Топологические векторные пространства Задачи к лекции 9. Докажите, что (a) топология на X ?? Y — сильнейшая из всех локально выпуклых топологий на X ? Y , в которых каноническое отображение X ? Y > X ?


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
10.11.2015
Òîïîëîãè÷åñêèåâåêòîðíûåïðîñòðàíñòâà
Çàäà÷èêëåêöèè9
9.1.
Ïóñòü
X;Y;Z
òîïîëîãè÷åñêèåâåêòîðíûåïðîñòðàíñòâà.Äîêàæèòå,÷òîáèëèíåéíîåîòîá-
ðàæåíèå
X

Y
!
Z
íåïðåðûâíîòîãäàèòîëüêîòîãäà,êîãäàîíîíåïðåðûâíîâòî÷êå
(0
;
0)
.
9.2.
Ïóñòü
X;Y;Z
ëîêàëüíîâûïóêëûåïðîñòðàíñòâà,
P;Q;R
îïðåäåëÿþùèåñåìåéñòâà
ïîëóíîðìíà
X;Y;Z
ñîîòâåòñòâåííî,ïðè÷åìñåìåéñòâà
P
è
Q
íàïðàâëåííûå.Äîêàæèòå,÷òî
áèëèíåéíîåîòîáðàæåíèå
:
X

Y
!
Z
íåïðåðûâíîòîãäàèòîëüêîòîãäà,êîãäàäëÿêàæäîãî
r
2
R
íàéäóòñÿòàêèå
p
2
P
,
q
2
Q
è
C�
0
,÷òî
r
((
x;y
))
6
Cp
(
x
)
q
(
y
)
äëÿâñåõ
x
2
X
,
y
2
Y
.
9.3.
Ïóñòü
X;Y;Z
ïîëóíîðìèðîâàííûåïðîñòðàíñòâà.Äîêàæèòå,÷òîïîëóíîðìèðîâàííûå
ïðîñòðàíñòâà
L
(
X;Z
)
è
B
il
(
X

Y;Z
)
ÿâëÿþòñÿíîðìèðîâàííûìèòîãäàèòîëüêîòîãäà,êîãäà
Z
íîðìèðîâàííîåïðîñòðàíñòâî.
9.4.
Ïóñòü
X
è
Y
ïîëóíîðìèðîâàííûåïðîñòðàíñòâà.Äîêàæèòå,÷òîîòêðûòûéåäèíè÷íûé
øàðïðîñòðàíñòâà
X


Y
ÿâëÿåòñÿâûïóêëîéîáîëî÷êîéìíîæåñòâà
U
X

U
Y
=
f
x

y
:
x
2
U
X
;y
2
U
Y
g
,ãäå
U
X
è
U
Y
îòêðûòûååäèíè÷íûåøàðûïðîñòðàíñòâ
X
è
Y
ñîîòâåòñòâåííî.
Êàêñëåäñòâèå,ïðîåêòèâíàÿòåíçîðíàÿïîëóíîðìàíà
X

Y
ðàâíàôóíêöèîíàëóÌèíêîâñêîãî
ìíîæåñòâà
conv(
U
X

U
Y
)
.
9.5.
Ïóñòü
X
è
Y
ïîëóíîðìèðîâàííûåïðîñòðàíñòâà.Äîêàæèòå,÷òîäëÿëþáîãîïîëóíîð-
ìèðîâàííîãîïðîñòðàíñòâà
Z
èëþáîãîíåïðåðûâíîãîáèëèíåéíîãîîòîáðàæåíèÿ
:
X

Y
!
Z
åãîëèíåàðèçàöèÿ
'
:
X


Y
!
Z
íåïðåðûâíà,è
k
'
k
=
k

k
.
9.6.
Ïóñòü
X
è
Y
ïîëóíîðìèðîâàííûåïðîñòðàíñòâà.Äîêàæèòå,÷òîïîëóíîðìà

íà
X

Y
ÿâëÿåòñÿïðèåìëåìîéêðîññ-ïîëóíîðìîéòîãäàèòîëüêîòîãäà,êîãäà
kk
"
6

6
kk

.
9.7.
Ïóñòü
X
è
Y
ëîêàëüíîâûïóêëûåïðîñòðàíñòâà.Äîêàæèòå,÷òî
(a)
òîïîëîãèÿíà
X


Y
ñèëüíåéøàÿèçâñåõëîêàëüíîâûïóêëûõòîïîëîãèéíà
X

Y

êîòîðûõêàíîíè÷åñêîåîòîáðàæåíèå
X

Y
!
X

Y;
(
x;y
)
7!
x

y
,íåïðåðûâíî;
(b)
åñëè
U
è
V
áàçûîêðåñòíîñòåéíóëÿâ
X
è
Y
ñîîòâåòñòâåííî,òîñåìåéñòâî
f
�(
U

V
):
U
2
U
;V
2
V
g
áàçàîêðåñòíîñòåéíóëÿâ
X


Y
.
9.8.
Ïóñòü
X
è
Y
áåñêîíå÷íîìåðíûåíîðìèðîâàííûåïðîñòðàíñòâà.Äîêàæèòå,÷òîïðîñòðàí-
ñòâà
X


Y
è
X

"
Y
íåïîëíû.
9.9.
Ñôîðìóëèðóéòåèäîêàæèòåêîììóòàòèâíîñòüèàññîöèàòèâíîñòüòåíçîðíûõïðîèçâåäåíèé


,

"
,
b


,
b

"
,àòàêæåèõàääèòèâíîñòüïîêàæäîìóèçàðãóìåíòîâ.
9.10.
Ïîñòðîéòååñòåñòâåííûéèçîìåòðè÷åñêèéèçîìîðôèçì
L
(
X


Y;Z
)

=
L
(
X;
L
(
Y;Z
))
,
ãäå
X;Y;Z
ïîëóíîðìèðîâàííûåïðîñòðàíñòâà.
9.11.
Ïóñòü
X
è
Y
i
(
i
2
I
)ëîêàëüíîâûïóêëûåïðîñòðàíñòâà.Îáÿçàòåëüíîëèèçîìîðôèçì
âåêòîðíûõïðîñòðàíñòâ
X


(
L
i
2
I
Y
i
)

=
L
i
2
I
(
X


Y
i
)
ÿâëÿåòñÿòîïîëîãè÷åñêèìèçîìîðôèç-
ìîì?Òîòæåâîïðîñäëÿ

"
.

Приложенные файлы

  • pdf 4508061
    Размер файла: 33 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий