10. На 44 деревьях, расположенных по окружности, сидели 44 веселых чижа (на каждом дереве по чижу).

Инвариант

Можно ли в прямоугольную таблицу поставить числа так, чтобы в каждом столбце сумма была положительна, а в каждой строке – отрицательна?
В каждую клетку квадратной таблицы размером 25х25 вписано произвольно одно из чисел: +1 или -1.Под каждым из столбцов записывается произведение всех чисел данного столбца, а справа от каждой строки – произведение всех чисел данной строки. Может ли сумма всех 50 произведений быть равной нулю?
Круг разделен на 6 секторов, в каждом из которых стоит фишка. Разрешается за один ход сдвинуть любые две фишки в соседние с ним сектора. Можно ли с помощью таких операций собрать все фишки в одном секторе?
Конь вышел с поля а1 шахматной доски и через несколько ходов вернулся на него. Докажите, что он сделал четное число ходов.
Фигура «верблюд» ходит по доске 10х10 ходом типа (1,3) (сдвигается сначала на соседнее поле, а затем еще на 3 поля в перпендикулярном направлении). Можно ли пройти ходом «верблюда» с какого-то исходного поля на соседнее с ним?
Докажите, что доску 10х10 нельзя замостить фигурками

.
Дно прямоугольной коробки вымощено плитками 1х4 и 2х2. Плитки высыпались из коробки, и одна плитка 2х2 потерялась. Ее заменили на плитку 1х4. Докажите, что теперь дно коробки вымостить не удастся.
Можно ли доску размером 4хN обойти ходом коня, побывав на каждом поле ровно один раз, и вернутся на исходное поле?
В банке 500 долларов. Разрешаются две операции: взять из банка 300 долларов или положить в него 198 долларов. Эти операции можно проводить много раз, при этом, однако, никаких денег, кроме тех, что первоначально лежат в банке, нет. Какую максимальную сумму можно извлечь из банка и как это сделать?
10. На 44 деревьях, расположенных по окружности, сидели 44 веселых чижа (на каждом дереве по чижу). Время от времени два чижа одновременно перелетают на соседние деревья в противоположных направлениях (один - по часовой стрелке, другой - против). Докажите, что чижи никогда не соберутся на одном дереве.

11. В странах Диллии и Даллии денежными единицами являются дилеры и даллеры соответственно, причем в Диллии диллер меняется на 10 даллеров, а в Даллии даллер меняется на 10 диллеров. Начинающий финансист имеет 1 диллер и может свободно переезжать из одной страны в другую и менять свои деньги в обеих странах. Докажите, что количество даллеров у него никогда не сравняется с количеством дилеров.
12. Есть три печатающих автомата. Первый по карточке с числами а и в выдает карточку с числами а+1 и в+1; второй по карточке с четными числами а и в выдает карточку с числами а/2 и в/2; третий автомат по паре карточек с числами а,в и в,с выдает карточку с числами а,с . Все автоматы возвращают заложенные в них карточки. Можно ли с помощью этих автоматов из карточки (5,19) получить карточку (1,1988) ; (1,2007)?
Д/З. 1. Квадрат 5х5 заполнен числами так, что произведение чисел в каждой строке отрицательно. Докажите , что найдется столбец, в котором произведение чисел также отрицательно.
2. Через клетчатый квадрат 100х100 проведено по линиям сетки несколько прямых. Образовавшиеся прямоугольные части раскрашены в шахматном порядке в синий и красный цвета. Докажите, что количество синих клеток четно.
3. В пробирке находятся марсианские амебы трех типов: А, В, С. Две амебы любых разных типов могут слиться в одну амебу третьего типа. После нескольких таких слияний в пробирке оказалась одна амеба. Каков ее тип, если исходных амеб типа А было 20 штук, типа В -21 штука, и типа С – 22 штуки?







15

Приложенные файлы

  • doc 6985853
    Размер файла: 29 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий