Материальная точка движется прямолинейно по закону х( t) 18t2 — t3 (x – в метрах, t — в секундах). Определите, в какой момент времени из промежутка [48] скорость точки будет наибольшей


ТЕМА: «Применение производной для нахождения наибольших и наименьших значений величин.
ВРЕМЯ ИЗУЧЕНИЯ: 9 часов
РЕЗУЛЬТАТ: -уметь решать контекстные задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке и на промежутке
- уметь решать задачи на нахождение наибольших и наименьших значений величин
Контрольная работа выстроена по схеме: задания базового уровня (до черты), задания среднего уровня (после черты), задания повышенной сложности (после двойной черты).
Шкала оценивания: за успешное выполнение заданий первого уровня оценка «3»; за успешное выполнение двух уровней (базового и второго или третьего) – оценка «4»; за успешное выполнение всех заданий - оценка «5».
ПРИМЕРНЫЙ ВАРИАНТ ИТОГОВОЙ РАБОТЫ:
I вариант
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на данном промежутке:
а) у= х3 – 3х2 + 4, [-1;4]; б) у= (х + 1)2(х – 1), [-2;0];
в) у= х2+8х+1, [0;3].
Материальная точка движется прямолинейно по закону х( t) = 18t2 - t3 (x – в метрах, t - в секундах). Определите, в какой момент времени из промежутка [4;8] скорость точки будет наибольшей, и найдите значение скорости в этот момент.
Площадь прямоугольного треугольника 8 см2. Какими должны быть длины сторон треугольника, чтобы сумма площадей квадратов, построенных на его сторонах, была наименьшей?
II вариант
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на данном промежутке:
а) у= 0,5х4 – 4х2, [-1;3]; б) у= (1- х2)(х – 1), [0;2];
в) у= х2+8х-1, [-3;0].
Материальная точка движется прямолинейно по закону х( t) = t3 - 12t2 + 60t (x – в метрах, t - в секундах). Определите, в какой момент времени из промежутка [1;5] скорость точки будет наибольшей, и найдите значение скорости в этот момент.
Длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием составляют в сумме 36 см. Чему равен наибольший объем такого параллелепипеда?
СТРУКТУРА (1 час)
Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке.
Говорят, что функция у = f(x), определенная на промежутке I, достигает на нем своего наибольшего (наименьшего) значения, если существует точка а, принадлежащая этому промежутку, такая, что для всех х из I выполняется неравенство f(x) ≤ f(а) (f(x)≥ f(а)).
Функция, непрерывная на отрезке [a;b], достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значения.
План нахождения наибольшего, наименьшего значения непрерывной функции на отрезке [a;b].
Найти f ′(x).
Найти точки, в которых f ′(x) = 0 или f ′(x) не существует, и отобрать среди них те, что лежат внутри отрезка [a;b].
Вычислить значение функции у = f(x) в точках, полученных в п.2, и на концах отрезка и выбрать из них наибольшее и наименьшее.
Пример 1. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции у= х3 – 3х2 – 45х +225 на отрезке [0;6].
Решение:
y'=3x2- 6x- 45
3x2- 6x- 45=0, х=5 лежит внутри отрезке [0;6], х= -3 не лежит внутри отрезке [0;6].
y' существует всюду.
у(0)=225, у(5)=50, у(6)=63.
Ответ: унаиб=225, унаим=50.
План нахождения наибольшего, наименьшего значения непрерывной функции на незамкнутом промежутке (a;b).
1. Найти наибольшее, наименьшее значение функции на отрезке [a;b].
2. Делаем вывод о том, что если функция достигает своего наибольшего, наименьшего значения во внутренней точке отрезка [a;b], следовательно, в силу непрерывности функции, это будут наибольшее, наименьшее значение функции и на промежутке (a;b).
Иногда для отыскания наибольшего, наименьшего значения непрерывной функции у = f(x) на промежутке (a;b) полезны два утверждения:
Если функция у = f(x) имеет в промежутке I только одну точку экстремума х = а, причем это точка максимума, то f(а) – наибольшее значение функции на промежутке I.
Если функция у = f(x) имеет в промежутке I только одну точку экстремума х = а, причем это точка минимума, то f(а) – наименьшее значение функции на промежутке I.
Пример 2. Найдите наибольшее значение функции у= х1+х2 на луче [0;∞).Решение:
y' = 1 – х2(1 + х2)2
1 – х21 + х22 = 0, х=1 лежит на луче [0;∞), х= -1 не лежит на луче [0;∞).18044444445-- -- -
-------
-- -- -
-------
109156577747
1062990121285720090152400 + -
0 1
Функция имеет на луче [0;∞) только одну точку экстремума х = 1, причем это точка максимума, значит у(1) = 0,5 наибольшее значение функции на луче [0;∞). Ответ: 0,5
Задачи на отыскание наибольших или наименьших значений величин.
План решения.
Выявляют величину, наибольшее или наименьшее значение которой нужно найти и обозначают ее переменной (это зависимая переменная).
Одну из неизвестных величин (сторону, угол и т.д.) обозначают независимой переменной, например х, и устанавливают реальные границы ее изменения в соответствии с условиями задачи.
Исходя из конкретных условий данной задачи выражают у через х и известные величины.Для полученной на предыдущем этапе функции находят наибольшее или наименьшее значение (в зависимости от требований задачи) по промежутку реального изменения независимой переменной.
Записывают ответ.
Пример 3. Периметр прямоугольника равен 48 см. Найдите стороны прямоугольника, при которых его площадь принимает наибольшее значение.
Решение:
Оптимизируемая величина Sнаиб.
720090102235 2. A B
D C
Пусть AD=x, DC=в, тогда Р=2(х+в)=48
х+в=24
в=24-х, где 0‹х‹24
3.S=хв=х(24-х)=24х-х2, где 0‹х‹24 .
4.Так как S(х) непрерывная на всей числовой прямой функция, то будем искать ее наибольшее значение на отрезке [0;24].
S′(х)=24-2х
S′(х)=0, 24-2х=0, х=12.
S(0)=0, S(12)=144, S(24)=0.
Значит наибольшая S прямоугольника 144 см2, а стороны 12 см и 12 см.
Ответ: 12 см и 12см.
ГЕНЕЗИС (1 час)
Найдите наибольшее и наименьшее значение функции у= х3 – 3х2 – 45х +1 на отрезке [0;6].
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x)=2sinх+cos2х, на промежутке [0;2π].
Материальная точка движется по прямой согласно закону х( t) =12t2 - 23t3 (x – путь в метрах, t - время в секундах). В какой момент времени из промежутка [4;10] скорость движения точки будет наибольшей, и какова величина этой скорости?
Найти размеры участка прямоугольной формы, имеющего наибольшую площадь, если его периметр равен 200 м.
Число 12 представьте в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма куба первого слагаемого и утроенного второго слагаемого была наименьшей.
САМОРЕАЛИЗАЦИЯ (4 часа)
Выполнить из учебника § 36 №
Задания базового уровня: 934 (а-б), 936 (а-б), 938 (а-б).
Упражнения средней трудности: 935(а-б), 945 (а), 948 (б, г), 949 (а), 953 (а), 955 (а), 957.
Упражнения выше среднего уровня: 966 (а), 967 (а), 971 (а).
Упражнения повышенной трудности: 965 (а), 976.
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА (аналог итоговой работы)
I вариант
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на данном промежутке:
а) у= х3 + 3х2 - 4, [- 4;1]; б) у= х- 13х3, [-2;0];
в) у= хх2+1, [0;2].
_________________________________________________________________
Тело, брошенное вертикально вверх, движется по закону h(t)=8t- t2 (h- в метрах, t- в секундах). Определите, в какой момент времени тело достигнет наибольшей высоты и каково будет ее значение в этот момент.
__________________________________________________________________
3.Из всех прямоугольников с диагональю 18 см найдите прямоугольник наибольшей площади.
II вариант
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на данном промежутке:
а) у= 0,25х4 – 2х2, [-3;1]; б) у= 13х3-4х, [0;3];
в) у= х-1х2, [1;3].
__________________________________________________________________
2.Тело, брошенное вертикально вверх, движется по закону h(t)=12 t- 0,5 t2 (h- в метрах, t- в секундах). Определите, в какой момент времени тело достигнет наибольшей высоты и каково будет ее значение в этот момент.
__________________________________________________________________
3.Из всех прямоугольников с площадью 25 см2 найдите прямоугольник с наименьшем периметром.

Приложенные файлы

  • docx 6984251
    Размер файла: 44 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий