Топологические векторные пространства Задачи к лекции 9. Докажите, что (a) топология на X ?? Y — сильнейшая из всех локально выпуклых топологий на X ? Y , в которых каноническое отображение X ? Y > X ?


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте файл и откройте на своем компьютере.
10.11.2015 Òîïîëîãè÷åñêèåâåêòîðíûåïðîñòðàíñòâà Çàäà÷èêëåêöèè9 9.1. Ïóñòü X;Y;Z òîïîëîãè÷åñêèåâåêòîðíûåïðîñòðàíñòâà.Äîêàæèòå,÷òîáèëèíåéíîåîòîá- ðàæåíèå X  Y ! Z íåïðåðûâíîòîãäàèòîëüêîòîãäà,êîãäàîíîíåïðåðûâíîâòî÷êå (0 ; 0) . 9.2. Ïóñòü X;Y;Z ëîêàëüíîâûïóêëûåïðîñòðàíñòâà, P;Q;R îïðåäåëÿþùèåñåìåéñòâà ïîëóíîðìíà X;Y;Z ñîîòâåòñòâåííî,ïðè÷åìñåìåéñòâà P è Q íàïðàâëåííûå.Äîêàæèòå,÷òî áèëèíåéíîåîòîáðàæåíèå : X  Y ! Z íåïðåðûâíîòîãäàèòîëüêîòîãäà,êîãäàäëÿêàæäîãî r 2 R íàéäóòñÿòàêèå p 2 P , q 2 Q è C� 0 ,÷òî r (( x;y )) 6 Cp ( x ) q ( y ) äëÿâñåõ x 2 X , y 2 Y . 9.3. Ïóñòü X;Y;Z ïîëóíîðìèðîâàííûåïðîñòðàíñòâà.Äîêàæèòå,÷òîïîëóíîðìèðîâàííûå ïðîñòðàíñòâà L ( X;Z ) è B il ( X  Y;Z ) ÿâëÿþòñÿíîðìèðîâàííûìèòîãäàèòîëüêîòîãäà,êîãäà Z íîðìèðîâàííîåïðîñòðàíñòâî. 9.4. Ïóñòü X è Y ïîëóíîðìèðîâàííûåïðîñòðàíñòâà.Äîêàæèòå,÷òîîòêðûòûéåäèíè÷íûé øàðïðîñòðàíñòâà X  Y ÿâëÿåòñÿâûïóêëîéîáîëî÷êîéìíîæåñòâà U X U Y = f x y : x 2 U X ;y 2 U Y g ,ãäå U X è U Y îòêðûòûååäèíè÷íûåøàðûïðîñòðàíñòâ X è Y ñîîòâåòñòâåííî. Êàêñëåäñòâèå,ïðîåêòèâíàÿòåíçîðíàÿïîëóíîðìàíà X Y ðàâíàôóíêöèîíàëóÌèíêîâñêîãî ìíîæåñòâà conv( U X U Y ) . 9.5. Ïóñòü X è Y ïîëóíîðìèðîâàííûåïðîñòðàíñòâà.Äîêàæèòå,÷òîäëÿëþáîãîïîëóíîð- ìèðîâàííîãîïðîñòðàíñòâà Z èëþáîãîíåïðåðûâíîãîáèëèíåéíîãîîòîáðàæåíèÿ : X  Y ! Z åãîëèíåàðèçàöèÿ ' : X  Y ! Z íåïðåðûâíà,è k ' k = k  k . 9.6. Ïóñòü X è Y ïîëóíîðìèðîâàííûåïðîñòðàíñòâà.Äîêàæèòå,÷òîïîëóíîðìà íà X Y ÿâëÿåòñÿïðèåìëåìîéêðîññ-ïîëóíîðìîéòîãäàèòîëüêîòîãäà,êîãäà kk " 6 6 kk  . 9.7. Ïóñòü X è Y ëîêàëüíîâûïóêëûåïðîñòðàíñòâà.Äîêàæèòå,÷òî (a) òîïîëîãèÿíà X  Y ñèëüíåéøàÿèçâñåõëîêàëüíîâûïóêëûõòîïîëîãèéíà X Y ,â êîòîðûõêàíîíè÷åñêîåîòîáðàæåíèå X  Y ! X Y; ( x;y ) 7! x y ,íåïðåðûâíî; (b) åñëè U è V áàçûîêðåñòíîñòåéíóëÿâ X è Y ñîîòâåòñòâåííî,òîñåìåéñòâî f �( U V ): U 2 U ;V 2 V g áàçàîêðåñòíîñòåéíóëÿâ X  Y . 9.8. Ïóñòü X è Y áåñêîíå÷íîìåðíûåíîðìèðîâàííûåïðîñòðàíñòâà.Äîêàæèòå,÷òîïðîñòðàí- ñòâà X  Y è X " Y íåïîëíû. 9.9. Ñôîðìóëèðóéòåèäîêàæèòåêîììóòàòèâíîñòüèàññîöèàòèâíîñòüòåíçîðíûõïðîèçâåäåíèé  , " , b  , b " ,àòàêæåèõàääèòèâíîñòüïîêàæäîìóèçàðãóìåíòîâ. 9.10. Ïîñòðîéòååñòåñòâåííûéèçîìåòðè÷åñêèéèçîìîðôèçì L ( X  Y;Z )  = L ( X; L ( Y;Z )) , ãäå X;Y;Z ïîëóíîðìèðîâàííûåïðîñòðàíñòâà. 9.11. Ïóñòü X è Y i ( i 2 I )ëîêàëüíîâûïóêëûåïðîñòðàíñòâà.Îáÿçàòåëüíîëèèçîìîðôèçì âåêòîðíûõïðîñòðàíñòâ X  ( L i 2 I Y i )  = L i 2 I ( X  Y i ) ÿâëÿåòñÿòîïîëîãè÷åñêèìèçîìîðôèç- ìîì?Òîòæåâîïðîñäëÿ " .

Приложенные файлы

  • pdf 4508061
    Размер файла: 33 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий