Тогда по первому признаку ?ABC?A1B1C1. Тогда по второму признаку ?ACO?A1C1O1.


Второй признак равенства треугольников
(Г. 7-9; Глава II, § 3, п. 19),
урок решения ключевых задач
Анализ теоретического материала:
Второй признак равенства треугольников. Теорема: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Теорема дана в условной форме. Доказательство основано на определении равных треугольников и используется прием наложения одного треугольника на другой (этот прием был использован при доказательстве первого признаке равенства треугольников). Теорема, обратная данной, верна.
Историческая справка: Признаки равенства треугольников имели издавна важнейшее значение в геометрии, так как доказательства многочисленных теорем сводилось к доказательству равенства тех или иных треугольников. Доказательством признаков равенства треугольников занимались еще пифагорейцы. По словам Прокла, Евдем Родосский приписывает Фалесу Милетскому доказательство о равенстве двух треугольников, имеющих равными сторону и два прилежащих к ней угла (второй признак равенства треугольников).

Эту теорему Фалес использовал для определения расстояния от берега до морских кораблей. Каким способом пользовался при этом Фалес, точно не известно. Предполагают, что его способ состоял в следующем: пусть A – точка берега, B – корабль на море. Для определения расстояния AB восстанавливают на берегу перпендикуляр произвольной длины AC AB; в противоположном направлении восстанавливают CE AC так, чтобы точки D (середина AC), B и E находились на одной прямой. Тогда CE будет равна искомому расстоянию AB. Доказательство основывается на втором признаке равенства треугольников (DC = DA; С = A; EDС = BDA как вертикальные).
Данная тема является важной в разделе геометрии, ведь признаки равенства треугольников применяются на протяжении всего курса геометрии; способствует формированию умения доказывать равенство данных треугольников, опираясь на изученные признаки, т.е. выделять равенство трёх соответствующих элементов данных треугольников и делать ссылки на изученные признаки.

Анализ задачного материала:
Одношаговые задачи на доказательство равенства треугольников.
№121 (а).
Отрезки AB и CD пересекаются в середине O отрезка AB, ∠OAD=∠OBC. Докажите, что △CBO=△DAO.
-15621020955Решение:
Рассмотрим △CBO и △DAO. AO=OB (по условию), ∠OAD=∠OBC (по условию), ∠AOD=∠COB (как вертикальные), тогда по второму признаку △CBO=△DAO.
№122 (а).
На рисунке ∠1=∠2, ∠3=∠4. Докажите, что △ABC=△CDA.
152403810Решение:
Рассмотрим △ABC и △CDA. AC – общая сторона, ∠1=∠2 (по условию), ∠3=∠4 (по условию), тогда по второму признаку △ABC=△CDA.
Двушаговые задачи на нахождение сторон.
№121 (б).
Отрезки AB и CD пересекаются в середине O отрезка AB, ∠OAD=∠OBC. Найдите BC и CO, если CD=26 см, AD=15см.
Решение:
Т.к. △CBO=△DAO ( по второму признаку), тогда по определению равных треугольников: CO=OD, AD=CB, ∠C=∠D. CD=CO+OD, отсюда CO=26:2=13 см. AD=CB=15см.
№122 (б).
На рисунке ∠1=∠2, ∠3=∠4. Найдите AB и BC, если AD=19 см, CD=11 см.
Решение:
Т.к. △ABC=△CDA (по второму признаку), тогда из определения равных треугольников следует, что AB=CD=11 см, AD=BC=19 см.
№126.
На рисунке ∠DAB=∠CBA, ∠CAB=∠DBA, AC=13 см. Найдите BD.
15240-635Решение:
Рассмотрим △ACB и △ADB: ∠CAB=∠DBA ( поусловию), ∠DAB=∠CBA (по условию), AB – общая сторона. Тогда △ACB=△ADB по второму признаку. Из определения равенства треугольников следует, что AC=DB, CB=AD. Следовательно, AC=13 см, DB=13 см.
Двушаговая задача на доказательство равенства отрезков и углов.
№123.
15240383540На биссектрисе угла A взята точка D, а на сторонах этого угла – точки B и C такие, что ∠ADB=∠ADC. Докажите, что BD=CD.
Решение:
Рассмотрим △ADB и △ADC. ∠BAD=∠CAD (по условию), ∠BDA=∠ADC (по условию), AD – общая сторона. Тогда по второму признаку △ADB=△ADC, а из определения равных треугольников BD=CD.
№124.
По данным рисункадокажите, что OP=OT, ∠P=∠T.
152404445Решение:
Рассмотрим △BPO и △CTO: BO=OC (по условию), ∠B=∠C=90∘ (по условию), ∠POB=∠COT (как вертикальные). Тогда по второму признаку △BPO=△CTO. Из определения равных треугольников, следует, что BP=CT, PO=OT, ∠P=∠T.
№125.
На рисунке ∠DAC=∠DBC, AO=BO. Докажите, что ∠C=∠D и AC=BD.
152400Решение:
Т.к. AO=BO, тогда △AOB - равнобедренный. Из свойства углов равнобедренного треугольника следует, что ∠OAB=∠OBA. Рассмотрим △ACB и △BDA: ∠CAB=∠CAO+∠OAB, ∠DBA=∠DBO+∠OBA. Отсюда следует, что ∠CAB=∠DBA, ∠OAB=∠OBA. Значит, по второму признаку △ACB=△BDA. А из определения равных треугольников следует, что AC=BD и ∠C=∠D.
№128.
Докажите, что в равных треугольниках биссектрисы, проведенные к соответсвенно равным сторонам, равны.
15240-1270Решение:
Рассмотрим △ABM и △A1B1M1. Т.к. △ABC=△A1B1C1, то AB=A1B1, ∠B=∠B1, ∠A=∠A1, ∠BAM=∠B1A1M1. Тогда по второму признаку △ABM=△A1B1M1. А из определения равных треугольников AM=A1M1.
Задача на доказательство равенства треугольников с помощью доказательства равенства вспомогательных треугольников.
№127.
В треугольниках ABC и A1B1C1 AB=A1B1, BC=B1C1, ∠B=∠B1. На сторонах AB и A1B1 отмечены точки D и D1 так, что ∠ACD=∠A1C1D1. Докажте, что △BCD=△B1C1D1.
152403175Решение:
Рассмотрим △ABC и △A1B1C1: AB=A1B1 ( по условию), BC=B1C1 (по условию), , ∠B=∠B1 (по условию), тогда по первому признаку △ABC=△A1B1C1. А из определения равных треугольников следует, что AC=A1C1, ∠A=∠A1, ∠C=∠C1. Рассмотрим △BCD и △B1C1D1: BC=B1C1 (по условию), ∠BCD=∠B1C1D1 (т.к. ∠BCD=∠C-∠ACD, ∠B1C1D1=∠C1-∠A1C1D1), ∠B=∠B1 ( по условию). Тогда по второму признаку △BCD=△B1C1D1.
№129.
Отрезки AC и BD пересекаются в середине O отрезка AC, ∠BCO=∠DAO. Докажите, что △BOA=△DOC.
152401905Решение:
Рассмотрим △AOD и △COB: ∠A=∠C (по условию), AO=OC (по условию), ∠AOD=∠BOC (как вертикальные). Тогда по второму признаку △AOD=△COB. А из определения равных треугольников следует, что BO=OD. Рассмотрим △ABO и △CDO: AO=OC (по условию), BO=OD (из определения △AOD=△COB), ∠BOA=∠DOC (как вертикальные). Тогда по первому признаку △BOA=△DOC.
№130.
В △ABC и △A1B1C1 отрезки CO и C1O1 - медианы, BC=B1C1, ∠B=∠B1 и ∠C=∠C1. Докажите, что:а) △ACO=△A1C1O1;
б) △BCO=△B1C1O1.
15240-635Решение:
а) Рассмотрим △ABC и △A1B1C1: BC=B1C1 (по условию), ∠C=∠C1 (по условию), ∠B=∠B1 (по условию). Тогда по первому признаку △ABC=△A1B1C1. А из определения равных треугольников следует, что AB=A1B1, ∠A=∠A1, AC=A1C1.
Рассмотрим △ACO и △A1C1O1: AC=A1C1, ∠A=∠A1, AO=A1O1 (т.к. AO=12AB, A1O1=12A1B1). Тогда по второму признаку △ACO=△A1C1O1.
б) Рассмотрим △BCO=△B1C1O1: BC=B1C1 (по условию), ∠B=∠B1 (по условию), OB=O1B1(т.к. OB=12AB, O1B1=12A1B1). Тогда по второму признаку △BCO=△B1C1O1.
Выводы: в учебнике представлены все виды задач, дополнять систему упражнений не нужно. Для данного урока были придуманы только задачи для актуализации на применение первого признака равенства треугольников к решению задач.

Тип урока: урок решения ключевых задач
Учебник: «Геометрия 7-9» Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., С.Б. Кадомцев, 7 класс, Глава II §3 п.19
Учебная задача: выявить виды задач на использование второго признака равенства треугольников и схемы их решения.
Диагностируемые цели: В результате урока ученик :знает: формулировку второго признака равенства треугольников,
умеет: применять второй признак равенства треугольников для решения задач на доказательство равенства отрезков (углов), нахождение величины отрезков (углов), доказательство равенства треугольников.
понимает: аналогию между видами задач на 1 и 2 признаки равенства треугольников.
Методы обучения: репродуктивный, частично-поисковые, аналогия
Формы работы: фронтальнаяСредства обучения: традиционные, презентация
Структура урока:
Мотивационно-ориентировочный – 12 мин.
Содержательный этап – 28 мин.
Рефлексивно-оценочный – 5 мин.

Ход урока:
Мотивационно-ориентировочный этап.
Актуализация (работа идет устно, фронтально): (слайд 1)
Учитель: Здравствуйте, ребята! На слайде изображены треугольники, найдитесреди них равные. (слайд 2)

Ученики: △ABC=△DBE (по трем сторонам), △DBE=△GFE (EB=EF, ED=EG, ∠FEG=∠BED, как вертикальные), △FEG=△FHG (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
Учитель: Молодцы! Ребята, сформулируйте второй признак равенства треугольников.
Ученик: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Учитель: как мы доказали этот признак?
Ученик: накладывали один треугольник на другой.
Учитель: А сейчас скажите, как звучит первый признак равенства треугольника?
Ученик: Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Учитель: Теперь скажите, равны ли треугольники по стороне и двум углам?

Ученики: Нет, потому что не выполняется условие второго признака-по двум прилежащим углам.
Учитель: А равны ли эти треугольники по двум сторонам и углу?

Ученики: Нет, потому что не выполняется условие первого признака – углу между ними.
Учитель: Хорошо, молодцы! А теперь вспомните, какие задачи мы решали, используя первый признак?
Ученик: Задачи на доказательство равенства отрезков (углов), на нахождение величины отрезка (угла) и на доказательство треугольников через равенство других треугольников.
Учитель: Решим такие задачи:
Даны два треугольника ABC и АDE, ВС=СД и АС=СЕ, доказать, что AB=DE, ∠A=∠E.
Решение:
472440-3175∠ACB=∠ECD как вертикальные, Значит, по первому признаку △ACB=△ECD. Следовательно, AB=DE. В равных треугольниках соответственные элементы равны. Против равных сторон лежат равные углы: BC=CD, значит ∠A=∠E.
На рисунке АВ=АС,∠1=∠2, BC=5, ∠B=79∘. Найти CD, ∠D.
Решение:4724403810
AC – общая сторона, ∠1=∠2, АВ=АС. По первому признаку △ABC=△ADC. В равных треугольниках соответственные элементы равны: BC=CD=5, ∠D=79∘.
△ACB=△DCE. Докажите, что △ABE=△ADE.
Решение:
243840-4445Т.к. △ACB=△DCE, то ∠BAC=∠DEA, AB=DE. Следовательно, по первому признаку равенства треугольников △ABE=△ADE.

Мотивация:
Учитель: Итак, мы заметили, что признаки очень похожи, поэтому задачи на второй признак будут аналогичны по видам.
Постановка учебной задачи:
Итак, цель сегодняшнего урока – выявить виды задач на использование второго признака равенства треугольников и схемы их решения.
Содержательный этап:
№124.
По данным рисунка докажите, что OP=OT, ∠P=∠T.
152408255Решение:
Рассмотрим △BPO и △CTO: BO=OC (по условию), ∠B=∠C=90∘ (по условию), ∠POB=∠COT (как вертикальные). Тогда по второму признаку △BPO=△CTO. Из определения равных треугольников, следует, что BP=CT, PO=OT, ∠P=∠T.
Учитель: Что мы сделали, что доказать равенство сторон и углов?
Ученики: Доказали равенство треугольников, содержащих эти элементы.
Учитель: Как мы доказали равенство треугольников?
Ученики: Нашли равные элементы и воспользовались вторым признаком равенства треугольников.
Учитель: К какому типу задач относится эта?
Ученики: Это задача на доказательство равенства отрезков и углов.
Учитель: Молодцы! Следующая задача №123.
№123.
15240383540На биссектрисе угла A взята точка D, а на сторонах этого угла – точки B и C такие, что ∠ADB=∠ADC, CD= 8. Найти BD.
Решение:
Рассмотрим △ADB и △ADC. ∠BAD=∠CAD (по условию), ∠BDA=∠ADC (по условию), AD – общая сторона. Тогда по второму признаку △ADB=△ADC, а из определения равных треугольников BD=CD. Следовательно, BD=8.
Учитель: Что мы сделали, чтобы найти BD?
Ученики: Доказали, что треугольники равны.
Учитель: А как мы это доказали?
Ученики: Находили равные элементы в треугольниках и смотрели, под какой признак равенства треугольников подходит данный случай.
Учитель:Какой вид задач мы рассмотрели?
Ученики: На нахождение неизвестной стороны.
Учитель: Следующая задача, которую мы решим в классе №127.
№127.
В треугольниках ABC и A1B1C1 AB=A1B1, BC=B1C1, ∠B=∠B1. На сторонах AB и A1B1 отмечены точки D и D1 так, что ∠ACD=∠A1C1D1. Докажте, что △BCD=△B1C1D1.
152403175Решение:
Рассмотрим △ABC и △A1B1C1: AB=A1B1 ( по условию), BC=B1C1 (по условию), , ∠B=∠B1 (по условию), тогда по первому признаку △ABC=△A1B1C1. А из определения равных треугольников следует, что AC=A1C1, ∠A=∠A1, ∠C=∠C1. Рассмотрим △BCD и △B1C1D1: BC=B1C1 (по условию), ∠BCD=∠B1C1D1 (т.к. ∠BCD=∠C-∠ACD, ∠B1C1D1=∠C1-∠A1C1D1), ∠B=∠B1 ( по условию). Тогда по второму признаку △BCD=△B1C1D1.
Учитель: Что мы сделали, чтобы доказать равенство треугольников △BCD=△B1C1D1?
Ученики: Доказали равенство треугльников, содержащих данные.
Учитель: Как мы доказывали равенство больших треугольников?
Ученики: Нашли равные элементы и применили первый признак равенства треугольников.
Учитель: К какому виду относится эта задача?
Ученики: Доказательство данных треугольников через доказательство равенства вспомогательных треуголььников.
Рефлексивно-оценочный этап:
Учитель: какова была цель урока?
Ученик: выявить виды задач на использование второго признака равенства треугольников и схемы их решения
Учитель: мы достигли цели?
Ученик: да
Учитель: Как мы ее достигли?
Ученик: Выявили следующие виды задач на второй признак: задачи на доказательство равенства отрезков и углов, задачи на нахождение сторон треугольника и углов и задачи на доказательство треугольников, с помощью доказательства вспомогательных треугольников..Учитель: Домашнее задание: выучить формулировку второго признака равенства треугольников, задачи из учебника: 122,126,129.
Домашняя работа:
№122.
На рисунке ∠1=∠2, ∠3=∠4. Докажите, что △ABC=△CDA.
152403810Решение:
а) Рассмотрим △ABC и △CDA. AC – общая сторона, ∠1=∠2 (по условию), ∠3=∠4 (по условию), тогда по второму признаку △ABC=△CDA.
б) Т.к. △CBO=△DAO ( по второму признаку), тогда по определению равных треугольников: CO=OD, AD=CB, ∠C=∠D. CD=CO+OD, отсюда CO=26:2=13 см. AD=CB=15см.
№126.
На рисунке ∠DAB=∠CBA, ∠CAB=∠DBA, AC=13 см. Найдите BD.
15240-635Решение:
Рассмотрим △ACB и △ADB: ∠CAB=∠DBA ( поусловию), ∠DAB=∠CBA (по условию), AB – общая сторона. Тогда △ACB=△ADB по второму признаку. Из определения равенства треугольников следует, что AC=DB, CB=AD. Следовательно, AC=13 см, DB=13 см.
№129.
Отрезки AC и BD пересекаются в середине O отрезка AC, ∠BCO=∠DAO. Докажите, что △BOA=△DOC.
152401905Решение:
Рассмотрим △AOD и △COB: ∠A=∠C (по условию), AO=OC (по условию), ∠AOD=∠BOC (как вертикальные). Тогда по второму признаку △AOD=△COB. А из определения равных треугольников следует, что BO=OD. Рассмотрим △ABO и △CDO: AO=OC (по условию), BO=OD (из определения △AOD=△COB), ∠BOA=∠DOC (как вертикальные). Тогда по первому признаку △BOA=△DOC.

Приложенные файлы

  • docx 7001289
    Размер файла: 300 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий