите, что: а) АВ = DB; б) АВ =АС, если ОВ == ОС; в) ОВ = ОС, если АВ = АС.





















Этап домашнего задания
§1, № 121, 122
Этап рефлексии
Оцени свое настроение на уроке и выбери цифру соответствующего кружочка









Рис. 43

a

с

b

Рис. 44

а)

б)

Рис. 47



15

Приложенные файлы

  • doc 3358330
    Размер файла: 317 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий