VIII. ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА § 8.1. Элементарные частицы 8.1. Пользуясь кварковой моделью, определить, из каких кварков состоят протон, нейтрон, Я-гиперон.

С. М. КОЗЕЛ
Э. И. РАШБА
С. А. СЛАВАТИНСКИИ
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО ФИЗИКЕ
ЗАДАЧИ МФТИ
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ.
ПЕРЕРАБОТАННОЕ II ДОПОЛНЕННОЕ
Допищсно Министерством
высшего и среднего специального образования СССР
а качестве учебного пособия
для студентов физических специальностей
высших учейных заведений
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1 9 Я 7
ББК 22.3
К 59
УДК [email protected])
КОЗЕЛ С. М., РАШ6А Э. И., СЛАВАТИНСКИЙ С. Л. Сбор-
ник задач по физике: Учеб пособие 2-е изд., перераб. и доп.
М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лиг., 1987. 304 с., ил.
Включает свыше 800 задач повышенной трудности из числа
предлагавшихся на экзаменах по физике студентам Московского
физико-технического института. Это, как правило, задачи с глу-
боким физическим содержанием, приближенные к практике и
возникающие из эксперимента. Многие задачи имеют оценочный
характер и охватывают одновременно различные разделы физики.
Новое издание A-е изд. 1978 г.) дополнено экзаменационным
материалом последнего десятилетия.
Для студентов физических специальностей вузов, а также
преподавателей физики высшей и средней школ.
Ил. 220
Рецензент
кафедра обшей физикв Московского инженерно-физического
института
., 1704010000166 ,,. „. _ ,_,
К ,..,.-, .._ 115-8/ © Издательство «Наука».
Uoo(UJ)-o/ Главная редакция
физико математической литературы,
1978, 1У87, с изменениями
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 5
От авторов 9
Задачи Ответы
И решения
I. Меха ника . . . ...... 11 187
§ 1.1. Движение материальной точки 11 187
§ 1.2. Реактивное движение Грави-
тация , 18 191
§ 1.3. Законы сохранения энергии,
импульса и момента импульса.
Неинерциальные системы от-
счета 23 195
§ 1.4. Движение твердого тела и
жидкости 29 197
II. Термодинамика и молеку-
лярная физика . . . . . . 39 200
§ 2.1. Газовые законы. Первое и вто-
рое начала термодинамики.
Термодинамические циклы . . 39 200
§ 2.2 Реальные газы. Теплотронод-
пооть. Вязкость 46 206
§ 2.3. Молекулярио-кииетнческая тео-
рия. Явления переноса ... 19 U09
§ 2 4 Флуктуации. Фазовые перехо-
лы. Поверхноо/nuie .гатя-к^ип» . i4 " 213
III. Электричество и магме-
т из и 55 2!S
§ 3,1. Элект;.ГАТй-,,. 59 216
| 3 2. Постоянный мектпцчесч!:!: jok 59 224
§ 3 3 Магнитное поле 72 223
§ 3.4. Электромагнитные нолч . , 34 236
§ 3.5 Кпаьнстапионарные токи. Коле-
бания п электрических непяч . 38 238
IV. Он гика ИЗ 242
§ 4 1. Геометрическая оппгкл и эле-
менты фотометрии ..... 45 242
§ 4.2, Интерференция "^ 243
§ 4.3. Дифракция Элементы юлогра-
фни и фурье-оптмкн .... 124 245
3
1*
Задачи Отпеты
и решения
§ 4,4. Дифракционный предел разре-
шения оптических инструмен-
тов и спектральных приборов . 132 247
§ 4.5. Поляризация. Оптические яв-
ления в кристаллах 137 252
§ 4.6. Дисперсия и распространение
света . 143 " 254
V. Атомная ф и з я к а - . . , - 148 259
§ 5.1. Кванты света.' Фотоэффект.
Эффект Комптона 148 259
§ 5.2. Волны де Бройля. Волновые
функции 150 260
§ 5.3. Атомы и их излучение . . . 154 261
VI. Излучение 159 264
VII. Твердое тело 163 266
§ 7.1. Свойства кристаллических ре-
шеток. Фононы. Теплопровод-
ность 163 ?66
§ 7.2. Электроны в металлах . . . 166 269
§ 7,3. Электроны в полупроводниках 171 275
VIH. Ядерная физика ..... 174 279
§ 8.1. Элементарные частицы , . . 174 279
§ 8.2. Структура ядрз и ядерные
реакции 178 281
Приложения 286
I, Фундаментальные физические кснстанты 286
II. Некоторые астрофизические постоянные 288
III. Некоторые внесистемные единицы 290
IV. Приставки и множители для образования десятичных
кратных к дольных е.чишш . 291
V. Единицы некоторых физических иелнчин в систем*
СИ и СГС и соотношения между ними . . , 292
VI. Таблица лептонов (спин /г/2) ... 294
VII. Таблица кваркон (спин ft/2) . . . 294
VIII. Таблица некоторых адршюв . . 265
IX. Таблица экзотических частиц ... . .... 296
X. Таблица свойств изотопов .... 297
XI. Периодическая система элементов Д. И. Менделеева 300
ПРЕДИСЛОВИЕ
Сказки помогают детям познать мир взрослых, за-
дачи же служат аналогичной цели при знакомстве
студента с физикой. Действительно, у задач много
общего с фольклором. Так же как и сказки, задачи
дают студенту первое представление о мире физиче-
ском, о методах его описания к путях познания. Эле-
ментарные задачи описывают условный мир точечных
масс, невесомых нитей, идеальных газов и других
совершенных тел, подобный сказочному миру, насе-
ленному свирепыми змиями и прекрасными принцами,
путешествующими иа коврах-самолетах в поисках
жар-птиц. В таком мире силы добра и зла четко очер-
чены и нравственные проблемы отличаются ясностью
и однозначностью ответа. В задачах мы также можем
рассматривать условия малореальные, даже фанта-
стические; так же как сказки, такие задачи развивают
наше воображение. Более жизненные задачи посте-
пенно приближают нас к слокной картине реального
научного поиска, где многие вопросы требуют значи-
тельного труда даже для их формулировки, и, нако-
нец, более глубокое исследование часто приводит к
расширению наших представлений и дает возмож-
ность по-новому осмыслить гроблему, поставленную
вначале. Так и с задачами з этом сборнике: часто
более углубленное рассмотрение потребует либо но-
вых расчетов, либо может послужить поводом к более
серьезным размышлениям.
У задач есть еще одно сходство с фольклором. Это
втрое о гом, кто автор первоначальной идеи гой или
иной задачи. На это редко можно дать точный ответ,
а в таких установившихся разделах, как механика,
особенно много «традиционных сюжетов», которые
каждое поколение аранжирует на свой лад. Большин-
ство представленных задач извлечено из архива ка-
федры физик» Московского физико-технического ин-
ститута. Составители задачника профессора С. М. Ко-
зел, Э. И. Рашба и С. А. Славатинский проделали
большую работу, впервые систематически обработав
и отредактировав этот обширный материал: до сих
пор в литературу попадали лишь отдельные задачи.
При редактировании составителям удалось сохранить
тот живой и непосредственный подход к задачам, ко-
торый, быть может, характерен для современного
стиля мышления работающих физиков-исследова-
телей.
Задачник МФТИ своей связью с физикой наших
дней передает то, что мы отождествляем с «системой
Физтеха». По этой системе активно работающие уче-
ные принимают непосредственное участие в воспита-
нии и подготовке следующего поколения исследова-
телей и инженеров. Эта прямая связь особенно важна
в преподавании фундаментальных естественнонауч-
ных дисциплин, из которых физика и математика яв-
ляются главными. При этом сокращается разрыв
между специальной и общей подготовкой и исклю-
чается то запаздывание в требованиях и подходе, ко-
торое возникает тогда, когда дело преподавания об-
щих курсов передается исключительно профессиональ-
ным педагогам. Таким образом, этот задачник про-
должает традиции преподавания физики, которые
были заложены при основании МФТИ академиками
П. Л. Капицей и Л. Д. Ландау. Хорошо известны как
оригинальные задачи П. Л. Капицы, опубликованные
ь ряде изданий, так v, то место, которое задачи за-
нимают в курсе теоретической физики Л. Д. Ландау
и Е. М. Лифпиша.
Уровень задач в известных пределах отвечает тем
требованиям, которые ставит перед студентами курс
общей физики МФТИ. В гораздо большей мере, чем
программы, задачи могут служить мерилом уропмя
требований, и их можно рассматривать кяк реальную,
в операционном смысле, меру этих требований. По-
этому не случайно, что многие задачи вознями мл
основе заключительного экзамена, которым з?г.:.:;-
шается курс общей физики в МФТИ. Заключитель-
ный экзамен принимается авторитетными комиссиями,
в которые входят физики всгх основных специаль-
ных кафедр и базовых институтов МФТИ. Экзамен
состоит из письменного решенля задач и доклада ре-
ферата на избранную студентом тему. Задачи, пред-
лагаемые на этом экзамене, часто построены так, что
охватызают сразу несколько разделов физики. При
решении задач студенты должны проявить знание об-
щей физики, т. е, умение идса тпзировать явления,
применение законов сохраиенчя, условий симметрии
и инвариантности, принципов подобия, выделение без-
размерных параметров, осмысливание результатов при
переходе к предельным условиям. Другое требование,
которое мы постоянно выдвигаем перед студентами,
это необходимость доводить решение, до числа, дакать
числовой ответ. Прп этом важно, чтобы числа по толь-
ко имели реальный смысл, по Сыли бы полезны и по-
мотали студенту пш.аплпй.атк ауА.чис- чайные в сиоеи"
памяти.
В еще большей мере, чем содержание курса, новые
задачи отражают время и обстоятельства их созда-
ния. Действительно, буквально каждый значительный
шаг в физике мы можем и, наверное, должны отра-
жать в задачах, если хотим и преподавании поспеть
за быстротекущим развитием научной мысли. Неис-
черпаемым источником тем и вдохновения для задач
7
по общей физике могут служить два наиболее актив-
ных участка фундаментальных исследований: физика
космоса и астрофизика, с одной стороны, и физика
элементарных частиц с другой. Многолетняя прак-
тика человечества в познании явлений природы учит,
что наиболее важные фундаментальные свойства ве-
щества проявляются в предельных формах его суще-
ствования. Именно экстремальные условия природы
дают исключительный простор творческому вообра-
жению и служат ареной для оценок и выводов, осно-
ванных на прямом и часто очень поучительном при-
менении основных законов физики.
Можно надеяться, что многие задачи, приведен-
ные в настоящем сборнике, послужат основой для
подробного разбора на семинаре; другие будут ис-
пользованы при самостоятельной работе студентог
над курсом общей физики.
В заключение хотелось бы призвать как препода
вателей, так еще в большей степени студентов к тому
чтобы искать и придумывать задачи самим. При со
временной, несколько прагматичной направленности
образования, вернее, способа обучения, решению гото-
вых задач уделяется большое внимание. Но очень
важно, чтобы при необходимом приобретении навы-
ков решения задач, в которых мы видим зародыши
научной работы, не происходило торможения вообра-
жения и не подавлялась бы творческая интуиция.
Из всех проблем самая важная это правильная
постановка задач как при образовании ученого, так
и в его работе в будущем, но научить этому труднее
всего.
С. П. Капица
ОТ АВТОРОВ
В настоящий сборник включены задачи, предла-
гавшиеся в течение многих лет студентам Москов-
ского физико-технического института на экзаменах
по физике. Инициатива издания сборника главным
образом принадлежитзаведующему кафедрой физики
С. П. Капице.
Составители отобрали и отредактировали для
сборника те задачи из обширного архива кафедры
физики МФТИ, которые казались наиболее интерес-
ными с физической точки зрения.
При составлении сборника отдавалось предпочте-
ние задачам, приближенным к практике, родившимся
под влиянием физического эксперимента. В таких за-
дачах рассматриваются не идеализированные схемы,
а реальные физические объекты. Многие задачи но-
сят оценочный характер; они должны способствовать
развитию у студентов ясности физического мышления
и ощущения масштабов физических величин и явле-
ний. При решении большинства задач необходимо не
только формальное знание законов, но и достаточно
широкий физический кругозор.
При подготовке 2-го издания в сборник были вне-
сены существенные изменения. Значительно расширен
круг задач. Исключены некоторые задачи, использо-
ванные в других изданиях. Хоти в сборнике по-преж-
нему довольно много задач повышенной трудности,
в него включены и более простые задачи, рассчитан-
ные на менее подготовленного читателя. В настоящем
издании сборник в большей степени ориентирован на
самостоятельную работу студентов. Именно поэтому
было признано целесообразным, как правило, не ука-
зывать хода решения задач и ограничиться только
приведением окончательных ответов и кратких пояс-
нений. Лишь некоторые, наиболее трудные задачи
снабжены полным решением, В сборнике преимуще-
ственно использована система единиц СИ, а та: же
гауссова система.
Большинство задач, включенных в сборник, явля-
ются оригинальными. В разные годы они были пред-
ложены преподавателями кафедры физики МФТИ.
В этом смысле сборник можно рассматривать г ак
колллективный труд всей кафедры, хотя ответствен-
ность за возможные недосмотри целиком ложится па
авторов. Сборник содержит некоторое число задач, не
претендующие на оригинальность, но имеющих обще-
физический интерес.
Значительное число задач, включенных в сборник,
было предложено Л, Л, Гольдиным, Б. Г. Ерозолим-
ским, С. П. Капицей, И, П. Крыловым, Г. Р. Локши-
ным, Л. А. Микаэляном, И, Ф. Щеголевым, Д. Б, Диа-
траптовым, А. П, Кирьяновым, Л. б. Луганским,
А. В. Францессоном и многими другими преподава-
телями кафедры физики.
При работе над сборником были широко исполь-
зованы задачники по различным разделам физики,
изданные в МФТИ в 19761983 гг. Большой труп при
подготовке этих задачников был выполнен Л. П. Ба-
каниной, Н, С. Берюлевой, Д. А. Заикиным, А, В. Сте-
пановым, М. А, Тулайковой, Н. И. Петеримовой.
Всем перечисленным лицам, а также тем, кто при-
слал свои замечания к 1-му изданию сборника, аз-
торы выражают свою искреннюю благодарность.
Работа между авторами при подготовке настоя-
щего издания была распределена еле ivkslp.hm обра-
зом: разделы III и IV подготовлены С. М, Козелом,
разделы II, VI и VII Э. И. Рашбой, а разделы I,
V и VIII С. А. Славатинским.
Авторы с благодарностью приму> все замечания,
которые неизбежно возникнут у читателей, и советы
по улучшению сборника.
ЗАДАЧИ
1. МЕХАНИКА
§ 1.1 Движение материальной точки
1.1. Теннисный мяч падает на тяжелую ракетку
пид углом ф = 60° к нормали и упруго отскакивает.
Масса мяча пренебрежимо мала по сравнению с мас-
сой ракетки, С какой скоростью и должна двигаться
ракетка, чтобы мяч отскочил под прямым углом к
первоначальной траектории?
1.2. Автомобиль движется с постоянной скоростью
и=90 км/ч по замкнутой горизонтальной дороге,
имеющей форму эллипса с полуосями а = 500 и (> =
250 м. Найти максимальное атах и минимальное
От»! ускорения. Каков должен быть коэффициент тре-
ния k между полотном дороги и шинами автомобиля,
чтобы автомобиль при движении по эллипсу не за-
носило?
1.3. Хоккейная шайба падает на лед с начальной
скоростью vts под углом а и продолжает скользить по
льду. Найти скорость скольжения как функцию вре-
мени v(t), если считать, что коэффициент трения к
ш.чйбы о лед не зависит от скорости и силы давления
шлйбы на лед,
1.4. Метатель посылает молот массой т = Ъ кг на
расстояние / = 70 м по траектории, обеспечивающей
максимальную дальность броска при дайной началь-
ной скорости. Какая сила F действует на спортсмена
при ускорении молота? Разгон ведется по окруж-
ности радиусом R 2 м. Сопротивление воздуха не
учитывать.
1.5. Какой максимальной кинетической энергией
И'к та* может обладать махоиик объемом V = 1 мп,
если предел прочности материала ка разрыв гг„р =
= 1 109 Па. Всю массу махоника считать заключенной
И
в его ободе (тонком по сравнению с его радиусом),
Показать, что при неизменной прочности материала
маховика максимальная кинетическая энергия зависит
только от объема, но не от массы маховика.
1.6. Ядерные силы определяются взаимодействием
между нуклонами (прогонами и нейтронами), Потен-
циальная энергия взаимодействия двух нуклонов на
расстоянии г с хорошей точностью может быть пред-
ставлена формулой, предложенной японским физиком
Юкавой: U(r) = (ro/r) №oexp(r/r0), где V/Q =
= 50 МзВ, а го = 1,5-1(Н3 см. Найти выражение для
соответствующей силы F(r). На ка-
ком расстоянии п сила уменьшится
до 1 % от величины, которую она
имеет при г = г0?
1.7. Полый алюминиевый конус,
масса которого т = 5 г и угол при
вершине 2а = 60°, парит в верти-
кальной струе воды, вытекающей
со скоростью v =3,5 м/с через
патрубок диаметром d = 3 см
(рис. 1.1). Пренебрегая сопротив-
лением воздуха и считая сечение
струи у вершины конуса приблизи-
тельно постоянным, оценить высоту h, на которой бу-
дет парить конус. Плотность алюминия р = 2,8 г/см3,
1.8. Центр масс О автомобиля расположен на рав-
ном расстоянии от передних и задних колес на высоте
!г 0,4 м над поверхностью
земли. Коэффициент трения
равен k = 0,8, расстояние меж-
ду осями /=5/г. На какой угол
(х наклонится автомобиль при
резком торможении (рис. 1.2)?
Упругость всех пружин под-
зески одинакова и такова, что
у неподвижного автомобиля на горизонтальной пло-
щадке их прогиб равен А == 10 см.
1.9. При торможении всеми четырьмя колесами
тормозной путь автомобиля равен L. Найти тормоз-
ные пути этого же автомобиля при торможении толь-
ко передними (L;) и только задними (L2) колесами.
Коэффициент трения скольжения равен k = 0,8. Центр
масс автомобиля расположен на равном расстоянии
ит передних и задних колес на высоте h = lj\ над по-
Рис.
Рис 1.2
12
верхностью земли, Iрасстояние между осями авто-
мобиля.
1.10. Длинная однородная балка массой т и дли-
ной I перевозится ка двух сапях (рис. 1.3). Сила тяги
приложена к балке и
направлена по горизон-
тали на высоте h над
поверхностью земли.
Коэффициент трения
для передних саней ра-
вен ki, Для задних
k-i- Какую силу тяги F
нужно приложить для Рис- I-3
равномерного переме-
щения этого груза по горизонтали? Массами саней
пренебречь.
1.11. Автомобиль «Жигули» массой т=1200 кг
способен на скорости v = 50 км/ч двигаться по дороге
с наибольшим уклоном к горизонту, равным а =16°.
При движении по ровной дороге с таким же покры-
тием и на той же скорости мощность, расходуемая
двигателем, равна Р= 14,7 кВт. Найти максимальную
мощность Ртах двигателя.
1.12. Руда насыпается из бункера в вагон, катя-
щийся по рельсам без трения. Начальная скорость
вагона равна vo, длина /, масса пустого вагона т0,
вес загруженной руды ти Подача руды из бункера
происходит таким образом, что руда ложится на пол
вагона слоем постоянной высоты. Найти время за-
грузки t.
1.13. Футболист забивает гол с 11-метрового
штрафного удара (L) точно под перекладину. Какую
минимальную энергию Wmin и этом случае необходимо
было сообщить мячу? Под каким углом а должен был
вылететь мяч? Высота ворот равна /i = 2,5 м, масса
мяча т = 0,5 кг.
1.14. Атлет толкает ядро с разбега. Считая, что
скорость ядра относительно атлета равна скорости
разбега, найти угол а, под которым следует выпустить
ядро относительно земли, чтобы дальность полета
была максимальной. Рост самого атлета не учитывать.
1.15. Лазер излучает направленный световой поток
в виде короткого импульса. Какова скорость v отдачи
кристалла лазера, если его масса равна т = 100 г, а
излученная энергия W= Ю3 Дж?
13
1.16. Определить импульс р отдачи ядра 57Fe при
излучении -у-кванта с эиер1 пей №7 = 14,4 кэВ.
1.17. Математическому маятнику с гибкой нера-
стяжимой нитью длиной / сообщают в начальный мо-
мент горизонтальную скорость о0. Определить макси-
мальную высоту /гт5Х подъема маятника, если
(bglI/2 > v0 > Bgl)I/2. По какой траектории будет
двигаться шарик маятника после того, как он достиг
максимальной высоты /?„,« на окружности? Опреде-
лить максимальную высоту Ип,ь\, достигаемую шари-
ком при этом движении.
1.18. Гимнаст падает с высоты Н = 12 м в упру-
гую сетку. Во сколько раз максимальная сила Fma*,
действующая на гимнаста со стороны сетки, больше
его первоначального веса mg, если прогиб сетки под
действием первоначального веса гимнаста равен
Д= 1 м?
1.19. На баржу вдоль нее с берега забрасывается
груз массой т с горизонтальной составляющей ско-
ростью v0 (рис. 1.4). Найти конечную скорость v бар-
жи с грузом и расстояние /, пройденное грузом вдоль
поверхности баржи (относительно баржи), если масса
баржи М, а коэффициент трения между грузом и по-
верхностью баржи равен k. Сопротивление "п.т.ы не
учитывать.
ц
Рис. 1 4 Рис. 1.5
1.20. Шар, летящий со скоростью v, ударяется в
другой, покоящийся шар, масса которого и три раза
больше массы налетающего шара (рис. 1.5). Найти
скорости v\ и i<2 шаров после удара, есл;; в момент
столкновения угол между линией, соединяющей цен-
тры шаров, и скоростью налетающего шара до удара
равен ф = 60°. Удар абсолютно упругий.
1.21. Альфа-частица с кинетической энергией WK =
= 4 М.эВ упруго рассеивается на первоначально по-
коящемся протоне. Определить расстояние лтт между
14
этими частицами в момент максимального сближения.
Столкновение считать центральным.
1.22. Альфа-частица массой т, летящая со скоро-
стью vq, испытывает упруго*; столкновение с непо-
движным ядром массой М и летит под углом 90° к
первоначальному направлению движения. При каком
соотношении масс а-частицы и ядра это возможно?
0>феделить скорости а-частицы v и ядра и после
столкновения, а также угол ср между направлением
скорости отлетевшего ядра и первоначальным направ-
лением движения а-частицы.
1.23. Во сколько раз энергия отдачи ядра 226Ra
при os-распаде больше, чем при ^-распаде, если пол-
ная энергия, освобождаемая при cs-распаде, равна
ц/, =4,9 МэВ, а при -у-распаде W2 = 0,2 МэВ?
1.24. Может ли произойти ионизация атома 133Cs
ударом атома ]6О с энергией UP = 4 эВ? Энергия иони-
зации атома I33Cs равна И?и== 3,9 эВ.
1.25. При каких энергиях Wit а-частиц возможно
их неуиругое рассеяние на ядрах 14N, если энергия
1-го возбужденного состояния этого ядра равна W ¦=¦
= 2,31 МэВ? Какова энергия W\ а-частицы, если
ядро MN переходит в это возбужденное состояние, а
сама а-частица останавливается?
1.26. Какова энергия W а-частицы, если при по-
падании в ядро азота 14N происходит реакция 14N +
-f- "He = 17О + 'Н, сопровождающаяся поглощением
энергии Wi 1 МэВ, а образовавшийся протон по-
коится в лабораторной системе координат?
1.27. Ядра дейтерия с энергией U7D = 0,17 МзВ
движутся навстречу друг другу. При соударении про-
исходит реакция D + D = 3Не + п, при которой выде-
ляется дополнительная энергия W. Определить UP,
если нейтрон уносит кинетическую энергию Wn =
= 2,7 МэВ.
1.28. Ядро дейтерия с энергией WD = 3,25 МэВ
сталкивается с таким же неподвижным ядром. При
соударении происходит реакция D -+- О-*-3Не + п, при
которой выделяется дополнительная энергия W. Опре-
делить W, если в лабораторной системе отсчета ней-
трон покоится.
1.29. Маленький шарик движется со скоростью v
в пространстве между неподвижной стенкой и мас-
сивным поршнем, находящимися на расстоянии / друг
от друга (рис. 1.6). Соударения шарика с поршнем и
15
стенкой происходят упруго. Найти адиабатический
инвариант движения, т. е. вид функции f(v, l), сохра-
няющейся постоянной при медленном движении
поршня.
Рис 1.6
Рис. 1.7
1.30. Под действием веса прыгуна упругая доска
статически прогибается на А = 0,5 м (рис. 1.7). Пре-
небрегая массой доски, найти период Т малых коле-
баний рассматриваемой системы около положения
равновесия.
1.31. Два груза массами ni\ и mi, находящиеся на
гладком горизонтальном столе, связаны пружиной
жесткостью -л. Найти период Т колебаний системы.
Массой пружины пренебречь.
1.32. Небольшая муфта массой m может скользить
без трения по горизонтальной штанге (рис. 1.8).
К муфте прикреплена пружина, вто-
рой конец которой закреплен в точ-
ке, отстоящей на расстояние / от
штанги, которое больше длины пру-
жины в нерастянутом состоянии.
Имея длину I, пружина растянута
с силой F. Определить период 7 ма-
лых колебаний муфты. Массой пру-
жины пренебречь.
1.33. Найти частоту <о малых ко-
лебаний шарика массой т, подве-
шенного на пружине с начальной длиной 10, если сила
растяжения пружины пропорциональна квадрату ра-
стяжения, т. е. F = k(l /оJ- Массой пружины пре-
небречь.
1.34. Как изменится ход карманных часов, если их
положить на горизонтальный абсолютно гладкий
стол? Считать, что ось крутильного маятника прохо-
дит через центр часов, а момент инерции &й часов в
500 раз больше, момента инерции & маятника.
Рис. 1.S
16
1.35. Система из двух шариков равных масс, сое-
диненных невесомой пружиной, налетает с энергией
W<$ на стенку. Пружина все время остается перпенди-
кулярной стенке, и в начальном состоянии ее колеба-
ния не возбуждены. Удар шарика о стенку абсолютно
неупругий. Найти кинетическую энергию WK и энер-
гию колебаний системы U7KOji после отскока. Полем
тяжести пренебречь.
1.36. На качелях, раскачивающихся с угловой
амплитудой (fa, сидит человек, Когда качели проходят
через положение равновесия, человек резко встает,
а в момент максимального отклонения качелей он
снова садится. На сколько изменится угловая ампли-
туда Дф за период? Центр масс человека поднимается
и опускается на высоту /г, Длина веревок качглей
равна /. При расчетах считать, что l^Ph, массой ка-
челей пренебречь.
1.37. Часы с маятником, будучи установленными
на столе, показывали верное время. Как изменится
ход часов, если их установись на свободно плаваю-
щем поплавке? Масса часов имеете с поплавком рав-
на 103т, где т масса маятника.
1.38. Система состоит из двух одинаковых грузов,
скрепленных пружиной жесткостью к. На одну из
масс действует гармоническая сила с амплитудой Аг>,
направленная вдоль пружины. Найти амплитуду А
установившихся колебаний системы, если частота вы-
нуждающей силы вдвое превышает собственную ча-
стоту системы.
1.39. Горизонтальный диск массой т и радиусом 1{
подвешен в атмосфере некоторого га.ча на упругой
нити с модулем кручения / на расстоянии h {h <С /?)
от горизонтальной неподвижной поверхности. Найти
вязкость Ti газа по результатам измерения логарифми-
ческого декремента затухания б крутильных колеба-
ний. Движение газа между диском и неподвижной по-
верхностью считать ламинарным; краевыми эффек-
тами и трением с другой стороны диска пренебречь.
1.40. Оценить время t соударения футбольного
мяча при слабом ударе о стенку,
1.41. Одним из абсолютных методов определения
энергии, излучаемой импульсными квантовыми гене-
раторами, является измерение механического импуль-
са, возникающего при отражении или поглощении
света твердой-*нэ&ер*н©©?ыо,^Ддя.^атой 'цели можно
17
s
¦
использовать крутильный баллистический маятник.
Момент инерции маятника принять равным 2/ =
= 2-10~6 кг-м2, а расстояние от оси вращения до
отражающего зеркала L = 50 мм. Рассчитать период
колебаний Т такого маятника с чувствительностью
ti = 10 мм/(Дж-м). Вычислить диаметр d кварцевой
нити подвеса длиной /==0,1 м, позволяющей обеспе-
чить такую чувствительность. Д^одуль сдвига кварца
равен G = 10" Па.
§ 1.2. Реактивное движение. Гравитация
1.42. Сосуд конической формы, наполненной водой,
первоначальная высота уровня которой равна ho, мо-
жет перемещаться без трения вдоль горизонтальных
рельсов. Вблизи дна сосуда сбоку сделано маленькое
отверстие, закрытое проб-
Г~~ 7 кой. Если вынуть пробку, то
через отверстие будет выте-
кать струя воды (рис. 1.9).
^^~! Определить скорость v, ко-
" ~ ^з»-. торую приобретет сосуд,
после того как вся вода вы-
течет из него. Массой сосу-
да по сравнению с массой
Рис. 1.9 воды, находящейся в нем,
пренебречь во все время ее
вытекания, (В конце истечения жидкости условие
малости массы сосуда по сравнению с массой жид-
кости выполняться не может.)
1.43. В игрушечную ракету наливается пода, зани-
мающая малую часть внутренней полости ракеты.
В остальную часть полости ракеты накачивается воз-
дух до давления р. Найти высоту h подъема ракеты,
считая, что масса воды m много меньше массы ракеты
/VI, время истечения воды много меньше времени по-
лета, сечение сопла ракеты много меньше сечения
полости.
1.44. По какому захопу должна меняться во вре-
мени масса М ракеты (вместе с топливом), чтобы она
во время работы оставалась неподвижной в поле тя-
жести Земли, если скорость газовой струи относи-
тельно ракеты постоянна и равна и = 2 км/с. Опре-
делить время /i/2, через которое полная масса си-
стемы уменьшится вдвое, а также время /, по истече-
18
нии которого ракета израсходует весь запас топлива.
Масса ракеты без топлива равна mi = 1000 кг, а
масса топлива 1Щ = 9000 кг.
1.45. На ракете установлены два лвигателя с раз-
личным топливом. Один дает газовую струю со ско-
ростью «1 относительно ракеты, другой со скоростью
и2. Сначала работает один двигатель, пока не израс-
ходует весь запас топлива. 3;ггем включается другой,
пока также не будет израсходован весь запас его топ-
лива. Что выгоднее: сначала включить двигатель с
большей скоростью газовой струи, а затем с меньшей
или поступить наоборот? Скорости щ и и2 считать
постоянными.
1.46. Ракета массой mj10 кг стартует с вер-
шины горы высотой h = 2 км и летит так, что газы
все время выбрасываются горизонтально. Пренебре-
гая сопротивлением воздуха, иолсчитать кинетическую
эяертю WK ракеты во время удара о землю. Скорость
газов равна « = 300 м/с, расход топлива (i = 0,03m()
в секунду.
1.47. На сколько процентов уменьшилась масса ра-
кеты, которая в течение времени /==10 мин подни-
малась с поверхности Земли вертикально вверх с по-
стоянной скоростью о = 5 км/с? Скорость истечения
газов относительно ракеты риЕна и 2 км/с. Трением
о воздух пренебречь.
1.48. Поднимаясь вертикально вверх от поверх-
ности Земли с постоянной скоростью v = 5 км/с, ра-
кета достигла высоты, равной диаметру Земли 2/?а-
На сколько процентов уменыиилэсь при этом масса
ракеты, если скорость истечения газов относительно
ракеты равна и = 2 км/с? Трением о воздух пре-
небречь.
1.49. Масса второй ступени двухступенчатой ра-
кеты составляет от массы первой М2/М| а = 0,1, a
отношение массы горючего ь полной массе ступени в
случаях одно- и двухступенчатой ракет равно /Иг/Л1 --
~ к =¦- 0,9. Скорость истечения газов в сравниваемых
ракетах одна и та же и равна и = 2 км/с. На сколько
максимальная скорость, достижимая в свободном кос-
мическом пространстве с помощью двухступенчатой
ракеты, больше, чем в случае одноступенчатой ра-
кет ы ?
1.50. Двухступенчатая ракета поднимается с по-
верхности Земли вертикально вверх. Масса второй
19
стукни ракеты составляет от массы первой M2/Mi =
=-=ct = Q,l, а отношение массы горючего в обеих сту-
пенях к полной массе ступени равно Мг/М = k = 0,9.
Найти минимальную скорость ит-ш выбрасываемых
газов, необходимую для достижения 2-й космической
скорости 02, рассмотрев для этого предельный случай
сколь угодно малой общей массы ракеты (М->-0).
Считать, что на всем протяжении пути разгона уско-
рение свободного падения и масса выбрасываемых в
единицу времени газов постоянны. Сопротивлением
воздуха пренебречь.
1.51. В начальный момент ракета покоилась. За-
тем под действием реактивной силы ракета начинает
двигаться, при этом скорость и истечения газов отно-
сительно ракеты постоянна. Найти скорость v ра-
кеты, при которой кинетическая энергия, приобретен-
ная ракетой, будет максимальной. Действием внеш-
них сил пренебречь.
1.52. Можно ли измерить гравитационную постоян-
ную G с относительной погрешностью 6 = 10%, под-
катывая свинцовый шар к пробному грузу, подвешен-
ному к чашке пружинных аналитических весов с наи-
большей относительной чувствительностью ц = 10~7
@,1 мг/кг)?
1.53. Двойная звезда имеет период Т-3 года, а
расстояние между ее компонентами постоянно и равно
L = 2 a. e. Выразить
массу двойной звезды
М через массу Солнца
_^j Me.
} 1.54. На концах лег-
| кой спицы длиной 21 =
6= 10 см укреплены два
небольших шарика
м м (рис, 1.10). Спица под-
Рис 1.Ю вешена за середину на
неупругой нити и может
свободно поворачиваться в горизонтальной плоскости.
Спица расположена между двумя неподвижными ша-
рами массой М = 1 кг каждый, Расстояние между
центрами шаров равно 2L = 20 см. Найти период Т
малых колебаний спицы,
1.55. Один и тот же маятник помещен сначала на
башне, а затем в глубокой шахте. Высота башнн от-
носительно уровня моря равна h = 500 м, глубина
20
О
шахты # = 2 км. Найти относительное изменение пе-
риодов колебаний Д'Г/7 маятника. Считать Землю
однородным шаром радиусом R^ =6400 км. Влия-
нием протяжения башни пренебречь.
1.56. Математический маятник расположен на по-
верхности Земли над тоннелем метро (рис, 1.11). Тон-
нель находится на глубине Н ¦
= 15 м, его диаметр равен 2R =
= 10 м. Оценить относительное из-
менение периодов колебаний 1\Т/Т
маятника, вызванное наличием тон-
неля. Считать среднюю плотность
грунта равной р = 2 г/см3.
1.57. Считая Землю однородным
шаром радиусом /?з и плотностью
р = 5,5 г/см3, найти завис; мость Рис. 1.1
гравитационного давления от рас-
стояния до центра Земли /?(/). Оценить давление р@)
в центре Земли.
1.5S. Маленький шарик массой ш, имеющий на
бесконечности скорость vq, пролетает через большой
шар массой М и радиусом R, в котором вдоль диа-
метра просверлен канал в направлении движения
шарика. Принимая во внимание гравитационное взаи-
модействие между шарами, определить их относи-
тельную скорость v V {v скорость маленького ша-
рика, '/большого) в момент, когда маленький ша-
рик пролетает через центр большого шара, Считать
начальную скорость большого шара равной нулю.
1.59. Космонавт массой т = 70 кг связан со спут-
ником массой М (т при полете спутника по круговой орбите вблизи
Земли. Определить наибольшую силу натяжения F
шнура. При капом расположении космонавта, спут-
ника и Земли осуществимо это натяжение?
1.60. Оиенить отношение массы планеты Марс к
массе Земли по параметрам эллиптической орбиты со-
ветской автоматической станции «Марс-2», обращаю-
щейся вокруг этой планеты: максимальное удаление
от поверхности планеты в апоцентре равно а
= 25000 км, минимальное удаление в перицентре
6 = 1380 км, Период обращения Марса равен 7м =
= 18 ч, диаметр 2/?м = 6800 <м,
1.61. В одном из фантастических проектов пред-
лагалось использовать для движения поездов силу
21
земного тяготения, соединив пункты отправления и
назначения прямым подземным тоннелем, проходя-
щим через центр Земли, Найти время /, за которое
поезд (без двигателя) пройдет такой тоннель, Считать
плотность Земли постояыюй я пренебречь трением,
1.62. Со спутника, движущегося по круговой ор-
бите со скоростью Vo, стреляют в направлении, со-
ставляющем угол ф=120° к курсу. Найти скорость
v пули относительно спуткш.а, чтобы пуля ушла на
бесконечность.
!.63. Оценить период обращения Т близкого спут-
ника нейтронной звезды (пульсара), плотность кото-
рой равна ядерной: о « 1017 кг/м3.
1.64. При посадке ракеты на Луну ее тормозной
двигатель включается на время t\ на высоте h над
Луной (h <С Rji, где У?лрадиус Луны), Скорость ис-
течения газов относительно ракеты равна и, масса
ракеты без топлива равна т3, Определить минималь-
ную массу М топлива, необходимую для мягкой по-
садки ракеты на Луну. Считать, что скорость vx <С vn
(vo скорость ракеты на высоте /г, которую она при-
обретает только за счет притяжения Луны, vx ско-
рость на бесконечности).
1.65. Определить, какую дополнительную скорость
Аи необходимо кратковременно сообщить спутнику
Земли, движущемуся по очень высокой круговой ор-
бите, чтобы он смог достичь Марса, Орбиты Земли и
Марса считать круговыми, диаметр орбиты Земли ра-
вен 3-108 км, а диаметр орбиты Марса в 1,52 раза
больше, чем у Земли.
1.66. Спутник движется по круговой орбите на вы-
соте h\25() км от поверхности Земли, Для посадки
спутнику сообщается кратковременный импульс, на-
правленный против его скорости, после чего орбита
становится эллиптической с высотой перигея hi =
- 100 км. Дальнейший спуск спутника происходит за
счет торможения в атмосфере. Найти изменение
скорости Ли спутника для такого изменения его ор-
б;:ты.
1.07. Спутник массой т=10 кг, поперечным се-
чением S = 0,5 мг летит на высоте Н 400 км, где
плотность атмосферы р « 1,6-10~" кг/м3. Найти силу
сопротивления f\-enp, испытываемую спутником. К'лк
изменятся скорость Аи и высота АН спутника за один
оборот?
22
1.68. Средняя относительная скорость двух звезд
типа Солнца в уездном скоплении равна и 60 км/с,
а число звезд в кубическом спетовом годе N ~ 10.
Оценить среднее время tcp между столкновениями
этих двух звезд.
1.69. Космический аппарат {.-.пущен с Земли со
скоростью o-i в направлении, перпендикулярном ли-
нии, соединяющей центр Земли с центром Солнца,
в сторону вращения Земли вокруг Солнпа. Опреде-
лить скорость v, с которой он покинет Солнечную
систему.
1.70. Два спутника А и В следуют друг за другом
на расстоянии L - 45 км по общей круговой орбите
вблизи Земли. Чтобы стыковаться, они должны сбли-
зиться и продолжить движение по общей орбите. Ка-
кой простейшей последовательностью коротких вклю-
чений двигателя отстающего спутника В можно
осуществить этот маневр, если его двигатель ориенти-
рован касательно к орбите и каждое включение может
изменить его скорость на величину Аи ^ 8 км/ч'^
1.71. Масса газового облика, состоящего из водо-
рода, равна М = 2-1036 кг, ею температура 7 = 50 К.
Оненить максимальный радиус R облака, при кото-
ром оно буцет сжиматься под действием сил грави-
тации.
1.72. Сможет ли космонагл. подпрыгнув, покниуть
навсегда астероид, масса «.что? о го равна М =
= S,! Ю16 кг и радиус R --= 111 км?
1.73. В момент виикления искусственного cuvi пика
Земли на круговую орбиту скорость спутника откло-
нилась от расчетной па \n,'v ~- 0.! при неиямг^чюм
н;1П;;арлен!!и, Напти отношеппр Ы/х малой и 5o^i-
urofi полуосей реальной элЛ1-гти.чеек'. й орбитм.
§ 1.3. Законы сохракгняя }н;;-рг'?,й. импу.л!,са
¦> ЛК;р/П?НТНеянсрииа '-и-ные системы от "-k-i a
1.74. Небольшое тело, привязанное к нитке, проде-
той через отверстие О в гладком горизонтальном сто-
ле, движется равномерно со скоростью v на расстоя-
нии г от отверстия В некоторый момент нить начи-
нают плавно протягивать че >ез отверстие, и за время
/ тело делает оборот, описав заштрихованную на
рис. 1.12 фигуру, Найти ее площадь S. Показать, что
23
Рис. 1.12
«ели нить протягивать медленно по сравнению с пе-
риодом обращения тела, то отношение H7/oj остается
постоянным (W энер-
гия тела, ш угловая
скорость вращения).
1.75. Трамплин, ис-
пользуемый в цирке, пред-
ставляет собой горизон-
тальную доску, шарнирно
закрепленную в середине.
На один конец доски с до-
статочно большой высоты
прыгает гимнаст массой
ту. Клоун массой т2, стоящий на другом конце доски,
при этом подбрасывается в воздух. Расстояние от
клоуна до шарнира равно h- Определить, на каком
расстоянии /, от шарнира должен прыгнуть гимнаст,
чтобы клоун был подброшен на максимальную вы-
соту. Доску считать невесомой.
1.76. По внутренней поверхности конической во-
ронки, стоящей вертикально, скользит без трения не-
большое тело (рис. 1.13). В на-
чальный момент тело находится
на высоте И, направление его ско-
рости v лежит в горизонтальной
плоскости. При своем дальней-
шем движении тело опускается до
высоты /г/2, а затем начинает
подниматься. Найти скорость те-
ла в верхней (иа) и нижней (он)
точках траектории.
1.77. Земля сталкивается с го-
ловой кометы, состоящей из ме-
теорного роя диаметром 50 000 км.
Относительная скорость Земли и кометы равна
2,8 км/с. Какая часть роя упадет на Землю?
!.78. По направлению к Земле из глубин космоса
движется метеоритное облако, скорость которого на
значительном удалении от Земли равна и = 5 км/с.
Поперечные размеры этого облака много больше диа-
метра Земли, глубина облака (по направлению дви-
жения) составляет h = 1000 км, средняя концентрация
л = 0,1 км~3, а центр облака движется в направлении
центра Земли. Найти общее число /V метеоритов, ко-
торые попадут на Землю.
у//////- //////////7////////
Рис. 1.13
24
1.79. Спутник массой М = 50 кг летит по круговой
орбите на небольшом расстоянии от поверхности
Земли. В спутник попадает и застревает в нем микро-
метеорит массой т = 0,1 г, который летел к центру
Земли со скоростью v 80 км/с. Считая удар цен-
тральным, найти расстояние / между апогеем и пе-
ригеем новой орбиты спутника,
1.80. Спутник Земли состоит из двух масс т; и т2,
соединенных упругой конструкцией длиной *0 жест-
костью х, Для перехода на новую орбиту включают
двигатель с постоянной силой тяги F, связанный с
массой Ш\, в результате чего возникают колебания
системы, В какой момент и как надо изменить силу
тяги, чтобы погасить возникшие колебания? Как изме-
нится при этом расстояние Д/ между т{ и /я2?
1.81. Корабль вместе с ракетой-носителем подни-
мается вертикально вверх с постоянным ускорением и
за время ? = 4 с набирает скорость и aui, где oi
1-я космическая скорость, а a = 0,03. Какую пере-
грузку испытывает при старте космонавт в космиче-
ском корабле на самом начальном участке полета?
Указание. Перегрузкой называется отношение
(Р Ра)/Ро, где Равес косглонавта на Земле, а
Р «вес», который показали бы пружинные весы при
взвешивании космонавта в ракете.
1.82. По круговой окололунной орбите с радиусом,
равным утроенному радиусу Луны, движется старто-
вая «платформа» с космическим кораблем. Корабль
покидает «платформу» в направлении ее движения с
относительной скоростью, равной первоначальной ор-
битальной скорости «платформы», после чего «плат-
форма» падает на Луну. Определить угол а, под ко-
торым «платформа» врезается в лунную поверхность.
Масса «платформы» в дна раза больше массы ко-
рабля.
1.83. По круговой окололунной орбите с радиусом,
равным удвоенному радиусу Луны, движется орби-
тальная станция с космическим кораблем. Корабль
покидает станцию в направлении ее движения, «от-
талкиваясь» от станции с относительной скоростью,
равной половине начальной орбитальной скорости
станции. Найти отношение масс М/т корабля и стан-
ции, при котором станция не упадет на Луну.
1.84. Со спутника, движущегося вокруг Земли
по круговой орбите радиусом R, выстреливают в
25
направлении к центру Земли контейнер. Какую мини-
мальную начальную скорость umin в направлении к
центру Земли нужно сообщить хонтейиеоу, чтобы он,
перейдя на эллиптическую орбиту, коснулся Земли?
Торможением в атмосфере пренебречь,
1,85. Спутник движется вокруг Земли но эллипти-
ческой орбите, в одром ъ.з фокусов которой находится
центр Земли. Пользуясь только законами сохранения
энергии и момента имгульса, выр.азить период обра-
щения спутника У через энергию W, приходящуюся на
единицу его массы. Потен чкяльную энергию при бес-
конечном удалении спутника от Земли принять рав-
ной нулю, В предположении, что орбита спутника
близка к круговой, найти приближенное приращение
AT его периода, если яа спутник действует малая
тормозящая сила, направленная против скорости
(сила торможения, отнесенная к единице массы спут-
ника, равна Ftp).
1.88. Показать, что период 7" спутника, обращаю-
щегося вокруг планеты (или любого другого тел? со
сферическим симметркчним распределением масс)
в непосредственной близости от ее поверхности, зави-
сит только от средней ы-отностк планеты р.
i.P.?. Космический коупбль подходит к JIv;ie по па-
раболической траектории, почт:-'; касающейся поверх-
ности Луны. Чтобы перейти на стелящуюся круговую
орбиту, в момент наибольшего сближения включают
тормозной двигатель, выбрасывающий газы со скоро-
стью и = 4 км/с относительно копабля в начравле^.чи
его движения. Какую чэг.ть общей массы должно го-
ставить сожженное, ranio1:^? Олени.ть темгеоатурч Т
горения, если удельная теплоемкость выо'ргаыв^.чык
газов равна с,, 2,2-103 Дж./(::."¦ К) .
1.88. Ракета стартуе-г с вершимы ¦ся.моП вис;ч;г-.Л
лушю» гоуу. Угпп мечту чаипг:к\еивс-у.. r.'i'jy^ b-.i ¦?-.
тающих газов и горизонтом позыел^'вчелтя. рав \\-rn
ф--=0,1 рад. Скорость струи сткоситель'ло раре-;..!
раина м = 4 км/с. Найти изменеггне массы ракеты л
зависимости от врекенк M(t) при. условии, что ракета
будет двигаться горизонтально. За какое, время / она
наберет 1-ю космическую скорость? Во сколько раз
за это время уменьшится масса ракеты? Какова будет
перегрузка космонавтов?
1.89. Около звезды '-«аосой М по круговой орбите
движется звезда-спутан1.; массой tr>. (,'л-С'И). В ie-
26
который момент времени центральная звезда вспыхи-
вает как сверхновая и выбрасывает массу qhl. Счи-
тая, что эта масса выходит за орбиту спутника мгно-
венно, описать возможные виды последующего дви-
жения спутника.
1.90. Ракета массой М ¦ 1С т движется вокруг
Земли по эллиптической орбите. Расстояние от ракеты
до центра Земли в апогее равно L; 11000 км, а в
перигее /-2 = 6600 км. В апогее ракета взрывается,
распадаясь на две части массами щ\ (этл часть ра-
кеты переходит на круговую орбиту) и /п2 (эта часть
вертикально падает на Землю). Найти массы nil и т2.
Массой газов, образовавшихся при взрыве, пре-
небречь.
1.91. В условиях предыдущей задачи ракета взры-
вается в перигее, распадаясь на две части массами
т\ и tn-i. Масса ш\, двигаясь в первоначальном на-
правлении, переходит на яараболическую орбиту, а т2
меняет направление движения и начинает двигаться
по окружности. Найти массы щ\ и т2, Массой газов,
образовавшихся при взрыве, пренебречь.
1.92. Двойная звезда, одни из которых является
звездой типа Солнца, массой >л 21033 г, а другая
нейтронной звездой радиусом R = 14 км, вращается с
периодом Т = Ъ сут. Определить расстояние L между
компонентами звезды. Считать плотность вещества
нейтронной звезды равной плотности ядерной мате-
рии: р = Ю!7 кг/м3.
1.93. Оценить разность расстояний от центра Зем-
ли до уровня моря на полюсе и на экваторе Земли,
связанную с вращением Земли.
с.94. Артиллерийский снаряд движется с горизон-
тальной скоростью v = 900 и /с по настильной траек-
тории (т. е. траектории, которую приближенно можно
считать горизонтальной прямой). Снаряд должен по-
разить цель на расстоянии L 18 км. Географиче-
ская широта места ф=60° с. ш. Определить боковое
отклонение / снаряда от цели, обусловленное вра-
шением Земли. Зависит ли это отклонение, от на-
правления стрельбы? Сопротивлением воздуха пре-
небречь.
1.95. В абсолютно гладкой трубке на двух одина-
ковых пружинах жесткостью у. закреплен шарик мас-
сой m (рис. 1.14). Шарик колеблется с амплитудой /0.
Трубку начинают медленно раскручивать с угловой
27
скоростью со относительчо оси, перпендикулярной
трубке и проходящей через положение равновесия ша-
рика. Определить зависимость периода и амплитуды
колебаний от угловой
скорости вращения труб-
ки: /"(со), /(со).
1.96. Велосипедист дви-
жется с постоянной ско-
ростью v по радиусу го-
Рис. 1,14 ризонтального диска,
вращающегося с частотой
п оборотов в минуту. Определить угол наклона а ве-
лосипедиста и направление наклона,
1.97. Муфта массой т может скользить без трения
по горизонтальной штанге (рис. 1.15). К муфте с
обеих сторон прикреплены одинаковые невесомые
пружины жесткостью к.
Штанга вращается во-
круг вертикальной оси с
постоянной угловой ско-
ростью ш. Муфту сдвига-
ют от положения равно-
весия на величину /, а за-
тем отпускают. Опреде-
лить, как будет двигаться
муфта.
1.98. По диаметру диска радиусом /? высверлен
канал, в котором в начальный момент времени вблизи
центра вращения помещен шарик. Угловая скорость
вращения диска равна ш. Найти скорость v, с которой
зылетнт помещенный внутрь канала шарик. Трением
пренебречь.
1.99. На широте ф 60° в землю вертикально за-
рыт рельс длиной /=10 м. Оценить разность потен-
циалов U, возникающую между концами рельса из-за
вращения Земли.
1.100. В центре неподвижной карусели находится
человек. Он переходит с постоянной скоростью к краю
карусели, двигаясь при этом с юга на север. Считая
карусель однородным диском, определить, при каком
соотношении масс человека и карусели т/М послед-
няя приобретет угловую скорость, равную половине
угловой скорости суточного вращения Земли. Считать,
что карусель находится на широте ф = 60°, трением
в подшипниках карусели пренебречь.
28
-
ш
ul
Рис.
УУ/л

л
1
'
1.15
X
§ 1.4 Движение твердого тела и жидкости
1.101. В одном из фантастических проектов пред-
лагалось изменить скорость вращения Земли с по-
мощью снаряда, запущенного по касательной к эква-
тору. Какова должна быть разность с v скоростей
света и снаряда, чтобы остановить вращение Земли
вокруг собственной оси? Найти отношение кинетиче-
ской энергии снаряда и кинетической энергии враще-
ния Земли. Массу покоя снаряда принять равной
m = 106 кг, радиус Земли R d = 6370 км, масса /Из =
= 6-1024 кг. Момент инерции Земли относительно оси
вращения с учетом неоднородности ее плотности с
большой точностью выражается формулой 3^з =
1.102. Определить максимальную линейную ско-
рость v точки на поверхности электрона в классиче-
ской (и неверной) модели, предполагая, что масса
электрона те = 9,1 ¦ 10~28 г однородно заполняет сферу
радиусом /-о = е,'2/(т.ес2) = 2,8- Ю-13 см. Собственный
момент количества движения электрона (спин) равен
ft/2, где Тг постоянная Планка.
1.103. На тяжелый барабан, вращающийся вокруг
горизонтальной оси, намотан легкий гибкий шнур. По
шнуру лезет вверх обезьяна массой т. Определить ее
ускорение а относительно шнура, если ее скорость
относительно земли постоянна. Момент инерции бара-
бана равен 2/', его радиус R.
1.104. Шар скатывается по плоскости, наклонен-
ной под углом а к горизонту. Определить, при каком
значении а начнется ка-
чение со скольжением,
если коэффициент трения
скольжения между катя-
щимся шаром и плоско-
стью равен k. Рассмотреть
два случая; 1) шар сплош-
ной, 2} шар полый.
1Л05, Катушка с ннт- ^^V1^ r _... . к>
кой находится на плоско- 7^7/777777////////////////777//'
сти с углом наклона, рав- Рис. 1.16
ным а (рис. 1,16). Свобод-
ный конец нитки прикреплен к стене так, что нитка па-
раллельна наклонной плоскости. Определить ускоре-
ние а, с которым катушка движется по наклонной
29
плоскости. Масса катушки равна т, мом?нт инерции
катушки относительно ее оси равен &, коэффициент
трения катушки с наклонной плоскостью я, радиусы
катушки R и г.
1.106. Определить ускорение а, с которым катушка
движется по наклонной плоскости, в условиях преды-
дущей задачи, если нитка
намотана на катушку
так, как показано на рис.
1.17.
1.107. Полый цилиндр
массой М, внутри которо-
го находится сплошной
цилиндр радиусом г =
Vyyy77yyyyyyyy/77777777y77}y7Zy =0,6/? и массой т, ска-
Рис. 1.17 тывается без скольже-
ния с наклонной пло-
скости, образующей угол а с горизонтом. Внутрен-
ний цилиндр катится по поверхности внешнего
также без скольжения. Начальные скорости обоих
цилиндров равны нулю. Определить ускорение а си-
стемы.
1.108. Табуретку наклоняют так, что она опирается
о пол двумя ножками, и отпускают, после чего она
«встает» опять на все четыре ножки. Коэффициент
трения между табуреткой и полом равен k. Оценить
перемещение / табуретки по полу. Считать длину, ши-
рину и высоту табуретки одинаковыми, а массу со-
средоточенной в сидении,
1Л09. С колеса движущегося автомобиля соскаки-
вает декоративный колпак, который, попрыгав по до-
роге, начинает катиться сразу без скольжения. При
какой скорости и0 автомобиля это возможно? Радиус
колеса равен R = 40 см, колпак можно рассматривать
как однородны:1! диск радиуса г --- 20 см, коэффициент
трения между колпаком и дорогой fe 0,2.
1.110. С автомобиля, движущегося со скоростью v,
соскочило колесо и покатилось но земле. Наблюдение
показало, что колесо описало по земле окружность
радиусом R. Определить угол наклона ср оси колеса
к горизонту. Всю массу колеса считать сосредоточен-
ной на периферии. Известно, что R много больше ра-
диуса колеса.
1.111. Заводской кран, масса которого вместе со
стрелкой равна М = 73 т, стоит на рельсах. Стрела
крана массой m = 20 т составляет с вертикалью угол
а = 6O'J и находится и плоскости, перпендикулярной
рельсам. Центр масс стрелы отстоит на расстояние
1 = 5 м от ее основания. Оставаясь в плоскости, пер-
пендикулярной рельсам, стрела поворачивается на
угол 2а. Какую скорость v приобретет при этом кран?
Рельсы направлены по меридиану, географическая ши-
рота равна (г = 60", Трением качения и трением в осях
колес крана пренебречь.
1.112. Определить максимальное гироскопическое
давление быстроходной турбины, установленной на
корабле. Корабль подвержен килевой качке с ампли-
тудой ф = 9° и периодом 7 = 15 с вокруг оси, перпен-
дикулярной оси ротора. Ротор турбины массой т =
= 3500 кг и радиусом R 0,(j м вращается с часто-
той п = 3000 об/мин, Расстояние между подшипни-
ками равно I 2 м.
1.113. По внутренней поверхности вертикальной ци-
линдрической стены едет мотоцикл. Чтобы обеспечить
возможность движения в строю горизонтальном поло-
жении, к мотоциклу приделан маховик с. моментом
инерции 3, вращающийся вокруг1 оси, которая верти-
кальна, когда мотоцикл стоит ни земле. Масса мото-
цикла с ездоком равна т, a uetnp масс находится на
расстоянии / от поверхности стены
(радиус цилиндрической стены мно-
го больше размеров мотоцикла).
Каков должен быть коэффициент х
передачи вращения от колес к ма-
ховику, чтобы мотоцикл мот без
проскальзывания колес двигаться,
не теряя высоты? Радиус колес ра-
вен г, коэффициент трения между
колесами и стеной к.
1.114. Два одинаковых точечных
груза массой т вращаются вокруг
неподвижной жесткой оси на ипан-
ге с постоянной угловой скоро-
стью со (рис. 1.18). Ось и штанга
невесомые. Найти момент импульса
if системы относительно точки О; зависит ли ?в от
выбора точки отсчета? Определить силу F, удержи-
вающую ось в подшипниках А: 1) из элементарных
соображений, 2) найдя сначала их момент Л =
Рис, ! 18
31
Рис. 1.19
1.115. Обруч радиусом R бросают вперед со ско-
ростью v и сообщают ему одновременно угловую ско-
рость со. Определить минимальную угловую скорость
comin, при которой обруч после движения с проскаль-
зыванием покатится назад. Найти конечную скорость
vK, если со > cumin. Трением качения пренебречь.
1.116. По шарику массой т радиусом R, лежа-
щему на горизонтальном столе, наносится короткий
горизонтальный удар, сооб-
щающий ему импульс р (рис.
1.19). Высота удара над цен-
тром масс шарика равна kR
(k^.. 1). Найти энергию посту-
пательного (Wn) и вращатель-
ного (WE) движения шарика.
При каком значении k шарик
покатится без скольжения?
1.117. Биллиардный шар катится без скольжения
по горизонтальному столу перпендикулярно верти-
кальной стене и ударяется об нее. Деформация шара
и стены во время удара упругая. Коэффициент трения
между шаром и стеной равен k. Пренебрегая дейст-
вием силы тяжести за время удара и трением качения,
определить, под каким углом а к горизонту шар отра-
зится от стены. Исследо-
вать зависимость резуль-
тата от коэффициента
трения k.
1.118. Упругий мяч
массой т = 0,2 кг уда-
ряется со скоростью v =
=20 м/с в центр непо-
движного гладкого кожу-
ха гироскопа, обладающе-
го моментом импульса
^ = ^2 = 40 кг-м2/с и
имеющего одну непо-
движную точку х = у =
= г = 0 (рис, 1.20). Ко-
ординаты точки удара ха = 0, zo = 0,2 м. Какое поло-
жение примет ось гироскопа после удара?
1.119. Раскрученный до частоты вращения п =
= 1000 об/мин стальной диск радиусом Ry = \Q см
опускается на первоначально покоившийся стальной
диск радиусом R2 = 20 см (рис. 1.21). Толщина дисков
А
т
О
Рис. 1.20
32
равна d\ = 1 см, d2 = 2 см. Какое количество теплоты
Q выделится во время проскальзывания дисков друг
относительно друга? Моментом инерции оси и тре-
нием в подшипниках пренебречь. Плотность стали
равна р = 7,8-103 кг/м3.
1.120. Тонкий однородный стержень длиной / =
= 0,3 м лежит на шероховатой поверхности с коэф-
фициентом трения fe = 0,l
(рис. 1.22). Один из его
концов нанизан на вер-
тикальную ось 0, вокруг
которой он может вра-
Рис. 1.21
Рис. 1.22
щаться, причем трением в оси можно пренебречь.
В начальный момент с этим стержнем сталкивается
точно такой же стержень, который двигался поступа-
тельно со скоростью v = 3 м/с. Удар абсолютно не-
упругий. В момент удара стержни параллельны. Через
сколько оборотов п прекратится их вращение?
1.121. Тонкий стержень массой М и длиной / ле-
жит на гладкой горизонтальной плоскости и может
свободно без трения вращаться вокруг неподвижной
вертикальной оси, проходящей через один из его кон-
цов. В начальный момент стержень покоится. В стер-
жень ударяется шар массой т, движущийся со ско-
ростью v перпендикулярно стержню. Удар абсолютно
упругий, точка удара находится на расстоянии х от
оси стержня. Найти угловую скорость вращения ю
стержня после удара. Соотношение между массами
М, т и расстоянием х такое, что после удара шар
остановился, а стержень получил максимально воз-
можную угловую скорость вращения.
1.122. Шарик массой т подвешен на нерастяжи-
мой нити длиной / и отклонен на малый угол из поло-
жения равновесия. К той же точке, что и нить, подве-
шен одним концом однородный стержень длиной
/i=C/2)/. Какова должна быть масса стержня т\,
чтобы в результате столкновения шарик остановился?
2 Сборник задач по физике
33
Рис 1.23
Удар абсолютно упругий. Каково будет движение
стержня после столкновения? Определить период ко-
лебаний шарика Т.
1.123. Вертикальная винтовая шпилька длиной /
гложет вращаться без трения вокруг своей оси. Шаг
резьбы равен А, момент инерции шпильки Э\, гайки
Эъ масса ганки т. Найти время /, за которое со
шпильки свинтится гайка, если она начинает дви-
гаться из верхней точки шпильки без начальной ско-
рости. Трением в резьбе пренебречь.
1.124. Стержень, расположенный горизонтально,
падает с высоты h и упруго ударяется одним концом
о край стола. Определить ско-
рость v центра инерции стерж-
ня непосредственно после
удара.
1.125. Шарик массой m вле-
тает в спиральный лабиринт,
который может свободно дви-
гаться в пространстве, и оста-
навливается в его центре
(рис. 1.23). Начальная ско-
рость шарика равна v, радиус
лабиринта R, его масса М, момент инерции .7. Найти
уголовую скорость и лабиринта после того, как ша-
рик остановится. Размерами шарика пренебречь.
1.126. Стержень закреплен на потолке шарниром.
По его нижнему концу наносят короткий удар, им-
пульс которого равен р в горизонталь-
ном направлении. Определить импульс
силы реакции рх в подвесе.
1.127. Два одинаковых стержня со-
единены шарниром и лежат на глад-
ком горизонтальном столе (рис. 1.24).
По концу одного из стержней нано-
сится удар в направлении, перпендику-
лярном оси стержней. Найти отношение
угловых скоростей (лу/щ и скоростей
v\/vi центров масс стержней после
удара.
1.128. С помощью очень короткой нити однородный
стержень длиной / привязан одним концом к потолку.
Стержень отводят на угол 45° от вертикали и сооб-
щают его нижнему концу скорость в направлении,
перпендикулярном вертикальной плоскости отклоне-
Уйар
Рис 1.24
ния стержня. Найти минимальную скорость wmin, ко-
торую нужно сообщить стержню, чтобы при дальней-
шем движении он смог коснуться потолка.
1.129. В районе Северного полюса на Землю па-
дает метеорит массой m = 1000 t со скоростью v =
= 20 км/с под углом <р = 45° к вертикали. Найти, на
какой угол а повернется земная ось в результате со-
ударения с метеоритом.
1.130. Два одинаковых шара катятся без скольже-
кия навстречу друг другу с одной и той же скоростью
vo = 14 м/с. Предполагая, что удар является упругим
и центральным и за время соударения шаров угловые
скорости не изменяются, вычислить скорость v каж-
дого шара после столкновения, когда установится чи-
стое качение. Трением качения пренебречь.
1.131. Пуля массой т, летящая горизонтально со
скоростью vq, попадает в покоящийся на горизонталь-
ном шероховатом столе деревянный шар массой М и
радиусом У? на расстоянии / ниже центра масс шара
и застревает в нем. Найти установившуюся скорость
v шара. Считать, что т < М.
1.132. Пуля массой т, летящая горизонтально со
скоростью vq, попадает в покоящийся на горизонталь-
ном шероховатом столе
металлический шар мас-
сой М и радиусом R на
расстоянии R/2 выше
центра масс шара и рико-
шетом отскакивает от не-
го вертикально вверх
(рис. 1.25). Спустя неко-
торое время движение
шара по столу переходит Рис. 1.26
в равномерное качение со
скоростью V]. Определить скорость v пули после
удара по шару.
ЫЗЗ. В лежащий на столе шар массой М и радиу-
сом R попадает пуля массой т, летящая со скоростью
v0 и вращающаяся вокруг своей оси с угловой скоро-
стью <о0. Радиус инерции пули равен г. Пуля застре-
вает в центре шара. Найти энергию W, потерянную
при проникновении пули в шар. За время проникнове-
ния пули смещением шара пренебречь.
1.134. Однородный шар радиусом R, вращающийся
с угловой скоростью шо, положен на горизонтальную
2* 35
плоскость так, что ось его вращения наклонена под
углом ф к вертикали. Определить скорость v и угло-
вую скорость а вращения шара, которые устанавли-
ваются после того, как проскальзывание шара по пло-
скости прекратится. Трением качения пренебречь.
1.135. К середине однородного стержня массой т
и длиной /, верхний конец которого подвешен на шар-
нире, прикреплена горизонтальная пружина жестко-
стью к. В положении равновесия пружина не деформи-
рована. Найти период Т малых колебаний стержня
в плоскости, проходящей через пружину и стержень.
1.136. В центре обруча массой /и, и радиусом R с
помощью легких спиц укреплен сплошной шар радиу-
сом R/2 и массой /и2 = 2/И| (рис. 1.26). Обруч висит
на гвозде А. Найти период Т его малых колебаний.
Рис. 1.26
Рис. 1.27
1.137. Маятник имеет вид обруча, висящего на лег-
кой планке (рис. 1.27). Радиус обруча равен R, рас-
стояние от центра обруча до точки подвеса маятника
2R. Найти период Т малых колеба-
ний маятника.
1.138. Обруч массой m и радиу-
сом R приварен к другому обручу
такой же массы и радиуса 2R
(рис. 1.28). Система стоит на гори-
зонтальном столе. Определить пе-
риод Т ее малых колебаний.
1.139. Ось дверцы шкафа шири-
ной Ь образует с вертикалью угол
а. Считая дверцу однородной тон-
кой пластиной и пренебрегая трением, найти период
Т ее малых колебаний относительно положения рав-
новесия.
1.140. На абсолютно гладкой винтовой шпильке с
шагом резьбы h и внутренним диаметром d находится
Рис. 1.28
Рис. 1.29
цилиндрическая гайка массой М с внешним диаметром
D (рис. 1.29). Гайка зажата с торцов двумя спираль-
ными пружинами жесткостью щ и х2. При вращении
гайки концы пружин свободно про-
скальзывают по торцевым поверхно-
стям гайки. Найти период Г колебаний
гайки.
1.141. Орбитальная станция, совер-
шающая оборот вокруг планеты за пе-
риод Го = 1,5 ч, состоит из двух одина-
ковых отсеков, соединенных тросом
длиной 100 м. Найти положение рав-
новесия системы относительно продол-
жения радиуса планеты и период Г
колебаний вокруг этого положения.
1.142. Ворот представляет собой деревянный ци-
линдр с ручкой, изготовленной из металлического
прута с линейной плотностью р/ = 2 кг/м, радиус ко-
торого можно считать
пренебрежимо малым по
сравнению с радиусом во-
рота (рис. 1.30). Опреде-
лить период Г малых ко-
лебаний колодезного во-
рота около положения
равновесия. Линейные
размеры ворота: /=1 м, Рис. 1.30
2г = 0,2 м, а = 0,3 м.
Плотность дерева принять равной р = 700 кг/м3. Тре-
нием в подшипниках пренебречь.
1.143. Два одинаковых стальных бруска длиной
/ = 0,1 м (плотность р = 7,8-103 кг/м3, модуль Юнга
?ю = 2-10" Па) сталкиваются торцами. Рассматри-
вая упругие волны, оценить время t соударения бру-
сков. При каких скоростях v брусков возникнут
неупругие явления, если предельное давление стали
р = 2-108 Па?
1.144. Найти упругую энергию W, запасенную в
шаре радиусом R, имеющем модуль объемного сжатия
К и подвергнутом всестороннему давлению р.
1.145. На абсолютно гладкой поверхности лежит
брусок длиной / квадратного сечения со стороной Ь,
изготовленный из однородного материала, модуль
Юнга Ею которого известен. Начиная с определен-
ного момента на один из концов бруска начинает
37
Рис 1.31
действовать сила F, равномерно распределенная по
всему сечению бруска. Найти изменения длины Д/ и
объема AV бруска.
1.146. Однородный круглый резиновый жгут дли-
пой / и диаметром D помещен в стальную трубку с за-
крытым концом того же диаметра (рис. 1.31). На ко-
нец жгута со стороны открытого конца трубки на-
чинает действовать сила
F, равномерно распреде-
ленная по сечению жгута.
Определить, насколько
уменьшится при этом дли-
на Д/ жгута? Упругие
константы резины считать
известными.
1.147. Определить максимальное давление р, кото-
рое может произвести вода при замерзании. Плот-
ность льда равна рл = 0,917 г/см3, модуль Юнга Ею =
= 2,8-1010 Па, коэффициент Пуас-
сона ji = 0,3.
1.148. В цилиндрический сосуд
налита вода до высоты 1г. В дне со-
суда проделано круглое отверстие
радиусом г0 (рис. 1.32). Найти ра-
диус струи воды, вытекающей из
отверстия, в зависимости от рас-
стояния до дна сосуда, г (у).
1.149. Однородный тонкий упру-
гий стержень вращается в горизон-
тальной плоскости вокруг оси, проходящей через один
из его концов, с постоянной угловой скоростью.
В некоторый момент времени стержень срывается с оси.
Во сколько раз изменится
при этом его относительное
удлинение (рассчитанное по
отношению к длине покоя-
щегося стержня)?
1.150. В цилиндрическом
сосуде с площадью основа-
ния S] налита вода до вы-
соты h. Возле дна сосуда проделано небольшое отвер-
стие площадью 52. Определить время t вытекания
воды.
1.151. Цилиндрический сосуд высотой h погружен
в воду на глубину Ао (рис. 1.33). В дне сосуда пло-
Рис. 1.32
« s >
Si
Л
Рис. 1.33
38
щадыо S появилось маленькое отверстие площадью
5,. Определить время t, через которое сосуд утонет.
1.152. В бассейне испытывается модель корабля а
0,01 натуральной величины. Проектная скорость ко-
рабля равна v = 36 км/ч. Найти скорость и, с кото-
рой надо буксировать модель, чтобы картина грави-
тационных волн была подобна натуре.
1.153. Оценить методом размерностей фазовую
скорость волн на поверхности жидкости, пренебрегая
влиянием поверхностного натяжения и конечной глу-
бины.
II. ТЕРМОДИНАМИКА И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
§ 2.1. Газовые законы. Первое и второе
начала термодинамики.
Термодинамические циклы
2.1. Три сосуда объемами Vo, V,, V2, содержащие
идеальный газ, соединены тонкими трубками. Вна-
чале все три сосуда находятся при одной и той же
температуре То, давление в них равно р0. Затем сосуд
объемом Vo оставляют при температуре То, а сосуды
объемами Vi и V2 нагревают до температур Т} и Т2.
Найти давление р, установившееся в сосудах. Объ-
емом трубок пренебречь.
2.2. Температура между двумя оконными рамами
изменяется по линейному закону от Г, до Т2 > 7Y
Площадь окна равна S, расстояние между рамами /,
молярная масса воздуха ц. Определить массу m воз-
духа, заключенного между
рамами при атмосферном А
давлении р0. ра
2.3. Вычислить молярную
теплоемкость C(V) идеаль-
ного газа, совершающего
процесс, показанный на Уо V
рис. 2.1. Его параметры р0 Рис 2 1
и Vo определены на ри-
сунке. Значение параметра у = Cp/Cv считать извест-
ным. Какой максимальной температуры Гтах дости-
гает газ в этом процессе? Указать политропические
процессы, графики которых на pV-диаграмме касают-
ся прямой, представленной на рис. 2.1, в точках, со-
ответствующих C(V) = 0 и C'(V) = oo.
39
2.4. Молярная теплоемкость газа в некотором про-
цессе постоянна и равна С = A7/6) Я, а у = 7/5. Как
зависит давление газа р от его температуры Т в этом
процессе?
2.5. Для идеального газа с произвольным показа-
телем адиабаты у найти уравнение процесса, при ко-
тором молярная теплоемкость С зависит от темпера-
туры Т по закону С = |Р, где | = const.
2.6. Идеальный газ сжимается под поршнем в ци-
линдре так, что уходящая в окружающую среду теп-
лота равна приращению внутренней энергии газа.
Определить работу А внешних сил, затраченную на
сжатие одного моля газа при изменении объема в два
раза. Чему равна теплоемкость С в этом процессе?
Начальная температура газа равна То, теплоемкость
при постоянном объеме Су, показатель адиаба-
ты у.
2.7. Доказать, что для вещества с произвольным
уравнением состояния температурный коэффициент
объемного расширения р, температурный коэффициент
давления уа и изотермический коэффицент всесторон-
него сжатия хт связаны соотношением р = уах.т.
2.8. Теплоизолированный сосуд разделен тонкой
неподвижной теплопроводящей перегородкой АВ на
ж две части (рис. 2.2). В од-
""""" н01-[ находится моль газооб-
разного водорода Н2, в дру-
гой моль газообразного
„,„„„ гелия Не. Начальное со-
стояние системы равновес-
Рис. 2.2 ное, причем оба газа име-
ют одинаковое давление и
одинаковую температуру Г0 = 293К. Затем поршень
CD адиабатически и квазистатически выдвигают, в ре-
зультате чего объем гелия увеличивается в два раза.
Какова будет установившаяся температура Т обоих
газов после расширения?
2.9. Теплоизолированный сосуд закрыт подвижным
поршнем. Исходный объем под поршнем разделен не-
проницаемой перегородкой на две равные части,
В одну часть помещен идеальный газ, а вторая отка-
чана до высокого вакуума. Затем перегородка уби-
рается, и газ заполняет весь объем сосуда. После
этого газ нагревают, заставляя его последовательно
совершать два процесса: 1процесс при постоянном
40
А
В
Не
Рис. 2.3
давлении, в результате которого объем газа увеличи-
вается в четыре раза, 2 процесс при постоянном
объеме, в результате которого восстанавливается
исходное давление газа. В обоих процессах газу со-
общается одинаковое количество теплоты. Определить
показатель адиабаты газа у.
2.10. Положительную или отрицательную работу А
совершает идеальный газ при круговом процессе
1 2 3 1 (рис. 2.3)? Че-
му равна эта работа для т
граммов газа? Начальный и
конечный объем и темпера-
тура газа равны Vi, T\ и
V2, Т2.
2.11. Две органные трубы
одинаковой длины продува-
ют: одну воздухом при ком-
натной температуре То, а
другую гелием. Опреде-
лить температуру Т гелия,
при которой тоны второй трубы будут на одну ок-
таву выше (отношение частот равно двум) соответ-
ствующих тонов первой трубы. Показатели адиабаты
воздуха и гелия, а также их молярные массы из-
вестны.
2.12. Найти скорость v адиабатического истечения
струи идеального газа из сосуда через маленькое от-
верстие в вакуум, если известны скорость s звука в
газе и показатель адиабаты у.
2.13. Вычислить, во сколько раз стартовая масса
одноступенчатой ракеты ш0 должна превышать ее ко-
нечную массу ш, чтобы ракета могла достичь первой
космической скорости v\. Принять, что истечение в ва-
куум продуктов горения в двигателе ракеты происхо-
дит по идеальному адиабатическому процессу с пока-
зателем адиабаты у = 1,2. Средняя молярная масса
продуктов горения равна ц=30 г/моль, температура
горения Т = 3000 К. Влиянием силы тяжести и трения
о воздух на участке ускорения ракеты пренебречь.
2.14. Оценить давление р у самого «носа» ракеты,
если число Маха Ж = 5, а давление на высоте полета
ракеты р0 = 0,3 атм. Считать процесс сжатия газа
адиабатическим с показателем адиабаты у, а ско-
рость газа относительно ракеты у ее «носа» равной
нулю.
41
2.15. Определить к. п. д. цикла К, проходящего по-
следовательно через состояния: 1) 2р, V; 2) 2р, 8V;
3) р, 4V; 4) р, 2V. Газ одноатомный, все участки
цикла политропические. (Под к. п. д. понимается от-
ношение полной работы за цикл к сумме теплот по
всем участкам цикла, где рабочее тело поглощает
тепло.)
2.16. Одноатомный идеальный газ, находящийся
при давлении рх и объеме V\, изобарически сжимается
до объема V2 = Vi/4, а затем по политропе перево-
дится в состояние p3 = 8pi и Уз = Vi/8. После этою
происходит изобарическое расширение до объема
Vn = Vi/4. Далее газ по политропе возвращается в
первоначальное состояние. Найти к. п. д. цикла К.
2.17. При адиабатическом сжатии жидкости отно-
сительное изменение объема составляет AV/V=O,1 °/o,
а температура поднимается на ДТ = 1 К. Найти по
этим данным отношение CP/CV, если температурный
коэффициент объемного расширения жидкости р =
= 10~4 К. Чему равно приращение давления Др в
жидкости, если ее температурный коэффициент дав-
ления уд = Ю5 Па/К?
2.18. Во сколько раз изменится к. п. д. двигателя
внутреннего сгорания, если коэффициент сжатия п
увеличить с П[ = 5 до п2 = 10?
Указание. Реальный цикл двигателя заменить
идеальным замкнутым циклом, состоящим из двух
изохор и двух адиабат, а рабочее вещество считать
многоатомным идеальным газом.
р, ami
Политрапа
У
- -if-
1
1
1
1
Рис
Изотерма
г \ 4
| |
i ! I
2 3 4 VfJJ
, 2,4
2.19. Идеальный двухатомный газ совершает цикл,
изображенный на рис. 2.4. Найти полную работу А
за цикл и вычислить к. п. д. К.
2.20. Атмосфера Земли может рассматриваться как
гигантская тепловая «машина», в которой роль нагре-
вателя и холодильника играют экваториальная зона
42
и зоны полюсов, а источником энергии является сол-
нечная радиация. Считая, что полный поток солнеч-
ной энергии, поступающей на Землю, равен /w =
= 1,7-1017 Вт, а к. п. д. К рассматриваемой «машины»
на порядок меньше максимально возможного, оценить
среднюю мощность Р, расходуемую на образование
ветров, в расчете на 1 м2 земной поверхности. Обсу-
дить физические причины, вследствие которых
К < /(max.
2.21. Доказать, что для вещества с произвольным
уравнением состояния, описываемым однозначной
функцией Г = Т(р, V), две политропы не могут встре-
чаться более чем в одном состоянии.
2.22. Изобразить на pV-диаграмме и проанализи-
ровать с помощью термодинамических тождеств цикл
Карно для тепловой машины, работающей на веще-
стве, для которого во всей рабочей области
(dp/dT)v < 0. Указать расположение «горячек» и
«холодной» изотерм и установить знаки теплоты на
обеих изотермах.
2.23. Имеется N молей льда при температуре плав-
ления Гпл и окружающая среда, находящаяся при
температуре Т > Тпл. Найти максимальную работу
Атах, которая может быть совершена в подобной си-
туации, считая, что вся система адиабатически изо-
лирована и масса льда пренебрежимо мала в сравне-
нии с массой среды. Зависимостью молярной тепло-
емкости воды Св от температуры пренебречь.
2.24. Какую максимальную работу ЛШах можно по-
лучить от циклически действующей машины, нагрева-
телем которой служит масса т\ = 1 кг воды при на-
чальной температуре Г, = 373 К, а холодильником
nin l кг льда при температуре Г2 = 273К, к мо-
менту, когда весь лед растает? Чему будет равна тем-
пература воды Т в этот момент? Удельная теплота
плавления льда равна ^ ^ 335 кДж/кг, зависимостью
удельной теплоемкости воды от температуры пре-
небречь.
2.25. В объеме Vi = 3 л находится Ni = 0,5 моль
кислорода О2, а в объеме V2 = 2 л находится N?. =
= 0,5 моль азота N2 при температуре Г = 300 К-
Найти максимальную работу Атах, которая может
быть совершена при смешивании этих газов в суммар-
ном объеме Vi + V2 в изотермическом и адиабатиче-
ском процессах. Оба газа считать идеальными.
43
2.26. Найти приращение энтропии Д5 одноатом-
ного идеального газа при политропическом сжатии
вдвое от первоначального объема, если в ходе всего
процесса приращение внутренней энергии равно по-
ловине работы сжатия, совершенной над газом.
2.27. В двух сосудах находится по одному молю
идеального газа. Температура газа в обоих сосудах
одинакова, давление в первом сосуде ри а во вто-
ром рй. Найти приращение энтропии Д5 системы
после соединения сосудов для случаев, когда газы
одинаковы и когда различны.
2.28. В замкнутой трубе объемом V находится
смесь двух идеальных газов по N молей каждого.
У краев трубы находятся
I1| поршни (рис. 2.5), каждый
*~ с | Г из них «прозрачен» для од-
ного из газов. При переме-
РиС/ 25 щении поршней в сред-
нюю точку газы полностью
разделяются. Найти работу А, совершаемую внеш-
ними силами при изотермическом квазистатическом
перемещении поршней, и сравнить отношение А/Т
(где Т термодинамическая температура) с прира-
щением полной энтропии газов.
2.29. Адиабатически изолированный сосуд разде-
лен перегородкой на две равные части, одна из кото-
рых пуста, а в другой находится 1 моль двухатомного
идеального газа при температуре Го. Перегородку
удаляют, и после того как газ равномерно заполняет
весь сосуд, этот газ квазистатически сжимают до на-
чального объема теплонепроницаемым поршнем. Чему
равны приращения энтропии Д5 и температуры ДГ
газа по сравнению с их первоначальными значениями?
2.30. Воздух, находящийся в замкнутом теплоизо-
лированном объеме V=100 м3, является нагревате-
лем идеальной холодильной машины, потребляющей
мощность Р = 100 Вт. Начальная температура воз-
духа ГВОад = 300К, начальное давление р = \ атм,
температура холодильной камеры ГХ = 273К. Оце-
нить, какое время / должна проработать машина, что-
бы температура воздуха в этом объеме повысилась на
ДГ = 1 К.
2.31. Серебряная проволока диаметром d=l мм
адиабатически нагружается силой F=10 H при ком-
натной температуре Т = 300 К. Полагая, что удель-
44
ная теплоемкость серебра равна с = 234 Дж/(кг-К),
плотность р = 104 кг/м3, а температурный коэффи-
циент линейного расширения а = 1,9 10~5 К, опре-
делить изменение температуры ДГ проволоки.
2.32. В расположенном вертикально теплоизолиро-
ванном цилиндре радиусом г имеется теплопроводя-
щий поршень массой т. Первоначально он закреплен
так, что делит цилиндр на две равные части. В каж-
дой из этих частей содержится N молей одного и того
же идеального газа при давлении р и температуре Т.
Крепление поршня удаляется, и под действием силы
тяжести он опускается. Определить приращение эн-
тропии AS системы к моменту установления равнове-
сия. Считать, что nr*p ~> mg.
2.33. Гелий, первоначально находившийся в сосуде
объемом V = 20 л при давлении р = \ атм, продиф-
фундировал наружу. Найти приращение энтропии AS
гелия и вычислить минимальную работу Ат\п, кото-
рую нужно затратить, чтобы собрать из атмосферы в
сосуд такое же количество гелия.
Указание. В обычном воздухе на 1 атом гелия
приходится 107 молекул других газов.
2.34. В ударной волне нагревание газа происходит
настолько быстро, что первоначально нагревание от
исходной температуры То до высокой температуры Т\
происходит лишь по внешним поступательным и вра-
щательным степеням свободы. После этого постепенно
возбуждаются внутренние, т. е. колебательные, сте-
пени свободы; этот процесс называется «колебатель-
ная релаксация». Найти отношение температур двух-
атомного газа после колебательной релаксации (Г2)
и до нее G\), а также изменение энтропии моля газа
при релаксации в условиях, когда kbT\ *Э> Йш и kBT0 ^
с< Йш, где со круговая частота
внутримолекулярных колебаний,
/>б постоянная Больцмана. Счи-
тать, что релаксация происходит
при постоянном давлении и в
условиях тепловой изоляции.
2.35. Два цилиндра, заполнен-
ных одинаковым идеальным двух-
атомным газом, сообщаются с по-
мощью узкой трубки; оба они закрыты поршнями, ко-
торые поддерживают в газе постоянное давление р =
= 3 атм (рис. 2.6). Первоначально цилиндры разде-
45
p
г,
v,
р
h
Рис. 2.6
лены, причем значения объемов и температур равны
V! = 1 л, V2 = 2 л, Г, = 300 К, Та = 600 К. После со-
единения цилиндров происходит выравнивание темпе-
ратур. Найти конечную температуру Гк, совершаемую
работу А и приращение энтропии AS. Считать процесс
адиабатическим.
2.36. Давление насыщенного водяного пара при
Т = 290 К равно р = 0,02 атм. Пар первоначально за-
нимает объем 10 л. Затем он изотермически сжи-
мается, так что половина его конденсируется. Удель-
ная теплота парообразования при этой температуре
равна Л = 2460 кДж/кг. Най-
ти приращение энтропии Д5
т
системы. Пар считать идеаль-
ным газом.
16 2.37. Найти к. п. д. цикла К,
изображенного на рис. 2.7. Все
процессы политропические,
5 адиабата, Т изотерма,
*- Т2 = 2Т1. Уравнение состояния
является произвольным.
Рис' 2-7 2.38. Ртуть сжимают изо-
термически при температуре
Т = 300 К, повышая давление от 0 до р= 10 атм
Масса ртути т = 1 кг. Найти работу А, совершенную
над ртутью, и количество теплоты Q, полученное ею
Изотермический коэффициент всестороннего сжатия
ртути равен иг = 4-10-6 атм-1. Температурный коэф-
фициент объемного расширения р = 2-10-4 Кг1, плот-
ность ртути р = 13,6 г/см3.
§ 2.2. Реальные газы. Теплопроводность. Вязкость
2.39. Моль гелия занимает объем У = 0,1 л и на-
ходится при температуре Г = 0°С. Измерение вели-
чины Ср/Су 1 в этих условиях показало, что она
превышает на 3 % свое значение для разреженного
газа. Найти постоянную а для гелия, используя ураи-
нение Ван-дер-Ваальса. Членами высшего порядка
(пропорциональными a2, ab, b2) пренебречь.
2.40. Атмосфера Венеры почти целиком состоит из
углекислого газа СО2. На поверхности планеты плот-
ность газа р = 0,07 г/см3, его температура Т = 750 К.
Найти давление р газа. Газ считать вандерваальсов-
ским с критическими параметрами рКр = 73 атм,
46
VKP = 94 см3/моль. Провести сравнение с давлением
Рид идеального газа при тех же условиях.
2.41. Один моль газа Ван-дер-Ваальса расширяет-
ся по политропе (VЪ)Т = const. Определить при-
ращение энтропии Д5 газа, если его температура из-
менилась от 7\ до Т2. Считать, что теплоемкость Cv
задана и не зависит от температуры.
2.42. Цикл состоит из двух изохор с объемами V\
и V2 и двух адиабат. Рабочим веществом является
газ Ван-дер-Ваальса, постоянная Ъ которого задана, а
теплоемкость Cv не зависит от температуры. Опреде-
лить к. п. д. цикла К-
2.43. Один моль (N = 1 моль) азота сжат при тем-
пературе То = 273 К до объема, равного Vo=l л.
Критические параметры азота равны Гкр=126К,
укр = 0,12 л/моль. Найти приращение его энтропии
AS при расширении до атмосферного давления без
подвода теплоты и без совершения работы. Считать,
что в сжатом состоянии азот подчиняется уравнению
Ван-дер-Ваальса, а в расширенном ведет себя как
идеальный газ. Теплоемкость Cv задана и не зависит
от температуры.
2.44. В вертикальном цилиндре под массивным
поршнем площадью 5 находится 1 моль газа Ван-дер-
Ваальса, для которого постоянная Ь известна. Найти
частоту о) малых колебаний поршня около положения
равновесия, считая процесс сжатия и разрежения изо-
термическим, причем Г = 2Гкр. Равновесный объем
газа в условиях опыта принять равным критическому.
Внешним давлением пренебречь. ¦
2.45. Найти адиабатическую скорость s звука в
газе Ван-дер-Ваальса в критической точке. Постоян-
ные а и b газа и его молярную массу (j, считать извест-
ными. Теплоемкость Cv задана и не зависит от темпе-
ратуры.
2.46. В два стоящих рядом сосуда опущен U-образ-
ный медный стержень с поперечным сечением 5 =
= 1 см2. В каждый сосуд налита вода массой m =
= 900 г. Начальные температуры воды в сосудах
(^i)o = 65°C, (Г2H= 10,6°С. Находящаяся в воздухе
часть стержня имеет длину / = 24 см. Через какое
время t разность температур между сосудами сде-
лается равной Т1 Г2 = 20°С? Считать, что тепло-
обмен между сосудами осуществляется исключительно
через стержень и без потерь, а внутри каждого сосуда
47
температура быстро выравнивается. Теплопроводность
меди равна ?т = 3,9 Вт/(см-К), теплоемкостью стерж-
ня пренебречь.
2.47. Жидкий гелий при температуре 7\ и давле-
нии насыщенных паров течет по цилиндрической квар-
цевой трубке (внутренний радиус трубки г\, внеш-
ний- г2), наружная поверхность которой омывается
жидким азотом при температуре Т2. При таких низких
температурах теплопроводность кварца сильно зави-
сит от температуры: йт = |Р, ? = const. На какую
максимальную длину / может быть рассчитан такой
трубопровод для подачи жидкого гелия с массовым
расходом на выходе mt (в г/с), если допустимые по-
тери жидкости на испарение составляют 50 %? Удель-
ная теплота парообразования равна Л.
2.48. Найти приращение энтропии Д5 132 г угле-
кислого газа в процессе, в результате которого его
динамическая вязкость уменьшилась в два раза, а
число ударов молекул в расчете на 1 см2 стенки со-
суда за 1 с уменьшилось в четыре раза.
2.49. Найти приращение энтропии AS 64 г газооб-
разного кислорода в процессе, в результате которого
cfo теплопроводность возросла в два раза, а коэффи-
циент диффузии остался неизменным.
2.50. В дне сосуда с жидким гелием образовалась
щель шириной do = №~4 см и длиной / = 5 см. Тол-
щина дна сосуда d 0,5 мм. Найти максимальную
скорость Vmax гелия в щели и массовый расход mt
жидкости в единицу времени, если высота столба ге-
лия над дном сосуда равна h = 20 см. Плотность и
динамическая вязкость гелия равны р0,15 г/см3,
г\ = 3,2 10-5 П. Считать течение ламинарным.
2.51. Проволоку радиусом Г\ = \ мм протягивают
с постоянной скоростью Уо^ Ю см/с вдоль оси трубы
радиусом г2=1 см, которая заполнена жидкостью с
динамической вязкостью ц Ю-2 П. Найти силу тре-
ния Ртр, приходящуюся на единицу длины проволоки,
и распределение скоростей v(r) жидкости вдоль ра-
диуса трубы. Считать течение ламинарным.
2.52. Длинная вертикальная трубка длиной / и
радиусом го заполнена жидкостью, для которой кине-
матическая вязкость равна v. За какой промежуток
времени / вся жидкость вытечет из трубки под дей-
ствием силы тяжести? Влиянием сил поверхностного
натяжения пренебречь. Процесс установления ско-
48
рости жидкости считать мгновенным, а течение ла-
минарным.
2.53. Вода вытекает из широкого открытого сосуда
через горизонтальный цилиндрический капилляр ра-
диусом го= 1 мм и длиной /=10 см, расположенный
у дна сосуда. Какая мощность Р расходуется на вы-
деление теплоты, если высота воды в сосуде Л 5 см.
Считать течение ламинарным, динамическую вязкость
г] fa Ю-2 П.
2.54. В плоской камере, доверху заполненной во-
дой, вращается горизонтальный диск радиусом г =
= 20 см (рис. 2.8). Какая
мощность Р необходима для <-р.
его вращения с частотой
I = 5 с-1, если диск нахо-
дится на расстояниях U =
i= 5 мм от верхней и U =
= 10 мм от нижней стенок
камеры? Эффектами, свя- Рис. 2.8
занными с радиальными по-
токами воды и краевыми явлениями, пренебречь.
Считать течение ламинарным, динамическую вязкость
воды г] = Ю-2 П.
§ 2.3. Молекулярно-кинетическая теория.
Явления переноса
2.55. Давление молекулярного водорода при тем-
пературе Го = 350 К составляет ро= 1 Торр. Оценить,
каким будет давление р газа, если при постоянном
объеме нагреть его до температуры Г такой, что
АгБГ 300 эВ (&Б постоянная Больцмана). Энергия
ионизации атома водорода равна №„ = 13,6 эВ.
2.56. Мишень для получения термоядерной реак-
ции представляет собой шарик радиусом го = 5О мкм
из замороженной смеси, содержащей равное число
атомов дейтерия и трития. Она подвергается кратко-
временному (порядка 10~и с) всестороннему облуче-
нию светом лазера. Поглощенная энергия составляет
№=102 Дж. Оценить температуру Г мишени и дав-
ление р в ней после вспышки лазера, считая, что ве-
щество еще не успело разлететься, но температура
успела установиться. Плотность мишени равна р =
= 0,2 г/см3.
49
2.57. Написать выражение для давления dp, про-
изводимого на стенку сосуда молекулами идеального
газа, скорости которых заключены между v и v-\-dv.
Считать распределение молекул по скоростям мак-
свелловским. Найти значение v0, для которого dp мак-
симально при заданном dv. Концентрация молекул
равна п, температура газа Т, масса молекул т.
2.58. В условиях предыдущей задачи написать вы-
ражение для среднего числа ударов dN, производи-
мого на единицу площади стенки сосуда в единицу
времени молекулами идеального газа, скорости кото-
рых заключены между v и v + dv. Найти значение vQ,
для которого dN максимально при заданном dv.
2.59. Вычислить полное число молекул N, прихо-
дящееся на единицу площади стенки в единицу вре-
мени, а также их среднюю тепловую скорость v. Кон-
центрация молекул в сосуде равна п, их масса т, тем-
пература Т.
2.60. Через отверстие тонкостенного сосуда, содер-
жащего газ при температуре Т, вылетают в вакуум
молекулы. При какой скорости vq полная кинетиче-
ская энергия молекул, вылетающих через отверстие
в единицу времени в интервале скоростей v0, vQ-\-dv,
будет максимальной при заданном dv? Найти сред-
нюю кинетическую энергию WK вылетающей мо-
лекулы.
2.61. Электроны, движущиеся в тонких пленках и
в тонких приповерхностных слоях кристаллов, мо-
гут рассматриваться как «двумерный» электронный
газ. Вычислить для них отношение наивероятнейшей
и среднеквадратичной скоростей Унв/(и2I/2. Считать
распределение молекул по скоростям максвеллов-
ским.
2.62. В условиях предыдущей задачи вычислить
Z ¦ частоту ударов электронов в расчете на единицу
длины периметра границы в единицу времени. Выра-
зить Z через поверхностную концентрацию электронов
п, их температуру Т и массу т.
2.63. В центре сферы радиусом г в момент времени
f = 0 создается No молекул газа, скорости которых
имеют максвелловское распределение с температурой
Т. Затем молекулы разлетаются без столкновений и
оседают на стенках сферы. Найти ]{t)-плотность
потока молекул на сферу как функцию времени. Опре-
делить момент времени to, когда поток максимален, и
СО
найти скорость Vo молекул, подлетающих к стенке в
этот момент. Масса молекул газа равна т.
2.64. Ракета с термостатированной кабиной, пред-
ставляющей собой цилиндр высотой h, движется с
ускорением а вдоль оси цилиндра. Масса воздуха
внутри кабины равна М. Как изменятся температура
и энтропия воздуха в кабине после выключения дви-
гателя? Воздух рассматривать как идеальный газ с
молярной массой ^. Считать, что [iah/(RTa) 70 температура воздуха в кабине. Рассмотреть два
случая: 1) двигатель выключается медленно, так что
процессы идут квазистатически, и 2) двигатель вы-
ключается мгновенно, так что распределение концен-
трации газа в кабине не успевает измениться.
2.65. Как изменится энтропия моля идеального
газа, находящегося в термостатированном цилиндри-
ческом сосуде радиусом г, в результате быстрого
раскручивания сосуда до значения угловой скорости
(о < r-l(RT/nI'2, где [I молярная масса газа.
2.66. Неподвижный тонкостенный сосуд объемом V
наполнен идеальным одноатомным газом и поддержи-
вается при постоянной температуре Т. В стенке со-
суда имеется отверстие площади S, через которое мо-
лекулы газа вылетают в вакуум. Размеры отверстия
малы и в сравнении с размерами сосуда, и в сравне-
нии с длиной свободного пробега. Определить закон
изменения во времени потока тепла Jo(t), подводи-
мого к сосуду для поддержания в нем постоянной тем-
пературы. Начальная концентрация атомов равна п0,
масса атомов т,
2.67. Идеальный газ из атомов массой т нахо-
дится в неподвижном тонкостенном сосуде объемом V
с теплоизолированными стенками. В стенке сосуда
имеется отверстие площадью S, через которое моле-
кулы вылетают в вакуум. Размеры отверстия малы и
в сравнении с размерами сосуда, и в сравнении с
длиной свободного пробега. Определить закон изме-
нения во времени температуры газа T(t) в сосуде.
Считать начальную температуру газа TQ и все необхо-
димые параметры газа известными. Теплоемкостью
стенок сосуда пренебречь.
2.68. Пользуясь распределением Больцмана, найти
среднюю потенциальную энергию атомов О идеаль-
ного газа при температуре Т в поле U(x) Ах2,
А >0.
51
2.69. В замкнутом тонкостенном сосуде находится
разреженный идеальный газ под давлением р. В стен-
ке сосуда сделано отверстие площадью 5, через кото-
рое происходит молекулярная эффузия газа. Опреде-
лить реактивную силу F, испытываемую сосудом при
истечении газа через отверстие.
2.70. Оценить, при каком давлении р воздуха в нем
может распространяться звук с частотой v = 100 кГц
при температуре Т.
2.71. Оценить радиус г алюминиевой частицы, взве-
шенной в жидкости плотностью р0 = 1 г/см3 и дина-
мической вязкостью ii=l П, для которой скорость вяз-
кого падения сравнивается со скоростью ее теплового
движения при комнатной температуре. Будут ли выпа-
дать в осадок такие частицы в алюминиевой краске?
2.72. При измерении вязкости методом Стокса
стальные шарики плотностью рст и радиусом гй сбра-
сывают точно в центре сосуда в жидкость (плотность
рж, температура Т). Каково среднеквадратичное рас-
стояние (ДгJ точек удара шариков о дно сосуда от
его центра, если высота столба жидкости равна Л?
При выводе считать h сколь угодно большим, но в
ответе привести критерии справедливости результата.
2.73. При наблюдении за каплей жидкости, несу-
щей на себе элементарный заряд, было обнаружено,
что сила тяжести, действующая на каплю, уравнове-
шивается электрическим полем напряженностью Е =
= 104 В/см. Наблюдение за каплей при включенном
поле показало, что ее среднеквадратичное броунов-
ское смещение за время ^=100 с составляет г =
= Ю-2 см. Оценить скорость v установившегося паде-
ния капли при выключенном поле. Капля находится
в камере, наполненной водородом, с давлением р =
= 1 атм и плотностью р = 0,09 г/л.
2.74. Зная, что средняя длина свободного пробега
однозарядного иона аргона-40 в тяжелом газе равна
/= 10~5 см, оценить среднюю дрейфовую скорость удр
движения иона в этом газе под действием однородного
электрического поля напряженностью ? = 300 В/см.
Считать температуру газа комнатной.
2.75. Первоначально вода при температуре Т =
= 300 К заполняла трубку длиной /= 10 см, запаян-
ную с одного конца, наполовину. Относительная влаж-
ность воздуха 50%, а давление насыщенных паров
Риас ~ 27 мм рт. ст. Длина свободного пробега в си-
52
стеме воздух пар составляет /пР « 10~s см. Оценить
время t испарения воды из трубки. Считать пар у по-
верхности воды насыщенным, капиллярными явле-
ниями пренебречь.
2.76. Сосуд через длинную трубку откачивается
идеальным (т. е. улавливающим все попадающие в
него молекулы) высоковакуумным насосом. Из-за те-
чей в стенках сосуда давление в нем не падает до
нуля, а после длительной откачки устанавливается на
уровне, при котором длина свободного пробега ln^d,
где d диаметр трубки. Как изменится этот предель-
ный вакуум, если диаметр трубки уменьшить вдвое?
2.77. Из большого объема откачивается воздух при
давлении р = 10~4 мм рт. ст. и комнатной температуре
через трубопровод длиной ! = 2 м и радиусом г =
= 10 см. Насос имеет производительность (т. е. объ-
емный расход) V(P= 1 м3/с. При какой производи-
тельности Vt насоса будет обеспечена такая же ско-
рость откачки сосуда, если насос присоединен непо-
средственно к откачиваемому объему?
2.78. Найти поток молекул жидкости /, испаряю-
щихся с единицы площади поверхности в единицу
времени в вакуум при температуре Т, если известно
давление насыщенных паров р„ас при этой темпера-
туре и коэффициент прилипания К. Последний равен
отношению числа молекул пара, прилипающих к по-
верхности жидкости, к полному числу молекул пара,
ударяющихся за это время о поверхность жидкости.
2.79. Узкий цилиндрический сосуд, диаметр кото-
рого мал в сравнении с его высотой Л = 20 см, цели-
ком заполнен водой при комнатной температуре. Со-
суд обдувается сверху поперечным потоком сухого
воздуха, так что давление пара на верхнем конце
сосуда можно считать равным нулю. Учитывая диф-
фузию пара в сосуде, найти промежуток времени t,
через который испарится вся вода. Плотность насы-
щенного пара равна рнас = 3-10-5 г/см3, а коэффи-
циент диффузии молекул воды в воздухе D0,Зсм2/с.
Считать, что давление пара непосредственно над по-
верхностью жидкости равно рнас.
2.80. Две части сосуда разделены пористой пере-
городкой. В начальный момент первый сосуд напол-
няется гелием (^1 = 4), а второй ксеноном (s&2
= 131) при нормальных условиях. Перегородка не
влияет на скорость диффузии, она лишь препятствует
53
перемешиванию газов при заполнении системы. Через
некоторое время концентрация Хе в Не на расстоянии
/= 1 см от перегородки стала равной 0,01 ат.%. На
каком расстоянии х от перегородки в этот момент кон-
центрация Не в Хе также составит 0,01 ат.%? Срав-
нить также частоту соударений Z, атомов гелия в ксе-
ноне с частотой соударений Z2 атомов ксенона в гелии.
2.81. По распространению радиоактивных газов
после ядерных взрывов известно, что благодаря тур-
булентности время перемешивания по всей земной
атмосфере составляет около одного года. Во сколько
раз быстрее происходит процесс турбулентного пере-
мешивания в условиях атмосферы по сравнению с
молекулярной диффузией?
§ 2.4. Флуктуации. Фазовые переходы.
Поверхностное натяжение
2.82. Газообразный гелий вытекает в вакуум через
отверстие площадью 5 =0,1 мм2 из тонкостенного со-
суда, в котором давление и температура поддержи-
ваются равными р=10-6 атм, Т = 273 К. В экспери-
менте измеряется полное число N атомов, прошедших
через отверстие за интервал времени t- 10~3 с. Оце-
пить относительную среднеквадратичную флуктуацию
полного числа атомов, а также вероятность w того,
что при одном из измерений число вылетевших из со-
суда атомов будет равно нулю.
2.83. Найти относительную среднеквадратичную
флуктуацию потенциальной энергии внутримолекуляр-
ных колебаний: 1) двухатомной молекулы, 2) УУ-атом-
ной молекулы и 3) моля идеального газа, состоящего
из двухатомных молекул. Считать колебания гармо-
ническими.
2.84. Два одинаковых сообщающихся сосуда за-
полнены газом при нормальных условиях. Каким дол-
жен быть объем V каждого сосуда, чтобы вероятность
состояния, при котором давление в сосудах изотерми-
чески изменится на Ю-7 %, была в е100 раз меньше,
чем вероятность исходного состояния?
2.85. Каким должен быть объем Vu выделенный в
большом сосуде с газообразным гелием, чтобы отно-
сительная среднеквадратичная флуктуация температу-
ры в нем составляла 10~6? Гелий находится при нор-
мальных условиях.
64
2.86. Пучок атомов гелия выводится из камеры с
давлением р10~4 Торр и температурой 7 = 300 К
в высокий вакуум через систему из двух коаксиаль-
ных круглых отверстий радиусом г = 0,1 мм, разде-
ленных расстоянием / = 1 см. Найти поток атомов /,
проходящих через 2-е отверстие в единицу времени, и
относительную среднеквадратичную флуктуацию чис-
ла частиц в импульсах продолжительностью tf10~3 с.
2.87. Предел чувствительности пружинных весов
ограничивается тепловым движением механизма.
Найти ту малую массу т, которая может быть опре-
делена при однократном взвешивании на пружинных
весах, если жесткость пружины равна и, а темпера-
тура Т.
2.88. В сосуде находится газ Ван-дер-Ваальса в
условиях, когда средний молярный объем равен кри-
тическому, а температура 7 превышает критическую
7кр. Найти изотермическую среднеквадратичную
флуктуацию объема (Д1/J небольшого элемента этого
газа, имеющего равновесный объем V.
2.89. В сосуде объемом 1 л при комнатной темпе-
ратуре находится равное число N атомов двух различ-
ных газов. Оценить значение А/, при котором вероят-
ность для этих газов хоть один раз разделиться на
протяжении эпохи порядка возраста наблюдаемой
части Вселенной (около 1010 лет) сравнима с еди-
ницей.
2.90. Предполагая, что температура атмосферы по-
стоянна и равна 7а, температура кипения воды на
поверхности Земли равна 7о, определить температуру
Т кипения воды на высоте h от поверхности Земли.
Считать, что удельная теплота парообразования Л не
зависит от температуры.
2.91. При определении влажности по точке росы
было установлено, что конденсация водяного пара
наблюдается при охлаждении поверхности гигрометра
до температуры 10°С. Найти абсолютную влажность,
считая, что удельная теплота парообразования воды
не зависит от температуры, Л = 2260 кДж/кг. Пары
воды считать идеальным газом.
2.92. Найти приращение АЛ удельной теплоты па-
рообразования воды при повышении температуры от
323 до 373 К. Считать теплоемкость воды постоянной,
а водяной пар классическим идеальным газом,
55
2.93. На дне сосуда, заполненного воздухом, раз-
лита вода. Сосуд закрыт поршнем, который выдви-
гают настолько медленно, что пар все время остается
насыщенным. Температуру сосуда поддерживают по-
стоянной. Когда объем увеличивается в два раза, вода
исчезает. Определить давление pHac насыщенного па-
ра, полную массу тъ воды (в жидкой и газообразной
фазах) и массу воздуха тВОзд в камере, если известно,
что в начале процесса полное давление было /?[ =
= 3 атм, а в конце процесса р2 = 2 атм. Начальный
объем равен Vo = 22,4 л.
2.94. Насыщенный водяной пар, находящийся в ци-
линдре под поршнем при 100 °С, нагревают на 1 °С
и перемещают поршень так, что пар остается насы-
щенным, а конденсации не происходит. Найти относи-
тельное приращение объема пара, считая его идеаль-
ным газом. При 100°С удельная теплота парообразо-
вания воды равна Л = 2260 кДж/кг.
2.95. В Антарктиде под трехкилометровой толщей
льда обнаружены озера пресной воды. Определить
температуру Т воды в этих озерах, если удельная теп-
лота плавления льда q = 336 кДж/кг, а отношение
плотности льда к плотности воды составляет 0,917.
2.96. Терморегулятор автомобильного двигателя
представляет собой цилиндрический сосуд с гофриро-
ванными стенками (сильфон),
наполненный этиловым спир-
том и его паром (рис. 2.9). При
низкой температуре воды дав-
ление в сильфоне мало, он
Насос сжат и закрывает клапан,
ослабляя таким образом цир-
куляцию воды в системе ох-
лаждения двигателя. При до-
статочно высокой температуре
воды сильфон растягивается и
открывает клапан, вода начи-
нает циркулировать сильнее,
охлаждается и т. д. Какова должна быть сила дав-
ления F пружины клапана, чтобы он открывался при
Т = 363 К? Диаметр сильфона d = 2 см, темпера-
тура кипения спирта при давлении р0= 1 атм равна
7 = 351К, удельная теплота парообразования спир-
та Луд = 850 Дж/г, его химическая формула
С,Н5ОН.
Рис. 2.9
2,97. Гейзеры могут рассматриваться как большие
подземные резервуары, наполненные грунтовой водой
и прогреваемые подземным теплом (рис. 2.10). Выход
из них на поверхность земли осуществляется через
Нагретые пласты
Рис. 2.10
узкий канал, который в «спокойный» период заполнен
водой. Считая, что «активный» период наступает,
когда закипает вода в подземном резервуаре, и что
во время извержения гейзера канал заполнен только
паром, который и выбрасывается наружу, оценить,
какую часть воды теряет резервуар гейзера во время
одного извержения. Глубина канала h = 90 м. Моляр-
ная теплота парообразования воды равна Л =
= 41 кДж/моль.
2.98. Гелий-3 CНе) при нормальном давлении
остается жидким вплоть до абсолютного нуля темпе-
ратур. Минимальное давление, при котором он за-
твердевает, рт1п = 28,9 атм. Энтропия жидкого ге-
лия-3 в расчете на моль в интересующей нас области
температур меняется по закону Sjk = RT/T0, a To =
= 0,22 К (см. задачу 7.61). Энтропия твердого гелия-3
в рассматриваемом диапазоне температур не зависит
от температуры и равна 5Тв = /?1п2 на моль (см. за-
дачу 7.16). Разность объемов жидкого и твердого ге-
лия Д1/= Vm Vte ~ 1,25 см3/моль. Найти темпера-
ТУРУ Tmin, соответствующую па кривой плавления дав-
лению Pmin, температурную зависимость теплоты плав-
ления q(T), а также давление затвердевания гелия-3
при 7 = 0.
2.99. Согласно одной из моделей, центральная
часть Земли (так называемое ядро) состоит из же-
леза. Внешняя часть ядра расплавлена, а внутренняя
часть радиусом RT « 1200 км твердая. Ядро остывает
57
со скоростью и та 10~7 К/год; различием температуры
в пределах ядра можно пренебречь. На сколько изме-
нится радиус \RT твердой части ядра Земли за время
t= 109 лет? Считать, что удельная теплота плавления
железа при условиях, соответствующих поверхности
ядра, приближенно равна q « 125 Дж/г, температура
на поверхности ядра Т « 3700 К> а изменение плот-
ности железа при затвердевании До = 0,3 г/см3. Из-за
того что Др <С р, можно пренебречь изменением рас-
пределения давления р(г) по мере затвердевания
Ядра.
2.100. В замкнутом сосуде находится вода в равно-
весии с насыщенным паром при температуре 100 °С.
Отношение масс пара и воды | = 0,1. Удельная тепло-
емкость воды равна св = 4,2 Дж/(г-К)- Найти удель-
ную теплоемкость сс такой системы. Пар считать
идеальным газом. Удельная теплота парообразования
воды равна Луд = 2260 Дж/г.
2.101. Найти удельную теплоемкость cv редкого
тумана (т. е. насыщенного пара с капельками воды,
полная масса которых много меньше массы пара) при
постоянном объеме и температуре 100°С. Молярная
теплота парообразования воды при 100 °С и постоян-
ном давлении равна Л = 41 кДж/моль.
2.102. В вакуумной камере на двух концах тонкой
трубки находятся два почти одинаковых по размеру
_„ масляных пузыря, напол-
ненных воздухом (рис.
2.11). В начальный момент
трубка перекрыта краном
К- Что произойдет после
Рис. 2 11 открытия крана? Считая
процесс изотермическим,
вычислить полное приращение Д5 энтропии газа.
Начальные радиусы пузырей г0 = 5 см. Поверхност-
ное натяжение масла а = 30 дин/см. Температура
Т = 300 К.
2.103. Мыльный пузырь радиусом г при понижении
давления во внешней среде увеличил свой радиус
вдвое. Считая процесс изотермическим, найти полное
приращение энтропии пузыря, включая энтропию
мыльной пленки. Начальное давление равно р0, по-
верхностное натяжение мыльной пленки ст, удельная
теплота образования каждой поверхности мыльной
пленки q. Считать, что 2ст/г <С р0.
58
_i'i
2.104. Сосуд с водой нагревают при постоянном
давлении ро=1 атм. Найти, на сколько температура
вскипания воды будет выше Г=100°С, если в ней
содержатся песчинки с максимальным радиусом г =
= 10 мкм. Поверхностное натяжение равно а =
= 60 эрг/см2, молярная теплота парообразования во-
ды равна Л = 41 кДж/моль.
2.105. Капелька воды радиусом г = 10 мкм нахо-
дится в замкнутой полости в равновесии с паром. При
каком объеме V полости это равновесие будет устой-
чивым? Стенки полости считать несмачиваемыми,
других капель и центров конденсации нет. Система
изотермическая (Г = 293 К). Насыщенный пар счи-
тать идеальным газом, его давление ркгс= 17,5 Торр.
2.106. Пары воды, находящиеся в помещении, на-
чинают конденсироваться на гладкой поверхности при
охлаждении ее до 7\ = 10°С. Начиная с какой темпе-
ратуры Т они начнут конденсироваться на пористой
поверхности с радиусом пор г = 10~5 см? Удельная те-
плота парообразования воды равна Луд=2480 кДж/кг,
поверхностное натяжение а = 70 дин/см. Угол сма-
чивания равен нулю.
111. ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
§ 3.1. Электростатика
3.1. Электрический квадруполь состоит из двух по-
ложительных и двух отрицательных одинаковых по
модулю точечных зарядов q, расположенных в верши-
нах квадрата со стороной а, как указано на рис. 3.1.
Найти напряженность электриче-
ского поля Е такого квадруполя
в точке А, находящейся на рас-
стоянии |>а от его центра О,
если линия ОА параллельна од-
ной из сторон квадрата.
3.2. В модели атома Томсона Рис 3.1
предполагалось, что положи-
тельный заряд q распределен внутри шара радиусом
г = Ю-8 см. Как должна зависеть объемная плот-
ность р положительного заряда от расстояния до
центра шара, чтобы электрон, помещенный внутри
шара, мог совершать гармонические колебания?
Найти частоту v колебаний электрона.
59
О»
3.3. Точечные заряды q{ и q2 находятся на расстоя-
нии / друг от друга. Определить силы F, и F2, кото-
рые будут действовать на эти заряды после того, как
посредине между ними будет расположена бесконеч-
ная металлическая пластина толщиной 1/2.
3.4. Две взаимно перпендикулярные проводящие
плоскости образуют двугранный угол. На биссектрисе
этого угла на расстоянии а от вершины помещен
электрический диполь с моментом р3. Ось диполя на-
правлена к вершине угла. Найти силу F, действую-
щую на диполь.
3.5. Над листом металла перпендикулярно к нему
расположен равномерно заряженный тонкий стержень
длиной /= 1 см с зарядом q= 10~8 Кл. Нижняя точ-
ка стержня удалена от листа на h = 1 см. Найти по-
верхностную плотность а индуцированного заряда в
точке, расположенной на листе непосредственно под
стержнем.
3.6. На высоте h = 1 см над плоскостью горизон-
тально лежащего металлического листа расположен
равномерно заряженный диск радиусом г= 1 см с за-
рядом q = 10~9 Кл. Плоскость диска параллельна пло-
скости листа. Найти поверхностную плотность а ин-
дуцированного заряда в точке, расположенной на
листе непосредственно под центром диска.
3.7. В плоском конденсаторе с напряженностью
поля Е = 103 В/м из отрицательно заряженной пла-
стины в результате термоэмиссии вылетают электро-
ны. Учитывая действие поля электрического изобра-
жения, оценить, на каком расстоянии / от этой пласти-
ны скорость электронов будет минимальной.
3.8. Точечный заряд q помещен на расстоянии л/2
от центра полой тонкостенной металлической изоли-
рованной сферы радиусом г, на которой расположен
заряд 2<7. Определить поверхностную плотность за-
ряда на внутренней и внешней поверхностях сферы
в точках, наиболее удаленных от этого заряда. Как
изменится результат, если сферу заземлить?
3.9. Точечный заряд q помещен на расстоянии г/2
от центра полой тонкостенной металлической изоли-
рованной сферы радиусом г, на которой расположен
заряд Q. Определить силу, действующую на заряд q,
а также поверхностную плотность заряда на внутрен-
ней и внешней поверхностях сферы в точках, ближай-
ших к этому заряду.
60
3.10. В поле точечного заряда q внесли проводя-
щую сферу радиусом г. Во сколько раз изменилась
при этом напряженность поля в точках А и В
(рис. 3.2), если расстояние
между центром сферы и заря-
дом /= Юг?
3.11. В однородное электри-
ческое поле напряженностью
Ео вносится незаряженный про- Рис. 3.2
водящий шар. Указать на его
поверхности точки, в которых поле по модулю:
1) остается прежним, 2) удваивается.
3.12. Металлическая незаряженная сфера радиу-
сом г вносится в однородное электрическое поле на-
пряженностью EQ. Найти точки пространства, в кото-
рых поле стало равно: 1) 2Е0, 2) EQ/3.
3.13. Небольшой незаряженный металлический ша-
рик может свободно перемещаться вдоль оси тонкого
однородно заряженного кольца радиусом г. Найти
равновесные положения шарика и рассмотреть их
устойчивость по отношению к осевым смещениям.
3.14. На внутренней поверхности одной из пластин
плоского заряженного конденсатора имеется полусфе-
рический бугорок. Вдали от бугорка напряженность
электрического поля в конденсаторе равна Ео. Ис-
пользуя принцип суперпозиции полей, найти поле у
вершины и у основания бугорка. Будет ли происхо-
дить разряд с бугорка радиусом 1 мкм, если Ей =
= 1 кВ/см, а напряженность, при которой наступает
пробой воздуха, равна 30 кВ/см?
3.15. Параллельно оси длинного металлического
цилиндра радиусом г на расстоянии / > г от его оси
расположена длинная тонкая проволочка. Вдали от
краев линейный заряд проволочки равен т, цилиндра
т. Найти силу взаимодействия F между прово-
лочкой и цилиндром, приходящуюся на единицу
длины.
3.16. Длинная медная проволока помещена в одно-
родное электрическое поле напряженностью Ео, пер-
пендикулярное оси проволоки. Найти распределение
поверхностного заряда о(8) на проволоке.
3.17. Найти модуль и направление силы взаимо-
действия F между двумя незаряженными проводя-
щими сферами радиусом г каждая, помещенными в
однородное электрическое поле напряженностью Еа,
61
направленное параллельно линии, соединяющей цен-
тры сфер. Расстояние между центрами сфер / > г.
3.18. Найти модуль и направление силы взаимо-
действия F между двумя незаряженными проводя-
щими сферами радиусом г каждая, находящимися в
однородном электрическом поле напряженностью Ео,
направленном перпендикулярно линии, соединяющей
центры сфер. Расстояние между центрами сфер / 3> г.
3.19. На расстоянии 1г от центра заземленной ме-
таллической сферы радиусом г расположен электри-
ческий диполь с моментом рэ, причем ось диполя ле-
жит на прямой, проходящей через центр сферы. Счи-
тая диполь точечным, определить, какой системе за-
рядов-изображений эквивалентна сфера. Найти силу
взаимодействия F между диполем и сферой.
3.20. Два одинаковых по модулю точечных заряда
q и q расположены на расстоянии 11 друг от друга.
Посредине между ними расположена незаряженная
проводящая сфера радиусом г. Считая / ^> г, опреде-
лить, какой системе зарядов-изображений эквива-
лентна сфера. Найти относительное изменение силы
AF/F, действующей на каждый за-
ряд, обусловленное взаимодействи-
ем со сферой.
3.21. Найти напряженность элек-
трического поля Е в шаровой по-
лости однородно заряженного шара
(рис. 3.3). Объемная плотность за-
ряда равна р. Расстояние между
центром полости и центром шара
равно /.
3.22. Найти распределение заряда о(9) по поверх-
ности сферы радиусом г, при котором поле внутри
нее однородно и его напряженность равна Е. Каково
при этом поле вне сферы?
3.23. Три электрона в состоянии покоя помещены
в вершинах правильного треугольника со стороной
а = 1 см. Они начинают двигаться под действием
взаимного отталкивания. Определить их предельную
скорость v.
3.24. Решить задачу 3.23 для релятивистских ско-
ростей. При каких расстояниях а можно пользоваться
нерелятивистским приближением?
3.25. В результате импульсного разряда конденса-
тора через разреженный газ водород происходит на-
62
гревание газа до температуры Т. Оценить величину Т,
считая, что вся энергия разряда пошла на нагревание
газа. Указать возможные причины понижения темпе-
ратуры. Провести численные оценки для L/ = 3104 В,
С = 1,8- 10~5 Ф, полагая, что до разряда водород на-
ходился при комнатной температуре То = 293 К и за-
нимал объем V = 10~2 м3 при давлении р = 1,29 Па.
Оценить, на сколько нагрелись бы обкладки конден-
сатора, если бы вся энергия разряда пошла на их на-
гревание. Удельная теплоемкость меди равна с=
= 4,2-102 Дж/(К-кг), масса обкладок ш=0,1 кг.
3.26. Считая, что масса электрона определяется из
соотношения W = тес2, где W электростатическая
энергия электрона, найти радиус г электрона, приняв,
что заряд электрона распределен по всему его объему
с постоянной плотностью.
3.27. Вывести выражение для энергии малого ди-
поля во внешнем электрическом поле напряженностью
Е Рассмотреть случаи жесткого диполя с электриче-
ским моментом рэ и упругого диполя с поляризуе-
мостью а (рэ = аг0Е).
3.28. Для инжекции в термоядерную установку ис-
пользуется цилиндрический пучок дейтронов с энер-
гией W = 500 кэВ, имеющий диаметр D = l см. Ток
в пучке составляет / = 1 А и равномерно распределен
по его сечению. Найти напряженность Е электриче-
ского поля на поверхности пучка и разность потен-
циалов U между поверхностью пучка и его центром.
3.29. Металлический шар радиусом ri = 100 см
несет заряд <7=10~G Кл. На расстоянии /=100 см
от его поверхности расположен незаряженный метал-
лический шарик массой т = 10-3 г и радиусом г2 =
= 1 см, которому сообщают некоторую начальную
скорость в направлении от центра шара. Найти мини-
мальную СКОРОСТЬ Umln, При КОТОрОЙ ШарИК МОЖвТ
удалиться на бесконечность.
3.30. Керн длиной / = 25 см потерял скорость, про-
бив броню толщиной d = 5 см. Скорость снаряда в
момент соприкосновения с броней равна а0=1000 м/с.
Найти разность потенциалов U между головной и хво-
стовой частями стального керна бронебойного сна-
ряда, возникающую вследствие его торможения в пре-
граде.
3.31. Для измерения напряженности электриче-
ского поля у поверхности Земли используют две
63
параллельные проводящие пластины, расположенные
горизонтально с небольшим зазором между ними
(рис. 3.4). Верхняя пластина заземлена и вращается
с частотой п= 1200 об/мин вокруг вертикальной оси,
проходящей через край
пластины, периодически
закрывая нижнюю пла-
стину. При этом переза-
рядка нижней пластины
*,/,//,//sss,,/sss,s,ss,,,sss,/;/-ss/} вызывает падение напря-
Рис. 3.4 жения на сопротивлении
R= 107 Ом, соединяющем
нижнюю пластину с Землей. Найти среднее значение
падения напряжения О, если напряженность электри-
ческого поля у поверхности Земли ?=1,5 В/см. Счи-
тать, что нижняя пластина успевает полностью пере-
зарядиться за один цикл вращения. Площадь пла-
стины S = 600 см2.
3.32. В центре диэлектрического шара радиусом г
с проницаемостью ei помещен точечный заряд q. Шар
окружен безграничным диэлектриком с проницаемо-
стью е2. Определить поверхностную плотность о поля-
ризационных зарядов на границе раздела диэлек-
триков.
3.33. Проводящий шар помещен в однородную изо-
тропную диэлектрическую среду с проницаемостью е.
Вне шара на расстоянии / от его центра находится
точечный заряд q. Определить потенциал ф шара от-
носительно бесконечности.
3.34. Диэлектрик с проницаемостью е заполняет
полупространство. На расстоянии / от плоской грани-
цы диэлектрика в вакууме находится точечный заряд
q. Найти распределение зарядов а(г) по поверхности
диэлектрика, полный заряд ^Полн и силу F, действую-
щую на точечный заряд.
3.35. Конденсатор состоит из двух тонкостенных
коаксиальных металлических цилиндров, простран-
ство между которыми заполнено жидким диэлектри-
ком с проницаемостью е = 2. На конденсатор подано
напряжение, которое медленно увеличивается. Опре-
делить, что наступит раньше: механическое разруше-
ние внутренней обкладки или пробой диэлектрика.
Считать, что пробой диэлектрика наступает при на-
пряженности поля ?пР = 30 кВ/мм, предельное (раз-
рывное) механическое напряжение стенок цилиндров
64
Op = 500 Па. Радиус внутренней обкладки конденса-
тора г = 3 см.
3.36. Пустотелый металлический шар, заряд кото-
рого q, а радиус г, плавает в жидкости с диэлектри-
ческой проницаемостью е так, что его центр находится
на уровне поверхности жидкости. Найти плотность
свободных зарядов на поверхности шара.
3.37. В плоский конденсатор, на пластинах кото-
рого распределен заряд с поверхностной плотностью
о, вставляется диэлектрик, заряженный положитель-
ным пространственным зарядом так, что объемная
плотность заряда изменяется от нуля у одной пла-
стины (положительной) до р0 у другой по закону
р = (о/d2)х, где d расстояние между пластинами.
Найти распределение напряженности Е(х) в конден-
саторе, если проницаемость диэлектрика е.
3.38. Внутри плоского конденсатора, обкладки
которого соединены между собой, помещена диэлек-
трическая пластина толщиной h с «замороженной» по-
ляризованностыо Р, направление которой перпендику-
лярно боковым граням пластины и обкладкам конден-
сатора. Определить напряженность электрического
поля и электрическое смещение внутри и вне пла-
стины. Расстояние между обкладками конденсатора
равно d.
3.39. Имеется тонкий длинный диэлектрический
цилиндр длиной 2/ и радиусом г с «замороженной»
поляризованностью Р (рис. 3.5).
' Найти напряженность поля ЕА
в точке А. Во сколько раз это
поле сильнее поля в точке В}
Г>
¦ ~П
P
Рис. 3.5
Рис. 3.6
3.40. Длинный цилиндр изготовлен из диэлектри-
ка с «замороженной» поляризованностью, направлен-
ной вдоль его оси (рис. 3.6). Напряженность поля в
точке А оказалась равной Ел = 300 В/см. Найти
3 Сборник задач по физике
Й5
напряженность поля Ес вблизи торца короткого ци-
линдра, сделанного из того же материала, если h =
= 2-10-2D.
3.41. В тонком круглом диске радиусом гх из ди-
электрика создана однородная «замороженная» поля-
ризованность Р, так что ее направление параллельно
поверхности диска (рис. 3.7). Определить напряжен-
ность Е электрического поля в центре круглого отвер-
стия радиусом г2, вырезанного в таком диске. Тол-
щина диска h Рис. 3.7
3.42. Диэлектрический образец с «замороженной»
поляризованностью Р имеет форму полого цилиндра
с разрезом. На рис. ,3.8 показано сечение этого ци-
линдра и направление поляризованное™. Толщина
стенки цилиндра h < г (г радиус цилиндра), ши-
рина разреза а <С г. Найти напряженность электриче-
ского поля ЕА и электрическое смещение DA в точке А.
3.43. В тонкой длинной рейке из диэлектрика ши-
риной 2а создана однородная «замороженная» поля-
Рис. 3.9
ризованность Р, так что ее направление параллельно
поверхности рейки (рис. 3.9). Найти напряженность Е
электрического поля в центре круглого отверстия ра-
диусом г, вырезанного в такой рейке. Считать тол-
щину рейки h 66
3.44. Пластина пьезодиэлектрика толщиной 2d
вследствие неоднородной деформации поляризована
так, что поляризованность в ее середине равна Ро, на-
правлена вдоль оси х и изменяется по закону Р =
= Ро(\ х2/d2), где х отсчитывается от средней пло-
скости пластины. Определить напряженность электри-
ческого поля внутри и вне пластины, а также разность
потенциалов U между ее боковыми поверхностями.
Краевыми эффектами пренебречь.
3.45. На сколько отличается от единицы диэлек-
трическая проницаемость е «идеального газа», состоя-
щего из большого числа проводящих шариков радиу-
сом г? Концентрация п шариков мала, так что пг^^Х.
3.46. Для газообразного аргона при нормальных
услозиях е1 «6-Ю-4. Пользуясь этим, вычислить
смещение «центра масс» электронной оболочки атома
аргона относительно ядра в статическом электриче-
ском поле напряженностью Е = 300 В/см. Атомный
номер аргона Z = 18. Считать, что в отсутствие внеш-
него поля электроны распределены вокруг ядра сфе-
рически симметрично.
3.47. Идеальный газ, поляризуемость молекул ко-
торого а=4-10~3 м3, находится в большом сосуде при
температуре Т = 300 К. В сосуде находится плоский
заряженный конденсатор с напряженностью поля Е =
= 3106 В/м. Найти относительную разность концен-
траций молекул в конденсаторе и вне его.
3.48. В плоский конденсатор введена пластина из
оптического стекла (е = 9) так, что остался воздуш-
ный зазор а = 1 мм. Расстояние между обкладками
конденсатора равно d = 1 см. К конденсатору при-
ложена разность потенциалов U\ = 100 В. Найти раз-
ность потенциалов, если после отключения конденса-
тора от источника тока стеклянная пластинка будет
убрана.
3.49. Пластина из сегнетоэлектрика (е = 200)
имеет толщину, равную зазору между обкладками
плоского конденсатора. Площадь обкладок конденса-
тора 5i = 1 м2. Какова должна быть площадь 52
основания пластины для того, чтобы смещение сде-
лалось в га = 40 раз больше, чем до введения пласти-
ны? Конденсатор изолирован.
3.50. В подключенный к батарее плоский конденса-
тор вставляются две пластины из сегнетоэлектрика
(е = 100) таким образом, что между ними остается
3* 67
небольшой зазор а (рис. 3.10). Найти зазор, при ко-
тором поле в нем будет в п = 50 раз больше, чем в
отсутствие сегнетоэлектрика. Расстояние между об-
кладками конденсатора
равно d=--2 см.
3.51. Диэлектрический
диск радиусом г =10 см и
высотой h = 10 см с диэлек-
трической проницаемостью
е = 5 равномерно вращает -
ис' ' ся вокруг своей оси, делая
п = 100 об/с. Определить
объемную плотность заряда р внутри диска, возни-
кающую из-за вращения, а также заряд q на его по-
верхности.
3.52. Конденсатор, заполненный жидким диэлек-
триком с проницаемостью е, зарядили, затратив на
это энергию W\. Затем конденсатор отсоединили от
источника, слили из него диэлектрик и разрядили.
Определить энергию W2, которая выделилась при
разрядке.
3.53. К батарее с э. д. с. <% подключен последова-
тельно с некоторым сопротивлением плоский конден-
сатор емкостью С. Пластины конденсатора быстро
сближают, так что расстояние между ними умень-
шается в два раза. Предполагая, что за время пере-
мещения пластин заряд конденсатора практически не
изменился, найти количество теплоты Q, выделяющее-
ся на сопротивлении к моменту окончания перезаряд-
ки. Оценить порядок сопротивления R, при котором
условия задачи могут быть практически выполнены.
Считать время сближения At « 10~2 с, С = \0~10 Ф.
3.54. Плоский конденсатор с квадратными пласти-
нами (расстояние между пластинами d, площадь пла-
стин S) заряжен до разности потенциалов U и отсое-
динен от источника тока. После этого в конденсатор
вдвинута до половины широкая пластина из диэлек-
трика с проницаемостью е. Толщина пластины равна d.
Найти силу F, с которой пластина втягивается в кон-
денсатор.
3.55. Оценить силу F, действующую на атом, нахо-
дящийся на расстоянии / ^= 20 нм от поверхности
острия металлической иглы с радиусом закругления
г= 10 нм. Считать потенциал на игле ср = 10 кВ, по-
ляризуемость а атома порядка его объема.
Рис. 3.1!
3.56. Электрический заряд q равномерно распреде-
лен по тонкому кольцу радиусом г. Точечный диполь
массой т с дипольным моментом р-,
может перемещаться вдоль оси коль-
ца, перпендикулярной его плоскости,
причем направление дипольного мо-
мента параллельно оси кольца
(рис. 3.11). В начальный момент
времени диполь находился в центре
кольца н имел нулевую скорость.
Определить: 1) максимальную ско-
рость umax диполя при его движении вдоль оси коль-
ца, 2) положение равновесия Хо диполя и период Т
его малых колебаний около этого
положения.
3.57. Одна из пластин конденса-
тора жестко закреплена, а вторая,
имеющая массу т, связана с пру-
жиной жесткостью х (рис. 3.12).
Расстояние между пластинами при
ненапряженной пружине равно do.
К конденсатору подключили бата-
рею. В новом положении равнове- рис g |2
сия расстояние между пластинами
равно <2 = D/5)<20. Найти период Т малых колебаний
пластины.
§ 3.2. Постоянный электрический ток
3.58. Найти ток, проходящий через резистор сопро-
тивлением Ro в схеме, изображенной на рис 3.13, счи-
тая все параметры заданными.
2
-jj
Рис. 3.13
Рис. 3.14
3.59. В схеме, изображенной на рис. 3.14, заданы
сопротивления R^ и Ru. Определить сопротивление R,
при котором рассеиваемая на нем мощность будет
69
максимальной. Каково условие того, что ток, прохо-
дящий через сопротивление R, будет равен нулю?
3.60. Электрическая цепь составлена из двух бата-
рей с э. д. с. S\ и (S2 и четырех одинаковых резисторов
сопротивлением R каждый (рис. 3.15). Какая мощ-
ность рассеивается на этих резисторах?
17
Рис 3.15
Рис 3.16
3.61. К большому металлическому листу толщиной
а приварены на расстоянии Ь друг от друга два ци-
линдрических проводника радиусом г0 (рис. 3.16).
Найти сопротивление R между проводниками, если
а < г0 < Ь. Считать, что удельная проводимость к^
проводников значительно больше удельной проводи-
мости % материала листа.
3.62. На поверхности двух одинаковых диэлектри-
ческих конусов, соприкасающихся основаниями, на-
несен тонкий проводящий слой толщиной б с удельной
проводимостью X. К вершинам конусов припаяны ци-
линдрические электроды диаметром d. Определить со-
противление R между вершинами, если 6меры конусов указаны на рис. 3.17.
Рис. 3.17
Рис. 3.18
3.63. К центрам противоположных торцов тонко-
стенной цилиндрической банки диаметром D и высо-
той / припаяны провода диаметром d (рис. 3.18).
Определить сопротивление R банки, если она сделана
70
из фольги толщиной б <С d с удельной проводи-
мостью к.
3.64. Определить проводимость Л изоляции в сфе-
рическом конденсаторе емкостью С с утечкой, запол-
ненном диэлектриком. Удельная проводимость диэлек-
трика равна А,, диэлектрическая проницаемость е.
3.65. Пространство между двумя концентрически-
ми сферами заполнено диэлектриком, проводимость
которого зависит только от расстояния до сфер. Найти
закон изменения удельной проводимости к(г), если
объемная плотность джоулевых потерь при прохожде-
нии тока была одинакова во всех точках.
3.66. Пространство между двумя коаксиальными
цилиндрами заполнено диэлектриком, обладающим
некоторой проводимостью. Найти закон изменения
удельной проводимости к(г), если при наличии неко-
торой разности потенциалов поле между цилиндрами
было везде одинаково.
3.67. Заземление концов телеграфной линии осу-
ществлено посредством металлических шаров радиу-
сами г\ и п, очень глубоко зарытых в землю. Удель-
ная проводимость почвы вблизи них равна X] и А,2-
Найти сопротивление R земли между шарами. Счи-
тать почву в окрестности каждого шара однородной
на расстояниях, больших по сравнению с радиусами
шаров.
3.68. Постоянная времени разряда плоского масля-
ного конденсатора через некоторое сопротивление
равна ti. После того как масло конденсатора отсы-
рело, постоянная времени разряда через то же сопро-
тивление оказалась равной т2. Определить удельное
сопротивление р отсыревшего масла, если его диэлек-
трическая проницаемость е не изменилась.
3.69. Сферический конденсатор с радиусами сфер
г\ и г2 заполнен слабо проводящей средой. Емкость
конденсатора оказалась равной С, а разность потен-
циалов на конденсаторе после отключения его от ба-
тареи уменьшилась в два раза за время t. Определить
диэлектрическую проницаемость е среды и ее удель-
ное сопротивление р.
3.70. В генераторе Ван-де-Граафа, схематически
изображенном на рис. 3.19, заряды переносятся ди-
электрической лентой и заряжают высоковольтный
сферический электрод. Поверхностные заряды пере-
даются ленте от источника вблизи нижнего шкива.
71
V////7/////////////////
Рис. 3.19
Найти максимальный потенциал и максимальный ток,
которые можно получить от такого генератора, если
радиус высоковольтного электрода г= 1,5 м, скорость
движения ленты и = 20 м/с, а ширина ленты / =
= 100 см. Лента и высоковольт-
ный электрод находятся в атмо-
сфере газа, в котором пробой
возникает при напряженности
электрического поля Еп9 =
= 30 кВ/см.
3.71. Когда напряжение на ке-
нотроне равно 500 В, температу-
ра анода достигает 800 СС. Опре-
делить температуру анода при
повышении анодного напряжения
до 1000 В в случаях, если: 1) при
500 В анодный ток уже дости-
гает насыщения, 2) при 1000 В
еще не наступает насыщение.
Указание. Принять во внимание, что в отсут-
ствие насыщения анодный ток / ~ t/3/2.
3.72. Атомный электрический элемент представ-
ляет собой две концентрические проводящие сферы.
Внутренняя сфера сделана из радиоактивного мате-
риала, испускающего быстрые электроны. В простран-
стве между сферами скорость электронов п, следова-
тельно, их ионизирующее действие можно считать
постоянными. Пролетев воздушный зазор, электроны
поглощаются на внешней сфере. В отключенной бата-
рее устанавливается равновесие между потоком заря-
да, переносимым быстрыми электронами, и током про-
водимости в ионизованном воздухе. Найти напряжен-
ность электрического поля Е в пространстве между
сферами, если э. д. с. элемента равно равны г\ и г2.
§ 3.3. Магнитное поле
3.73. По проводнику, имеющему форму эллипса,
течет постоянный ток /= 10 А. Большая и малая по-
луоси эллипса равны а = 50 см, b = 30 см. Опреде-
лить индукцию В магнитного поля в вакууме в фокусе
проводника.
Указание. Уравнение эллипса в полярной си-
стеме координат: г = р/(\ -f- ecos ф), где р = Ь2/а
параметр, а е < 1эксцентриситет.
72
Рис. 3.20
3.74. По проводнику, имеющему форму гофриро-
ванной окружности, течет постоянный ток /=10 А
(рис. 3.20). Определить индукцию В магнитного поля
в вакууме в центре 0 провод-
ника.
Указание. Уравнение этой
фигуры в полярной системе коор-
динат: \/г = \/а -\- b cos ту, где
а = 50 см, т целое число, Ь
постоянная.
3.75. Вдоль плазменного цилин-
дра радиусом а с параболическим
распределением удельной проводи-
мости % = Л.оA г2/а2) течет постоянный ток /. Найти
распределение индукции магнитного поля В (г) внутри
и вне цилиндра в зависимости от расстояния г от оси
цилиндра.
3.76. На тонкий латунный прут, свернутый в коль-
цо, намотано равномерно N = 104 витков провода. Во
сколько раз индукция Вх на оси прута больше, чем
В2 в центре кольца?
3.77. Над большим горизонтальным латунным ли-
стом помещена магнитная стрелка с магнитным мо-
ментом р„. Стрелка укреплена на вертикальной оси и
связана со спиральной пружиной, модуль кручения
которой равен /. Как изменится положение равнове-
сия стрелки, если по листу потечет ток с поверхност-
ной плотностью /? Направление тока совпадает с на-
чальным равновесным положением стрелки. Рас-
смотреть случай малых углов закручивания.
3.78. На расстоянии L=10 см от прямого провода,
по которому течет ток /j = 10 А, расположена ква-
дратная рамка со стороной 1 =
= 1 см таким образом, что две ее
стороны параллельны проводу и
вся система лежит в одной плоско-
сти (рис. 3.21). По рамке течет
ток /2 = 1 А. Найти силу взаимо-
действия F между проводом и
рамкой.
3.79. При производстве полиэтиленовой пленки ши-
рокая полоса протягивается по роликам со скоростью
v = 15 м/с (рис. 3.22). В процессе обработки (глав-
ным образом из-за трения) поверхность пленки при-
обретает равномерно распределенный заряд. Найти
L
I
Рис. 3.21
73
максимальные значения поверхностной плотности за-
ряда Отах И ИНДУКЦИИ МЭГНИТНОГО ПОЛЯ Smax вбЛИЗИ
поверхности пленки, принимая во внимание, что при
напряженности электрического поля ?Пр = 20 кВ/см
в воздухе возникает элек-
трический разряд.
3.80. При производ-
стве полиэтиленовой
пленки широкая тонкая
Рис 322 полоса протягивается по
роликам со скоростью
о = 1 м/с (см. рис. 3.22). В процессе обработки
поверхность пленки приобретает равномерно распре-
деленный заряд а=10~7 Кл/м2. Над пленкой на
расстоянии, малом по сравнению с шириной плен-
ки, расположен прямой провод, по которому проте-
кает ток /= 10 А. Направление тока совпадает с на-
правлением движения пленки. Найти силу F, дейст-
вующую на единицу длины пленки.
3.81. Вдоль эвакуированной длинной цилиндриче-
ской трубы радиусом R создан стационарный аксиаль-
но симметричный поток электронов, ускоренных при
прохождении разности потенциалов U. Найти распре-
деление концентрации электронов п(г), где г рас-
стояние до оси пучка, если результаты
измерения индукции магнитного поля В(г)
оказалось возможным описать выраже-
нием В = B0(r/R)i при г < R (Во и
q>§ постоянные). Найти распреде-
ление напряженности электрического по-
ля Е(г), предполагая, что параметры
пучка не изменяются вдоль его оси.
3.82. По оси полого цилиндра натя-
нута нить, на единицу длины которой
приходится заряд т = 1 ед. СГС. Ци-
линдр вращается вокруг своей оси с уг-
ловой скорость ю=1000 рад/с (рис. 3.23).
Определить индукцию магнитного поля в
материале цилиндра вдали от его торцов, пренебрегая
пьезоэффектом и всеми эффектами, вызываемыми цен-
тробежной силой, а также магнитное поле в полости
цилиндра и во внешнем пространстве, если цилиндр:
1) металлический немагнитный, 2) диэлектрический
(8 = 3).
3.83. Тонкостенная длинная дюралевая трубка за-
74
1
1
1
1
,.4-
.' К
^ К
V.
Рис
1 1
1 1
1 1
1 1
-r-U
.-J-I ч
1 1
г
3.23
/
ряжается электрически и приводится в быстрое вра-
щение вокруг продольной оси. Предел скорости вра-
щения трубки ограничивает механическая прочность
дюрали (fmax = 5,9-108 Па). Какова будет конфигу-
рация создавшегося магнитного поля? Найти наи-
большее отношение объемных плотностей энергий маг-
нитного поля (дам) внутри трубки и электрического
поля (шэ) на внешней поверхности труб-
ки. Плотность дюраля р = 2,7-103 кг/м3.
3.84. Однородно заряженное непрово- ^- -^
дящее тонкое кольцо массой тис заря- Г ° j
дом q быстро вращается с углозой ско- -у(о
ростыо ю вокруг своей оси во внешнем /
однородном магнитном поле с индук- /
цией В (рис. 3.24). Найти угловую ско- /
рость прецессии Q. '*
3.85. Искусственный спутник Земли Рис 3.24
массой т = 103 кг выполнен в виде тон-
костенного шара. Для сообщения ему угловой скоро-
сти можно использовать магнитное поле Земли, ин-
дукция которого равна В = 0,5 Гс. Найти угловую
скорость со, которую приобретает спутник при быст-
рой разрядке аккумуляторов, имеющих заряд q =
= 5 Ач, через обмотку N = 20 витков, уложенную
на поверхности спутника вдоль окружности большого
круга. Считать магнитное поле Земли параллельным
плоскости обмотки.
3.86. Согласно современным данным, допустимое
из опытов различие зарядов электрона qe и протона
<7Р таково, что (qp qe)/qp<. 10~21. He может ли это
различие объяснить существование наблюдаемого
магнитного поля Земли? Магнитное поле Земли равно
В«3 10~5 Тл. Считать, что для атомов, составляю-
щих Землю, отношение атомной массы к атомному
номеру S4-/Z = 2.
3.87. Для исключения потерь энергии на джоулево
тепло в линиях передачи постоянного тока предло-
жено использовать коаксиальный кабель, внутренняя
жила и наружная оболочка которого выполнены из
сверхпроводника. Максимально допустимая индукция
магнитного поля на поверхности сверхпроводника
итак = 500 Гс, максимально допустимая напряжен-
ность электрического поля в изолирующей прослойке
кабеля ?щах = 30 кВ/см. При каком соотношении
диаметров d/D жилы и оболочки можно передать
75
Максимальную МОЩНОСТЬ Ртах? НаЙТИ МОЩНОСТЬ Ртах,
приняв диаметр наружной оболочки D = 20 см.
3.88. Тороидальный сердечник составлен из двух
половинок, сделанных из различных ферромагнитных
материалов с магнитными проницаемостями ^ и ц2
(рис. 3.25). Общая длина сердечников, включая два
зазора размером I каждый, равна L. По обмотке сер-
дечника, имеющей N витков, течет ток /. Определить
индукцию В магнитного поля в зазоре.
Рис. 3.25
,Ln
Рис. 3.26
3.89. По обмотке электромагнита, имеющего Л' вит-
ков, протекает ток /. Определить индукцию В магнит-
ного поля в зазоре, если все участки сердечника
имеют одинаковые сечения, а магнитная проницае-
мость материала равна ц. Геометрические размеры
электромагнита указаны на рис. 3.26.
3.90. Требуется построить электромагнит, который
создает в зазоре магнитное поле с индукцией В =
= 104 Гс. Длина железного сердечника I = 140 см,
ширина воздушного зазора d = 1 см, диаметр сердеч-
ника D = 6 см. Какое наименьшее число витков N
должна иметь обмотка, если используется медный
провод площадью сечения S = 1 мм2, по которому
можно пропустить ток, не превышающий / = 3 А?
Определить напряжение U, которое нужно подавать
на обмотку для получения максимального ноля. Маг-
нитная проницаемость железа |Л = 1О3, удельное со-
противление меди р = 1,7-10~8 Ом-м.
3.91. Некоторый ферромагнитный материал имеет
остаточную намагниченность Jr = 500 Э, а коэрцитив-
ную силуНс=500Э, причем кривая размагничивания
J(H) представляет собой четверть окружности
(рис. 3.27). Из этого материала изготовлен постоян-
76
ный магнит, представляющий собой тор квадратного
сечения с поперечным зазором. Внутренний радиус
тора гх = 1,5 см, внешний г 2 = 2,5 см, ширина за-
зора 1 = 5 мм. Определить индукцию В магнитного
поля в зазоре. Рассеянием магнитного поля прене-
бречь.
3.92. Стальной шарик намагничивается до насыще-
ния во внешнем поле, после чего поле выключается.
Найти остаточную намагниченность шарика /г, если
В и Н связаны уравнением В = Во(\ + Н/Нс) и для
данного сорта стали Нс 4-103 А/м, А
Вй = 1 Тл. Коэффициент размагничива-
ния сферы р = 1/3.
<7,Гс
Jr.
н.э
И
Рис. 3.27
Рис. 3.28
Рис. 3.29
3.93. На рис. 3.28 изображена зависимость намаг-
ниченности J от напряженности поля Н для некото-
рого магнитного материала. Из этого материала изго-
товили сердечник тонкой тороидальной катушки,
имеющей N витков. Длина катушки (периметр) равна
L. В сердечнике имеется узкий поперечный воздушный
зазор, равный I. Определить, при каком значении тока
/о в катушке наступит насыщение сердечника. Как
будет изменяться магнитная индукция В в зазоре сер-
дечника при / > /0? Величины /0 и Но считать за-
данными.
3.94. Какой ток / нужно пустить по длинному и
тонкому однослойному соленоиду с плотностью об-
мотки п витков на единицу длины, чтобы индукция
всюду была равна индукции постоянного магнита тех
же размеров? Намагниченность / однородна и на-
правлена по оси.
3.95. Имеется тонкий длинный постоянный магнит
длиной 21 и радиусом г, намагниченность которого /
однородна и направлена по оси (рис. 3.29). Найтн
77
¦

¦ k
в
+ 1
If
1,
Рис. 3.30
магнитную индукцию ВА в точке Л. Во сколько раз
она больше индукции Вс в точке С?
3.96. Длинный цилиндр изготовлен из материала
с «замороженной» однородной намагниченностью, на-
^ правленной по его оси. Ин-
дукция в точке А оказа-
лась равной Вд = Ю3 Гс
(рис. 3.30). Найти индук-
цию Вс вблизи торца корот-
кого цилиндра, изготовлен-
ного из того же материала,
если /i = 5- Ю-2 D.
3.97. Бесконечная пло-
ская пластина изготовлена
из однородно намагниченного ферромагнетика, при-
чем направление намагниченности / перпендикулярно
плоскости пластины. Найти поля В и Н внутри и вне
пластины.
3.98. Бесконечная плоская пластина изготовлена
из однородно намагниченного ферромагнетика, причем
направление намагниченности / параллельно пло-
скости пластины. Найти поля В и Н внутри и вне
пластины.
3.99. Стержень из магнитного материала (|л»1),
имеющий форму цилиндра радиусом г, помещен во
внешнее однородное магнитное поле Во, направленное
вдоль его оси (рис. 3.31). В бесконечно длинном ци-
i
i
1
Рис. 3.31
Рис. 3.32
линдре индукция В, как известно, была бы равна (лВ0-
Оценить, при какой минимальной длине 1тш индук-
ция в центре цилиндра отличается от этого значения
не более чем на 1 %.
3.100. Круглый диск радиусом г из магнитного ма-
териала (ц ^> 1) помещен во внешнее однородное маг-
нитное поле Во, направленное вдоль его оси
(рис. 3.32). В бесконечно тонком диске индукция, как
78
известно, была бы равна Во. Оценить, при какой мак-
симальной толщине /тах индукция в центре диска от-
личается от этого значения не более чем на 1 %.
3.101. Компас располагают над проводом, по ко-
торому течет постоянный ток, на расстоянии / = 0,1 м
от оси провода. Найти ток /, при котором стрелка
поднимается над своим шпеньком. Остаточная индук-
ция стали стрелки равна индукции насыщения Вг =
= 2 Тл. Плотность стали р = 7,8-103 кг/м3.
3.102. Магнитный брусок сечением „S = 1 см2 и
длиной / = 10 см подносят к компасу на расстояние
L = 1 м. С какой стороны надо подносить магнит и
как его ориентировать, чтобы отклонение компаса
фтах было максимальным? Найти значение фтах, если
остаточная индукция материала бруска Вг=104 Гс,
горизонтальная составляющая земного поля В3 =
= 0,2 Гс.
3.103. Определить период малых колебаний сво-
бодно подвешенного за середину тонкого магнитного
бруска длиной / = 0,1 м в магнитном поле Земли
(Вэ =2-10-5 Тл). Плотность стали р = 7,8-103 кг/м3,
остаточная индукция Вт = \ Тл.
3.104. По двум вертикальным рейкам, соединен-
ным внизу резистором сопротивлением R = 2 Ом, а
вверху батареей с э. д. с. <§ = 1 В и
внутренним сопротивлением г = 2 Ом,
скользит без трения проводник, дли-
на которого I = 10 см, масса m =
= 10 г (рис. 3.33). Система находится °
в однородном магнитном поле, индук- о
ция которого равна В = W Гс, пер-
пендикулярна плоскости рисунка и о
направлена к читателю. Найти уста-
новившуюся скорость v проводника о
в поле силы тяжести, пренебрегая
сопротивлением реек и проводника.
При каком соотношении между па- Рис 3.33
раметрами задачи установившаяся
скорость направлена вниз и при каком вверх?
3.105. По двум вертикальным рейкам, соединен-
ным вверху и внизу резисторами сопротивлением
/? = 0,01 Ом, скользит без трения проводник, длина
которого /=100 см, масса /п=100 г, сопротивление
R = 0,01 Ом (рис. 3.34). Система находится в одно-
родном магнитном поле, индукция которого равна
79
В,г
В
о о
В = 1000 Гс, перпендикулярна плоскости рисунка и
направлена к читателю. Найти максимальную ско-
о РОСТЬ Игаах ПрОВОДНИКЭ В ПОЛе СИЛЫ
тяжести, пренебрегая сопротивлением
реек.
© о о 3.106. Два диска радиусами г\ и г2
д вращаются с угловой скоростью со
в однородном магнитном поле с ин-
о /? о о дукцией В, перпендикулярной их пло-
скости. Центры дисков присоединены
к обкладкам конденсатора емкостью
° С\, ободы через скользящие контак-
ты к обкладкам конденсатора емко-
стью Сч (рис. 3.35). Найти разности
Рис. 3.34 потенциалов U\ и 11^ на конденса-
торах.
3.107. Короткозамкнутой проволочной рамке з
форме квадрата со стороной а, находящейся в маг-
нитном поле, сообщена начальная скорость v0 в на-
правлении, перпендикулярном одной из сторон в пло-
скости рамки. Магнитная индукция В направлена пер-
пендикулярно плоскости рамки, а ее значение линейно
изменяется в направлении начальной скорости так,
eg о
о С, ©
I
1
а
Рис. 3.35
Рис. 3.36
что dB/dx = К. Найти скорость v рамки через время
t после начала движения. Масса рамки равна т, со-
противление R. Коэффициентом самоиндукции пре-
небречь.
3 108. Прямоугольная рамка со сторонами а и Ь
находится на расстоянии I от прямого провода с то-
ком / (рис. 3.36). Какой импульс р получит рамка
при выключении тока, если активное сопротивление
рамки равно R, а реактивным можно пренебречь?
3.109. Коаксиальный кабель состоит из внутреннего
провода радиусом г\ и внешней оболочки радиу-
80
сом г2. Найти индуктивность L кабеля на единицу
длины.
3.110. Квадратная рамка со стороной а, по кото-
рой течет ток /, находится на расстоянии Ъ от гра-
ницы полуплоскости (рис. 3.37). Найти поток магнит-
ной индукции Ф, пронизывающий эту
полуплоскость. ¦%
3.111. Внутри длинной катушки-со- р
леноида длиной /, площадью сечения S J
и плотностью намотки п расположена %
небольшая катушка с площадью вит- 4,
ков Si и полным числом витков N, ин- -^
дуктивность которой равна Lo. Обе Рис. 3.37
катушки соединены последовательно,
Как изменяется индуктивность L такой системы в за-
висимости от угла 6 между осями катушек?
3.112. Внутри длинной катушки-соленоида индук-
тивностью Lo расположен другой соленоид меньших
размеров, все линейные размеры которого в C раз
меньше линейных размеров большого соленоида (по-
добные катушки), Катушки соединены последователь-
но, их оси совпадают, число витков обоих соленоидов
одинаково. Найти индуктивность L такой системы.
3.113. В длинном соленоиде с плотностью намотки
п вдали от его концов расположен намагниченный
стержень, имеющий магнитный момент рм, ориенти-
рованный вдоль оси соленоида. Размер стержня мал
по сравнению с диаметром обмотки соленоида. Найти
поток магнитной индукции Ф, пронизывающий соле-
ноид.
3.114. Две небольшие одинаковые катушки распо-
ложены так, что их оси лежат на одной прямой
(рис. 3.38), Расстояние /
между катушками, равное
10 см, значительно превы-
шает их линейные размеры,
Число витков каждой ка- Рис 3.38
тушки N = 100, площадь
витков S = 1 см2. Найти силу взаимодействия F ка-
тушек и коэффициент их взаимной индукции М при
3.115. Намагниченная пуля пролетает вдоль оси
тонкой (плоской) катушки, соединенной с баллисти-
ческим гальванометром через идеальный выпрямляю-
щий элемент. Пуля намагничена вдоль своей оси, ее
81
Рис. 3.39
размеры малы по сравнению с диаметром катушки D.
Определить магнитный момент рм пули, если известно,
что гальванометр отклонился после пролета пули на
угол ф. Известны баллистическая постоянная гальва-
нометра й, число витков катушки N и сопротивление
цепи R.
3.A6. Прямолинейный магнит расположен на оси
круглого кольца радиусом а, состоящего из N витков
проволоки, концы которой соединены
с баллистическим гальванометром
(рис. 3.39). Расстояние между центра-
ми кольца и магнита равно /. Разме-
ры магнита малы по сравнению с /
и радиусом кольца. Его ось перпенди-
кулярна плоскости кольца. Опреде-
лить магнитный момент рм магнита,
если при его быстром удалении от
кольца баллистический гальванометр
отклонился на угол ср. Баллистическая
постоянная равна Ь, сопротивление
цепи (включая сопротивление гальва-
нометра) R.
3.117. Электрический заряд q рав-
номерно распределен по длине твер-
дого непроводящего тонкого кругового кольца мас-
сой т. Кольцо может свободно вращаться вокруг сво-
ей оси. Вначале кольцо покоилось, а магнитное по-
ле было равно нулю. Затем было включено одно-
родное магнитное поле B = B(t), перпендикуляр-
ное плоскости кольца и произвольно меняющееся
во времени. Найти угловую скорость ш вращения
кольца.
3.118. Простейший генератор постоянного тока со-
стоит из прямоугольной рамки площадью S с числом
витков Л' и внутренним сопротивлением г, вращаю-
щейся с угловой скоростью а в однородном магнит-
ном поле с индукцией В. Определить средний вра-
щающий момент сил Ж, приложенных к рамке, и
среднюю мощность Р, идущую на вращение генера-
тора. Генератор работает на нагрузку сопротивле-
нием R.
3.119. Для измерения магнитной восприимчивости
длинных цилиндрических образцов применена уста-
новка, показанная на рис. 3.40. При быстром удале-
нии образца, заполнявшего всю катушку, на ней воз-
82
\
Рис. 3.40
никает импульс напряжения, который измеряется с
помощью осциллографа. Определить магнитную вос-
приимчивость х образца, если L=\ Гн, ?/ = 6,8 мВ.
Каким должно быть
время / удаления об-
разца, чтобы от него не
зависела амплитуда
импульса напряжения,
измеряемого осцилло-
графом?
3.120. На каком
расстоянии / от Солн-
ца плотность энергии
солнечного света ста-
нет равной плотности энергии межзвездного магнит-
ного поля с индукцией В = 2-10~6 Гс?
3.121. Два одинаковых соленоида длиной /=50 см,
приставленных торцами друг к другу (рис. 3.41) при-
тягиваются с силой F=\ H, когда по их обмоткам
течет одинаковый ток / = 10 А. Найти -,.
коэффициент самоиндукции L каждого 1 3
из соленоидов. ^
3.122. Длинный сердечник из мате- /
риала с магнитной проницаемостью |i= 1
= 100 втягивается с силой F = 10 Н в т 1(
длинный соленоид, по которому течет
ток /= 10 А. Сердечник занимает все се-
чение соленоида и вставлен на глубину,
значительно превышающую его диаметр. Найти ко-
эффициент самоиндукции L соленоида (без сердеч-
ника), если его длина / = 50 см.
3.123. Вдоль оси цилиндрического жидкого про-
водника радиусом а равномерно по сечению течет ток
/. Найти давление р(г), обусловленное взаимодейст-
вием тока с созданным им магнитным полем.
3.B4. Длинный цилиндрический стержень с маг-
нитной проницаемостью (х и площадью поперечного
сечения S расположен вдоль оси соленоида так, что
один его конец находится внутри, а другой вне со-
леноида. Найти силу F, с которой втягивается стер-
жень в соленоид с индукцией В.
3.125. Длинный соленоид, намотанный на тонко-
стенный капилляр, погружен одним концом в пара-
магнитную жидкость с плотностью р и магнитной про-
Рис. 3.41
R3
ннцаемостью ц. Число витков на единицу длины со-
леноида равно п. Определить изменение уровня жид-
кости Д/i в капилляре, если по соленоиду пропустить
ток /.
3.126. Вблизи длинного прямого провода, по кото-
рому протекает ток /] = 10 А, расположена квадрат-
ная рамка с протекающим по ней током /2=1 А
(рис. 3.42). Рамка и провод лежат
в одной плоскости; стороны рамки
равны а = 6,8 см, расстояние Ь =
= 4 см. Найти работу А, которую
нужно совершить, чтобы передви-
нуть прямой провод в положение,
Ь \ а ь_\ указанное штриховой линией.
3.127. В сердечнике электромаг-
Рпс. 3 42 нита имеется малый зазор I, в ко-
торый помещена пластинка из того
же материала. Длина сердечника равна L, сечение
всюду одинаково и равно S, магнитная проницаемость
ц >¦ 1. Обмотка электромагнита имеет N витков, по
которым протекает ток /. Найти работу А, которую
нужно совершить, чтобы удалить пластину из зазора.
Рассеянием магнитного потока пренебречь.
3.128, Катушка, имеющая N витков, намотана на
железный торроидальный сердечник с магнитной про-
ницаемостью (х. Радиус тора R, радиус сечения сер-
дечника г<^. Тор разрезан на две половины, раз-
двинутые так, что между ними образовался воздуш-
ный зазор шириной I (рис, 3.43), Определить силу
Рис. 3.43
Рис 3 44
притяжения F между половинами тора, если в об-
мотке протекает ток /, Рассмотреть случай I = 0.
3.129. Как изменится подъемная сила электромаг-
нита, изображенного на рис. 3.44, если его нижнюю
подкову изготовить из материала с магнитной прони-
цаемостью ц2 ф |Х( верхней подковы?
3.130. Для определения магнитной восприимчи-
вости % диамагнитного материала измеряют с по-
мощью весов силу, выталкивающую маленький обра-
зец из зазора между полюсами электромагнита
(рис. 3.45). Пусть индукция магнит-
ного поля в зазоре изменяется в ра-
диальном направлении по закону
В = Воехр(аг2), где грасстоя-
ние от оси симметрии (в см), Во
поле на оси, равное 103 Гс, а кон-
станта, равная 10~2 см~2. На каком
расстоянии г от оси нужно распо-
ложить диамагнитный образец, что-
бы выталкивающая сила была мак- ^
симальной, и чему равна эта мак-
симальная сила для образца в виде Рис. 3.45
небольшого тонкого диска объемом
У = 0,1 см3? Магнитную восприимчивость материала
принять равной % = 1,4-1015 (висмут). Диск ориен-
тирован перпендикулярно магнитному полю.
3.131. Из энергетических соображений оцените са-
моиндукцию L круглой петли длиной I из тонкой про-
волоки радиусом г.
3.132. По длинному плазменному цилиндру радиу-
сом г = 5 см течет ток / = 103 А, сосредоточенный в
поверхностном слое. Давление в плазме равно р =
= 10s Па. Определить магнитное давление рмаг на бо-
ковую поверхность плазменного цилиндра, возникаю-
щее под действием тока. Найти ток /, необходимый
для того, чтобы давления стали равными.
3.133. Сверхсильные магнитные поля получаются
взрывным сжатием отрезка проводящей трубы, в ко-
торой создано начальное магнитное поле с индукцией
Во. Определить индукцию В конечного магнитного
ноля и радиус трубы г, если при сжатии давление
магнитного поля уравновешивается давлением 1 млн.
атм от взрыва. Рассмотреть случай Ва = 5 Тл, началь-
ный радиус трубы г0 = 0,05 м. Механическим и элек-
трическим сопротивлениями пренебречь.
3.134. Длина цилиндрического однослойного соле-
ноида много больше его радиуса г. Провод обмотки
соленоида имеет квадратное сечение со стороной а<Сг.
витки плотно прилегают друг к другу. При прохожде-
S5
нии тока через соленоид возникает сила, стремящаяся
разорвать обмотку. Определить предельный ток /, при
котором наступит разрыв проволоки обмотки в цен-
тральном сечении соленоида, если проволока выдер-
живает нагрузку на растяжение, не превышающую F.
3.135. В пространстве между двумя плоскими па-
раллельными электродами зажигается электрический
разряд (так называемый линейный «z-пинч») и обра-
зуется сжимаемый силами магнитного давления плаз-
менный шнур радиуса г= 1 см с концентрацией элек-
тронов и ионов п = пе = п\ = 10!э см~3, ток разряда
/= 106 А. Оценить температуру Т плазмы.
3.136. Тонкое металлическое кольцо быстро вра-
щается вокруг вертикальной оси, проходящей через
его диаметр и перпендикулярной однородному маг-
нитному полю с индукцией В =100 Гс. Пренебрегая
трением в оси, найти, через какое время / угловая
скорость вращения уменьшается в е раз. Плотность
материала кольца р = 9 г/см3, удельная проводимость
Х = 5-105 Ом-1-см-1. Потери энергии за один оборот
считать малыми.
3.137. В скрещенных однородных полях Еу и Вг из
некоторой точки ха разлетаются электроны с одина-
ковыми скоростями у -С с, лежащими в плоскости ху.
Считая Еу <С Вг и пренебрегая взаимодействием элек-
тронов друг с другом, найти, на каком расстоянии I
и через какое время t они снова соберутся в одну
точку.
3.138. Смоделировать траекторию заряженной ча-
стицы в магнитном поле можно, натянув в зазоре маг-
нита проволоку с током. С какой силой F надо натя-
нуть проволоку с то-
ком /= 1 А, чтобы
--~" имитировать траекто-
рию протона с энер-
--_ гией W= 1 МэВ?
3.139. Две щели S,
и 52 шириной й =
Рис 3.46 =0,1 см каждая, уста-
новленные в эвакуиро-
ванном сосуде, выделяют «плоский» пучок электронов
с энергией № = 400 эВ (рис. 3.46). На каком рас-
стоянии х от щели S2 ширина электронного пучка
удвоится из-за кулоновского расталкивания электро-
нов, если ток, приходящийся на единицу длины щели
86
(за щелью S2), равен /=10~4 А/см? Считать щели
бесконечно длинными.
3.140. В омегатроне ион остаточного газа раскру-
чивается по спирали в скрещенных переменном элек-
трическом (с амплитудой Е = 1 В/см) и постоянном
магнитном (В = 3-103 Гс) по-
лях (рис. 3.47). Найти частоту,
при которой ионы N^ будут
достигать коллектора К- При ~ '^
этой частоте радиус спирали j" вы-
будет возрастать до тех пор,
пока ион не достигнет коллек-
тора на радиусе г=1 см. Рис. 3.47
Если частоту немного изме-
нить, то ион будет некоторое время раскручиваться,
а потом начнет скручиваться обратно к источнику.
Оценить, насколько надо изменить частоту, чтобы ток
на коллектор прекратился.
3.141. В ускорителе электроновбетатроне роль
ускоряющего напряжения играет э. д. с. индукции,
возбуждаемая изменением магнитного потока, прони-
зывающего орбиту электронов. Электроны движутся
при этом по орбитам приблизительно постоянного ра-
диуса. Принимая радиус орбиты электрона неизмен-
ным, определить необходимое для этого в данный мо-
мент времени соотношение между средним магнитным
полем B(t), пронизывающим орбиту электрона, и
магнитным полем B(t) на орбите электрона. Считать
магнитное поле параллельным оси симметрии вакуум-
ной камеры бетатрона.
3.142. В цилиндрическом пропорциональном счет-
чике пучок частиц создает объемную ионизацию. Ра-
диус катода г\ = \ см, радиус анода г2 = 2-10-2 см,
разность потенциалов между анодом и катодом U
= 2500 В, подвижность положительных ионов аргона
Р = 1L см2/(В-с). Оценить время / собирания ионов
в таком счетчике, наполненном аргоном при нормаль-
ном давлении.
3.143. В установке для разделения изотопов 235U
и 238U пучок однократно ионизованных ускоренных
ионов урана с энергией W = 5 кэВ попадает от источ-
ника через щель 5 в однородное магнитное поле,
перпендикулярное плоскости рис. 3.48. В магнитном
поле ионы разных масс движутся по различным
87
окружностям и, совершив полуоборот, попадают в
приемники. Конструкция последних такова, что рас-
стояние между пучками ионов 23S(J и 238(J на выходе
должно быть не меньше / = 5 мм. Найти индукцию
В магнитного поля, удовле-
творяющего этому условию,
а также время /, необходи-
мое для полного разделения
М = 1 кг природного ура-
^ |-**-) на, если ионный ток, созда-
рнс. 3.48 ваемый источником, равен
/ = 5 мА.
3.144. Один из предложенных путей получения вы-
соких температур, необходимых для осуществления
термоядерных реакций, использует так называемую
магнитную термоизоляцию. Уход быстрых частиц из
зоны высокой температуры предотвращается магнит-
ным полем. Оценить ток / в столбе газового разряда
радиусом г = 3 см, необходимый для того, чтобы элек-
троны, обладающие средней скоростью хаотического
движения, соответствующей температуре Г=106 К,
не могли удаляться от поверхности столба на расстоя-
ние, большее чем / = 3-10~3 см.
3.145. Частица массой т с зарядом е движется по
равновесной круговой орбите радиусом г0 в горизон-
тальной плоскости зазора
магнита (рис. 3.49), в кото-
ром магнитное поле спада-
ет по радиусу по закону
B{) A/ A)
Центр орбиты совпадает с
осью симметрии zz. Опре-
делить частоту оJ верти-
кальных колебаний части-
цы на такой равновесной
орбите в случае малых отклонений от горизонтальной
ПЛОСКОСТИ.
3.146. В условиях задачи 3.145 определить частоту
сор радиальных колебаний частицы в случае малых от-
клонений от равновесной орбиты.
3.147. Электрический диполь движется в однород-
ном магнитном поле с индукцией В со скоростью v,
перпендикулярной В. Электрический момент диполя
рэ составляет малый угол ср с направлением [иВ\
(рис. 3.50). Найти круговую частоту со малых ко-
88
лебаний диполя, считая известным его момент инер-
ции &.
3.148. Из ускорителя выводится пучок протонов
с энергией W = A МэВ, который затем проходит в ва-
кууме расстояние I = 4 м, преж- .v
де чем попасть на мишень. Вслед- э
ствие кулоновского взаимодей-
ствия частиц размеры пучка уве-
личиваются. Оценить максималь-
ную плотность тока /max в пучке, ® ® ®
если допускается увеличение ра- % @ @
диуса пучка на 6 = 10 % по
сравнению с исходным. Считать Рис 350
распределение частиц в пучке
аксиально симметричным, их начальными попереч-
ными скоростями пренебречь.
3.149. В ускорителе прямого действия протоны
движутся в практически однородном электрическом
поле внутри вакуумной трубки. Посторонние магнит-
ные поля искривляют их траекторию, в результате
чего они могут попасть на стенку, не дойдя до конца
трубки. Допустимое отклонение протонов от соевой
линии в конце трубки равно Ъ = 1 см. Оценить допу-
стимый уровень индукции В однородного внешнего
магнитного поля в таком ускорителе, если длина труб-
ки 1 = 2 м, а протоны ускоряются до энергии W =
= 4 МэВ. Начальной скоростью протонов прене-
бречь.
3.150. Какое число неподвижных однозарядных по-
ложительных ионов п.\ нужно поместить в единице
объема пространства, занимаемого параллельным од-
нородным пучком электронов кругового сечения, дви-
жущихся со скоростью v, чтобы радиус пучка при его
движении не изменялся? Концен-
трация электронов в пучке равна
пе- Столкновениями электронов с
ионами пренебречь.
3.151. Длинная незаряженная
пластинка из немагнитного ме-
талла движется равномерно в од-
нородном магнитном поле В = 1800 Гс со скоростью
v = 6,28 см/с. Направления В и v взаимно перпенди-
кулярны и лежат в плоскости пластинки (рис. 3.51).
Определить поверхностную плотность а электриче-
ских зарядов на плоскостях пластинки, возникших
89
вследствие ее движения. Магнитным полем возникаю-
щих зарядов пренебречь.
3.152. В однородном магнитном поле перпендику-
лярно индукции В расположен замкнутый круглый
виток радиусом г, индуктивность которого L, а омиче-
ское сопротивление R. Начиная с момента t = 0 поле
начинает убывать по линейному закону со скоростью
dB/dt = а. Найти закон изменения потока магнит-
ной индукции Ф(/), пронизывающего контур витка.
3.153. Диэлектрическая жидкость проницаемостью
е протекает между пластинами плоского конденсатора
со скоростью у «С с. Перпендикулярно направлению
движения жидкости и параллельно пластинам кон-
денсатора, расстояние между которыми равно d, при-
ложено однородное постоянное магнитное поле с ин-
дукцией В. Определить напряжение U между пласти-
нами конденсатора и поверхностную плотность а за-
рядов диэлектрика.
3.154. В простейшей схеме магнитного гидродина-
мического генератора плоский конденсатор с пло-
щадью пластин S и расстоянием d между ними поме-
щен в поток проводящей жидкости
_ с удельной проводимостью А,, дви-
В%%%%-1> \]я жущейся с постоянной скоростью v
параллельно пластинам. Конденса-
тор находится в магнитном поле с
Рис 3 52 индукцией В, направленной перпен-
дикулярно скорости жидкости
(рис. 3.52). Найти мощность Р, которая выделится
во внешней цепи, имеющей сопротивление R.
3.155. Металлический шарик массой т с зарядом
е подвешен на нити длиной / и вращается вокруг
вертикальной оси (конический маятник). Угол между
нитью и вертикалью равен а. Шарик подвешен между
полюсами электромагнита. Что произойдет при вклю-
чении однородного магнитного поля с индукцией В?
На какую величину и за счет чего изменится кинети-
ческая энергия AU7,< шарика? Что произойдет при вы-
ключении поля?
3.156. Рассматривая движение электрона в атоме
с классической точки зрения, показать, что его меха-
нический (??) и магнитный (рм) моменты связаны
соотношением рм = {е12тсJ?.
3.157. Вспомнив теорию гироскопа и воспользовав-
шись результатом предыдущей задачи, показать, что
90
во внешнем поле с индукцией В атом прецессирует с
частотой 01 = (е/2тс)В.
3.158. Определить частоту ш поперечных колеба-
ний протонов, захваченных релятивистским электрон-
ным пучком, имеющим сечение nR2 = 3,14-10~6 м2 и
ток / = 103 А.
3.159. Плазменный шнур удерживается с помощью
магнитного поля, параллельного оси шнура, вслед-
ствие того, что поле не проникает внутрь плазмы. Оце-
нить индукцию В магнитного поля, необходимого для
удержания плазмы, если концентрация частиц плазмы
равна п = 1016 см~3, а ее температура Т = 108 К.
3.160. В замкнутой сверхпроводящей обмотке элек-
тромагнита возбужден ток /п. В стальном магкито-
проводе длиной / с магнитной проницаемостью \х
имеется небольшой зазор /0 такой, что рассеянием
магнитного поля в зазоре можно пренебречь. Как из-
менится ток в обмотке, если путем деформации сер-
дечника зазор уменьшить в два раза?
3.161. Во сколько раз изменится ток /0 в круговой
петле из сверхпроводника, если ее поместить внутрь
длинного сверхпроводящего соленоида, замкнутого
накоротко? Диаметры петли и соленоида ?
считать равными, а их оси параллельны-
ми. В отсутствие круговой петли ток в со-
леноиде был равен нулю. Индуктивность
петли равна L, соленоида Lc, число вит-
ков соленоида ЛЛ
3.162. Кольцо из сверхпроводника оде- ( ")
вают на длинный однородно намагничен-
ный стержень, индукция которого на полюсе,
в точке С, равна В (рис. 3.53). При этом
затрачивают работу А. Найти ток / в коль-
це, если площадь сечения магнита равна S.
3.163. Сверхпроводящий шар радиусом pliC 3.53
R помещен в однородное магнитное поле с
индукцией Во. Найти магнитное поле В вне шара и
распределение поверхностной плотности тока /F) на
шаре.
3.164. На сколько отличается от единицы магнит-
ная проницаемость ц идеального газа, состоящего из
большого числа сверхпроводящих шариков радиусом
г? Концентрация п шариков мала, так что иг3 <С 1.
3.165. Длинный короткозамкнутый соленоид сверх-
проводящего магнита выполнен из проволоки диаме-
91
тром с? = 0,2 мм, плотно намотанной в одни слой.
Диаметр соленоида D = 2 см. Известно, что сверхпро-
водимость разрушается во внешнем магнитном поле,
равном ВКр = 15 кГс. Найти максимальный ток /тах,
который можно возбудить в сверхпроводящей обмот-
ке, если прочность проволоки на разрыв равна FP =
= 10 Н.
3.166. Какую работу Л надо совершить для того,
чтобы круговую петлю из сверхпроводника вставить
внутрь длинного сверхпроводящего соленоида, замк-
нутого накоротко? Диаметры петли и соленоида счи-
тать равными, а их оси параллельными. В отсут-
ствие круговой петли ток в соленоиле был равен .нулю,
начальный ток в петле /0. Индуктивность петли равна
L, соленоида Lc, число витков соленоида N.
3.167. Длинная сверхпроводящая проволока поме-
щена в однородное магнитное поле с индукцией В,
перпендикулярное оси проволоки. Найти распределе-
ние поверхностной плотности тока /@) на про-
волоке.
3.168. Сверхпроводящий соленоид деформируют
так, что происходит адиабатическое сжатие магнит-
ного поля. Каким уравнением (аналогичным уравне-
нию адиабаты в теории газов) можно описать пове-
дение магнитного давления при изменении площади
сечения соленоида?
3.169. Определить силу натяжения проволоки F в
сверхпроводящем кольце радиусом п из цилиндриче-
ской проволоки радиусом г2 (г2<Сп), по которому
течет ток /. Индуктивность кольца в гауссовой си-
стеме равна Z. = 4я/-1 [ln(8ri/r2) 2].
3.170. В короткозамкнутыи длинный сверхпроводя-
щий соленоид с начальным внутренним полем (вдали
от концов) В и площадью сечения Si вставляют длин-
ный сверхпроводящий сердечник с площадью сечения
S'j. Найти (пренебрегая краевыми эффектами) маг-
нитное давление рмаг на боковую поверхность сердеч-
ника.
3.171. Вдоль оси полого цилиндра из сверхпровод-
ника с радиусами цилиндрических поверхностей г\ и
г2 расположен длинный проводник. Найти плотность
тока у на внутренней и наружной цилиндрических по-
верхностях сверхпроводящего образца, если по про-
воднику пропустить ток /, а также магнитное давле-
кие Рмаг на стенки цилиндра.
G2
3.172. Токи, текущие по поверхности сверхпрово-
дящего тела, приводят к тому, что магнитное поле
внутри сверхпроводника всегда равно нулю. Однако
если вокруг тела магнитное поле слишком велико, то
сверхпроводимость разрушается и металл переходит
в нормальное состояние. Для свинца при температуре
2 К критическое поле равно Blip = 750 Гс. Оценить
максимальный радиус шарика rmax, который можно
подвесить на «магнитной подушке» при этой темпе-
ратуре. Плотность свинца равна р=11,3 г/см3.
3.173. Тонкая тороидальная катушка, намотанная
на полый немагнитный каркас (рис. 3.54) радиусом гь
имеет N витков, по которым
протекает ток /. Найти ин-
дукцию So магнитного поля
в центре тора (точка 0).
Как изменится магнитное
поле в точке 0, если внутрь
катушки поместить неболь-
шой сверхпроводящий ша-
рик радиусом г0 -С г?
3.174. Длинный тонкий
соленоид радиусом г0 под-
ключен к батарее, и по не- Рис 3.54
му течет постоянный ток /о.
Сердечником в соленоиде служит сплошной цилиндр
из сверхпроводника. Радиус сердечника ri=0,5r0.
Сердечник быстро выдергивают из соленоида. Найти
ток / в обмотке непосредственно после удаления сер-
дечника.
3.175. Сверхпроводящий шарнк массой т и радиу-
сом г подлетает с некоторой скоростью к области, в
которой имеется постоянное магнитное поле с индук-
цией В. Найти максимальную скорость отах, при ко-
торой шарик отразится от поля.
3.176. Сверхпроводящий шарик массой т=10~3кг
и радиусом г = 0,02 м летит по направлению к соле-
ноиду вдоль его оси. Индукция магнитного поля соле-
ноида равна So ^ 0,1 Тл. Найти начальную скорость
vo шарика, при которой он может влететь в со-
леноид.
3.177. Небольшой сверхпроводящий шарик может
свободно перемещаться вдоль оси тонкого кольца ра-
диусом г, по которому течет ток. Найти расстояние /
между шариком и плоскостью кольца, при котором
93
сила, действующая на шарик, принимает максималь-
ное значение.
3.178. На расстоянии /=9 см над поверхностью
сверхпроводника «парит» в поле тяжести тонкий по-
стоянный магнит, длина которого мала по сравнению
с расстоянием /. Если магнит слегка вывести из рав-
новесия, то он совершает малые колебания в верти-
кальной плоскости. Найти период Т колебаний, при
которых отсутствует вращательное движение диполя.
3.179. Над сверхпроводящей плоскостью располо-
жен тонкий прямой проводник, по которому течет по-
стоянный ток. Полагая линейную плотность провод-
ника р/ = 2-10-3 кг/м, найти, на какой высоте h над
плоскостью будет свободно висеть проводник, по ко-
торому течет ток / = 20 А.
3.180. Два параллельных цилиндрических провода
из сверхпроводника находятся в однородном постоян-
ном магнитном поле с индукцией В, направленной
вдоль проводов. Найти магнитное давление рмаг на
боковую поверхность проводников, а также силу /,
действующую на единицу длины каждого провода.
§ 3.4. Электромагнитные поля
3.181. Обкладками плоского воздушного конденса-
тора являются два круглых диска, расположенных
на расстоянии d друг от друга. Внутри конденсатора
находится проволочная прямоугольная рамка, одна
сторона которой совпадает с осью
симметрии конденсатора. Сторо-
на рамки, параллельная пласти-
^ нам конденсатора, равна 2а, пер-
LI пендикулярная 26 (рис. 3.55).
' П К обкладкам конденсатора при-
I ложено переменное напряжение
Рис 3.55 U=UoCoS(xyt. Найти ток / в
рамке в предположении, что ее
активное сопротивление R велико по сравнению с ин-
дуктивным.
3.182. В длинном воздушном соленоиде с радиусом
намотки гд= 1 см, содержащем п = Ю витков/см, те-
чет ток, нарастающий с постоянной скоростью
dl/dt =100 А/с. Какова будет форма линий напря-
женности соответствующего ему вихревого электри-
ческого поля напряженностью ?? 1) Найти напряжен-
94
?r
Рис. 3.5G
Рис. 3.57
ность Е на расстоянии 2г0 от оси соленоида. 2) Как
изменится напряженность Е и смещение D, если со-
леноид погрузить в однородный немагнитный диэлек-
трик с проницаемостью е = 2?
3.183. Алюминиевое кольцо, сопротивление кото-
рого пренебрежимо мало, надето на сердечник элек-
тромагнита и лежит на подставке в верхней его части.
Магнитный поток, посылаемый сердеч-
ником через кольцо, нарастает от нуля
до конечного значения Ф = 10s Гс-см2.
Нарастание потока про-
исходит настолько быст-
ро, что за время нараста-
ния кольцо практически
не успевает сместиться.
Найти высоту h, на кото-
рую подскочит от под-
ставки кольцо (рнс. 3.56),
если его масса равна
т = 100 г, а индуктив-
ность L = 100 см.
3.184. Длинный сверхпроводящий соленоид радиу-
сом г =2 см укреплен в центре диска из изолятора,
который может свободно вращаться вокруг своей оси
(рис. 3.57). Соленоид замкнут накоротко, и в нем цир-
кулирует ток, создающий в центре соленоида индук-
цию В = 104 Гс. На диск вне соленоида нанесены за-
ряды, суммарная величина которых составляет а =
= 4-10~6 Кл. Соленоид разогревается, и ток в нем
прекращается. Найти механи-
ческий момент количества
движения 3?, который полу-
чает в результате этого вся
система.
3.185. Плоский воздушный
конденсатор помещен парал-
лельно круглым горизонталь-
ным наконечникам электро-
магнита. Между обкладками
конденсатора в однородном электрическом поле на-
пряженностью Е на расстоянии г от оси полюсных
наконечников неподвижно висит масляная капля с
зарядом q (рис. 3.58). В обмотке был включен ток
и магнитное поле доведено до постоянного значения В.
Предполагая, что за время нарастания магнитного
95
поля смещение капли пренебрежимо мало, найти ско-
рость v капли и траекторию ее движения после вклю-
чения магнитного поля.
3.186. Конденсатор, состоящий из двух одинаковых
дисков радиусом а, расположенных на расстоянии d
друг от друга, заполнен диэлектриком с проницае-
мостью е и заряжен до напряжения U. Затем конден-
сатор начинает разряжаться через внешнее сопротив-
ление R. Пренебрегая краевыми эффектами, найти
вектор Пойнтинга S(r, t) в конденсаторе как функцию
расстояния от оси и времени. Найти полную элек-
тромагнитную энергию W, вытекающую через бо-
ковую поверхность конденсатора за все время раз-
ряда.
3.187. Постоянный ток / течет по цепи, состоящей
кз резистора сопротивлением R, длинной катушки ра-
диусом rи соосного с катушкой пря-
мого провода радиусом г\
(рис. 3.59), Пренебрегая
сопротивлением катушки и
Рис. 3.59 провода, найти аксиальную
(S2) и азимутальную (Sсоставляющие вектора Пойнтинга внутри катушки
вдали от ее торцов. Найти полную электромагнитную
энергию W через сечение катушки.
3.188. Медный цилиндр радиусом г = \ см и высо-
той h = 10 см помещен в переменное однородное маг-
нитное поле с индукцией В = BQcos(at, параллельное
оси цилиндра. Амплитуда поля равна Во = 100 Гс, ча-
стота / = 50 Гц. Определить среднюю тепловую мощ-
ность Р, выделяющуюся в цилиндре из-за токов Фуко.
Удельная проводимость меди равна Х = 5,14Х
X Ю17 с-1.
3.189. В плоский конденсатор, состоящий из двух
круглых дисков площадью S, помещена квадратная
проволочная рамка со стороной а и сопротивлением
R (ее индуктивное сопротивление можно считать ма-
лым). Одна из сторон рамки совпадает с осью
конденсатора, а две другие направлены по ра-
диусу диска. Конденсатор заряжается от источника
постоянной э. д.с. до заряда q, причем постоянная
времени равна т. Найти количество теплоты Q (джо-
улево тепло), выделяющееся в рамке при зарядке кон-
денсатора.
06
3.190. Длинный соленоид (длина /, радиус г, число
витков N) подключается к источнику постоянной
э. д. с. $ через резистор сопротивлением R (сопротив-
лением соленоида можно пренебречь). Найти электро-
магнитную энергию W, втекающую в соленоид за
время установления тока, и сравнить ее с магнитной
энергией соленоида LP/2.
3.191. Заряженный плоский воздушный конденса-
тор с напряженностью электрического поля между
пластинами ? = 282 В/см помещен внутри соленоида,
поперечное сечение которого имеет форму прямоуголь-
ника со сторонами, параллельными и перпендикуляр-
ными пластинам конденсатора. В цепи обмотки соле-
ноида имеется батарея постоянного тока и ключ. Вся
система (вместе с батареей) помещена на горизон-
тальных рельсах, параллельных пластинам конденса-
тора, и может перемещаться по ним без трения. Вна-
чале цепь соленоида разомкнута. Затем ключ замы-
кается и в соленоиде создается постоянное магнитное
поле с индукцией В = 2000 Гс. Найти изменение ме-
ханического импульса Ар системы после замыкания
ключа. Объем воздушного пространства между пла-
стинами конденсатора равен V = 200 см3.
3.192. Провода системы Лехера находятся в ем-
костной связи с генератором синусоидальных колеба-
ний, который поддерживает между концами А и В пе-
ременное напряженке Uocosmt, где Uo и (о постоян-
ные. Концы С и D закорочены (рис. 3.60). Длина
лехеровой системы АС =
= BD = I. Найти рас- г-
пределение напряжения ~ц casu>t
U(x,t) между проводами °
как функцию координа-
ты л: и времени t, пред-
полагая, что колебания
установились, а активное сопротивление всех проводов
равно нулю. Исследовать амплитуду А установив-
шихся колебаний напряжения в пучностях в зависи-
мости от длины / лехеровой системы.
3.193. Мощный СВЧ-генератор через волновод пи-
тает нагрузку, посылая в волновод мощность Pq =
= 100 кВт. Часть этой мощности поглощается в на-
грузке (Рн = 75 кВт), а часть отражается. В резуль-
тате в волноводе возникает суперпозиция прямой и
отраженной волн, распространяющихся навстречу
4 Сборник задач по физике 97
друг другу. Найти коэффициент К стоячей волны з
волноводе, т. е. отношение максимальной напряжен-
ности поля (в пучности) к минимальной (в узле).
3.194. Мощный СВЧ-генератор через волновод пи-
тает передающую антенну. Генератор посылает в вол-
новод мощность Ро = 100 кВт, которая частично
излучается антенной в окружающее пространство, а
частично отражается и поглощается в специальных
нагрузках обратной волны. Б результате в волноводе
возникает суперпозиция прямой и отраженной волн,
распространяющихся навстречу друг другу. НаЙТИ
мощность Р„зл, излучаемую антенной, если известно,
что коэффициент стоячей волны, т. е. отношение мак-
симальной напряженности поля (в пучности) к ми-
нимальной (в узле), равен К = 2.
3.195. Отрезок коаксиального кабеля длиной / =
= 14 м подключен ко входу усилителя с очень высо-
ким входным сопротивлением. Другой конец кабеля
замкнут накоротко. Межпроводное пространство ка-
беля заполнено диэлектриком (е = 2), характери-
зующимся малой удельной проводимостью X =
= Ю Ом-1-м-1 да 0,9-104 ед. СГС. Найти доброт-
ность Q контура, эквивалентного отрезку данного ка-
беля, и минимальную резонансную частоту Vmim счи-
тая, что потери связаны только с проводимостью ди-
электрика.
3.196. Торцы отрезка волновода сечением а~ХЬ =
= 10 X 22 мм и длиной /= 100 мм запаяны, и волно-
вод заполнен диэлектрической средой (е = 2), обла-
дающей слабой удельной проводимостью А, =
= 10~7 Ом~!-м-! «900 ед. СГС. Найти добротность
Q полученного СВЧ-резонатора для минимальной ре-
зонансной частоты Vmin, считая, что потери энергии
вызваны только проводимостью диэлектрика.
§ 3.5. Квазистационарные токи. Колебания
в электрических цепях
3.197. 1< заряженному до напряжения U конденса-
тору емкостью С] подключается незаряженный кон-
денсатор емкостью С2; сопротивление цепи равно R.
Найти зависимость тока в цепи от времени /(/). Ин-
дуктивностью цепи пренебречь.
3.198. Конденсатор емкостью С несет заряд q. При
параллельном соединении этого конденсатора с неза-
ряженным конденсатором той же емкости часть энер-
08
гии выделяется в соединительных проводах в виде
теплоты. Найти количество теплоты Q. выделенной в
проводах, прямым расчетом, не прибегая к закону
сохранения энергии. Индуктивностью проводов пре-
небречь.
3.199. В цепи, содержащей батарею с э. д. с. &, ре-
зистор сопротивлением R и конденсатор, из послед-
него быстро извлекают пластину с диэлектрической
проницаемостью е, которая заполняла весь объем кон-
денсатора (рис. 3.61). При этом емкость конденсатора
скачкообразно меняется до
значения С. Найти зависи-
мость тока в цепи от вре- J-s C-L- «-L»_^-
мени /(/). I * Т
3.200. Конденсатор емко- I \i 1
стью С заряжается от бата- рис 36i
реи с э. д. с. (? через нели-
нейное сопротивление, ток в котором связан с напря-
жением соотношением / = р?/3/2 (р постоянная ве-
личина). Найтн зависимость тока в цепи от времени
I(t), если батарея включена при / = 0.
3.201. Сверхпроводящие катушки с самоиндукция-
ми L\ и ?2 соединены параллельно и включены через
сопротивление R в цепь батареи с э. д. с. Ж и внутрен-
ним сопротивлением г (рис. 3.62). Найти токи в
1
т
Г
7
Рис.
СГ.1 1
е.г
.1
'1
3.62
,/
1
1
Рис.
CU 1
R
К
3.63
катушках h и h и ток в общей цепи /. Взаимной ин-
дуктивностью катушек пренебречь.
3.202. При размыкании ключа /< в электрической
цепи, изображенной на рис. 3.63, возник дуговой раз-
ряд. Вольт-амперная характеристика дугового разря-
да имеет вид U = а-\- b/l, где а и Ъ известные
постоянные величины. Определить ток / в цепи.
3.203. Длинный соленоид, длина которого равна /,
а площадь витков S, замыкается в некоторый мо-
мент времени последовательно с сопротивлением R
на источник постоянного напряжения с э. д. с. &".
В средней части соленоида находится небольшое
4* 09
короткозамкнутое кольцо, плоскость которого перпен»
дикулярна оси соленоида. Площадь кольца равна Si,
сопротивление R\. Определить максимальное ради-
альное давление (/р)тах на кольцо, т. е. радиальную
силу, действующую на единицу длины кольца. Само-
индукцией кольца пренебречь.
3.204. Тороидальная катушка с радиусом тора г
и радиусом витка л (п <С г) замыкается в некоторый
момент последовательно с сопротивлением R на
источник постоянного тока с э. д. с. 8. Внутри ка-
тушки находится небольшое короткозамкнутое коль-
цо, площадь которого равна Si, а сопротивление R\.
Плоскость кольца совпадает с плоскостью одного из
витков тора. Определить количество теплоты Q (джоу-
лево тепло), выделившееся в кольце за все время
установления тока в цепи тора. Самоиндукцией коль-
ца пренебречь.
3.205. Два соленоида имеют одинаковые геометри-
ческие размеры, но один из них изготовлен из про-
вода вдвое большей площади поперечного сечения и
вдвое меньшей длины, чем другой. Материал проводов
обоих соленоидов одинаков. В обмотке какого из со-
леноидов будет выделяться большее количество теп-
лоты, если магнитные поля в них одинаковы? У какого
из соленоидов меньше время установления магнит-
ного поля?
3.206. В схеме, изображенной на рис. 3.64, в не-
который момент времени замыкают ключ К и конден-
сатор емкостью С, имеющий первоначальный заряд
т
Рис. 3.64 Рис. 3.65
q0, начинает разряжаться через катушку индуктив-
ностью L. Когда ток заряда достигает максимального
значения, ключ К вновь размыкают. Найти заряд q,
который протечет через резистор сопротивлением R.
Сопротивление диода D в прямом направлении много
меньше R, в обратном бесконечно велико.
3.207. В схеме, изображенной на рис. 3.65, ключ К
размыкают и в контуре возникают колебания. Какой
100
Рис. 3.66
должна быть емкость С конденсатора, чтобы напря-
жение на емкости не более чем в п = 100 раз превос-
ходило напряжение батареи?
3.208. После размыкания ключа в схеме, изобра-
женной на рис. 3.66, в контуре возникают медленно
затухающие колебания, макси-
мальная амплитуда напряже-
ния которых в п=100 раз пре-
восходит напряжение батареи.
Найти собственную частоту
©о колебаний контура, если
уменьшение амплитуды коле-
баний в е раз происходит за
время t = 0,1 с.
3.209. С помощью осцилло-
графа наблюдают свободные
затухающие колебания в колебательном контуре.
Найти соотношение между числом колебаний Ni
и Л^2, совершаемых за время, в течение которого
амплитуда затухает в е раз, если в два раза умень-
шить индуктивность контура и в два раза увеличить
его емкость, сохранив неизменным активное сопро-
тивление.
3.210. Колебательный контур помещен в постоян-
ное магнитное поле, создающее в катушке магнитный
поток Фо. В момент времени t = 0 магнитное поле
выключается. Время выключения пренебрежимо мало
по сравнению с периодом собственных колебаний кон-
тура. Найти зависимость тока в контуре от времени
I(t) после выключения поля.
3.211. Конденсатор емкостью С = 0,1 мкФ, заря-
женный до напряжения <§ = 1 кВ, в момент времени
t = 0 замыкается иа катуш-
ку индуктивностью L =
= 100 мГн и сопротивление,
равное критическому для
образовавшегося контура
(рис. 3.67). Определить вре-
мя t, за которое ток достиг-
нет максимального значе-
ния, И НаЙТИ ЭТОТ ТОК /max-
3.212. Цепь, состоящая из последовательно соеди-
ненных резистора сопротивлением R и катушки боль-
шой индуктивностью L, присоединена к источнику
постоянного тока, поддерживающего на зажимах
-Ф-8 ±с
Рис, 3.67
101
постоянное напряжение Uo (рис. 3.68). Для ограниче-
ния перенапряжений во время отключения источника
параллельно с цепью включен конденсатор емко-
стью С. Определить напряжение иа конденсаторе U(t)
после отключения источника.
Параметры удовлетворяют
условию L/C > /?2/4.
3.213. В колебательном кон-
туре с малым затуханием од-
новременно увеличивают ем-
Рнс. 3.68 кость конденсатора и самоин-
дукцию катушки в одно и то
же число раз, равное п. Увеличение производится
и произвольный момент за время, малое по срав-
нению с периодом собственных колебаний контура.
Найти соотношение между амплитудами тока Л и /2
до и после изменения параметров контура.
3.214. Генератор с малым внутренним сопротивле-
нием посылает в контур с известными параметрами
L и С прямоугольный импульс
напряжения (рис. 3.69). Прене-
брегая затуханием, найти, при
какой длительности Т после пре-
кращения импульса: 1) колеба-
ния в контуре отсутствуют, 2) ам-
плитуда колебаний напряжения
на емкости максимальна. Чему
равна максимальная амплитуда
колебаний напряжения?
3.2M. Кольцо из тонкой про-
волоки, имеющее активное со-
противление R = Ю-3 Ом, массу т=1 г и радиус
г = 1 см, подвешено на упругой нити и совер-
шает малые крутильные колебания с частотой / =
= 1 Гц относительно вертикального диаметра. Если
поместить кольцо в магнитное поле, параллельное
плоскости кольца в положении равновесия, то возни-
кает сильное затухание колебаний. Оценить магнит-
ную индукцию В поля, при которой движение кру-
тильного маятника происходит в критическом режиме
(т. е. колебательный режим переходит в апериодиче-
ский). Самоиндукцией кольца и затуханием в отсут-
ствие магнитного поля пренебречь.
3.216. Резонансный контур L, С, R раскачивается
периодически следующими импульсами такими, что
102
каждый отдельный импульс создает на конденсаторе
дополнительное напряжение U. Промежутки времени
между последовательными импульсами в целое число
п раз больше периода собственных колебаний. Опре-
делить амплитуду Uo установившихся колебаний. Счи-
тать декремент затухания контура малым.
3.217. При пропускании кратковременного импуль-
са тока через баллистический гальванометр его рам-
ка отклоняется на угол ср0. Спустя половину периода,
когда рамка гальванометра вернется в исходное по-
ложение, через гальванометр пропускается такой же
импульс тока, но в противоположном направлении,
и т. д. Таким образом, всякий раз, когда рамка галь-
ванометра проходит через положение равновесия, она
испытывает одинаковые толчки в направлении своего
движения. Найти максимальный угол отклонения
рамки при установившихся колебаниях. Период (за-
тухающих) колебаний гальванометра ряоен Т, коэф-
фициент затухания у.
3.218. В вольтметре для измерения постоянного на-
пряжения ток поступает в катушку, которая может
вращаться во внешнем постоян-
ном магнитном поле. Определить
показания такого вольтметра,
если его включить через идеаль-
ный диод в розетку переменного
тока с напряжением 220 В (рис.
3.70).
3.219. В вольтметрах для из- Рис 3.70
мерення постоянного или пере-
менного напряжения используется принцип взаимо-
действия двух катушек, из которых одна подвижная.
Катушки соединены последовательно, так что через
них проходит один и тот же ток. Какую величину
измеряет такой вольтметр? Вольтметр такого типа
для переменного тока включен через идеальный диод
в розетку с напряжением 220 В (рис. 3.70). Какое на-
пряжение покажет вольтметр?
3.220. Дан черный ящик с двумя внешними клем-
мами. Внутри него собрана схема из катушки индук-
тивностью L с малыми омическими потерями, конден-
сатора емкостью С и резистора сопротивлением R.
Известно, что если подать на клеммы постоянное на-
пряжение 1 В, то ток будет равен 10 мА. При пере-
менном напряжении 1 В на частоте 50 Гц ток равен
103
1 мА. С ростом частоты ток падает и достигает
минимума на частоте 500 Гц, а затем постепенно воз-
растает до предельного значения 10 мА, Нарисовать
схему черного ящика и определить ее параметры.
3.221. Дан черный ящик с двумя внешними клем-
мами. Внутри него собрана схема из катушки индук-
тивностью L с малыми омическими потерями, кон-
денсатора емкостью С и резистора сопротивлением R.
Известно, что если подать на клеммы постоянное на-
пряжение 1 В, то ток будет равен 1 мА. При перемен-
ном напряжении 1 В на частоте 50 Гц ток равен
10 мА. С ростом частоты ток растет и достигает мак-
симума на частоте 500 Гц. Нарисовать схему черного
ящика и определить ее параметры.
3.222. В цепь переменного тока с напряжением
& = 440 В и частотой / = 50 Гц включены последова-
тельно нормально горящая лампочка накаливания и
конденсатор. Определить емкость С конденеатора,
если лампочка рассчитана на напряжение U = 220 В
и ток / = 1 А. Найти сдвиг фаз <р между током и
напряжением в цепи.
3.223. Удельное сопротивление некоторой жидкости
равно р = 10" Ом-см. При переходе от постоянного
тока к 50-периодному (при том же эффективном на-
пряжении) ток, текущий через конденсатор, заполнен-
ный этой жидкостью, возрастает вп = 7 раз. Опреде-
лить диэлектрическую проницаемость е этой жидкости.
3.224. Длинный однослойный реостат из нихромо-
вой проволоки с удельным сопротивлением р =
= 1,Ы0* Ом-м намотан ви-
ток к витку с плотностью п =
= 10 витков/см на керамиче-
ский стержень диаметром D=
= 5 см и включен в цепь пере-
менного тока с частотой /=
= 50 Гц. Найти сдвиг фаз qp
между током и напряжением
на реостате. Толщиной изоля-
ции проволоки пренебречь.
3.225. В схеме, представленной на рис. 3.71,
емкость С конденсатора подобрана таким образом,
что при замыкании ключа К ток, показываемый ам-
перметром, не изменяется. Определить индуктивность
L катушки, если известно, что / = 0,5 А, 0 = 380 В,
/ = 50 Гц.
104
3.226. Вблизи катушки колебательного контура с
параметрами Lu С и R расположена вторая катушка
индуктивностью Li. Коэффициент взаимной индукции
между катушками равен М. Найти резонансную ча-
стоту ©рез контура, если выводы второй катушки
замкнуть накоротко. Считать, что индуктивное сопро-
тивление второй катушки на частоте колебаний кон-
тура значительно больше ее активного сопротивления.
3.227. Две одинаковые катушки, намотанные на
общий каркас, соединены последовательно и включе-
ны в колебательный контур с емкостью С двумя спо-
собами, изображенными на рис. 3.72. Резонансные
Рис 3.72
частоты контуров оказались равными аи и а>2. Найти
индуктивность L каждой из катушек и коэффициент
их взаимной индукции М.
3.228. Две одинаковые катушки, намотанные на
общий каркас, соединены параллельно и включены в
колебательный контур с емкостью С двумя способами,
изображенными на рис. 3.73. Резонансные частоты
Рис. 3.73
контуров оказались равными оц и ш2. Найти индуктив-
ность L каждой из катушек и коэффициент их взаим-
ной индукции М.
3.229. Входной контур радиоприемника имеет до-
бротность Q = 100 и настроен на частоту fQ = 1 МГц.
Во сколько раз напряжение частоты f0 на конденса-
торе больше напряжения частоты fr = 2fo (мешающая
станция) при условии, что амплитуды сигналов, воз-
буждаемых в контуре, одинаковы?
105
Рис. 3.74
3.230. При снятии резонансной кривой колебатель-
ного контура (рис. 3.74) с малым затуханием найдено,
что напряжение на конденсаторе максимально при
частоте fo = l,6 кГц; при частотах f жение равно f/o ^= 1 В. Чему
равно выходное напряжение
Ui при частоте /i = 16 кГц?
3.231. При снятии резонанс-
ной кривой колебательного
контура, изображенного на
рис. 3.74, найдено, что макси-
мальный ток /о = 0,1 А дости-
гается при частоте генератора /0=1,6 кГц, ток при
частоте f\ = 16 кГц равен 1\ = 10~4 А. Входное на-
пряжение в обоих случаях равно V = 1 В. Найти по
этим данным приближенные значения параметров
контура R, L, С.
3.232. При измерении добротности резонансного
контура из параллельно включенных катушки индук-
тивностью L = 0,l Гн и сопротивлением г = 30 Ом и
конденсатора емкостью С = 3-103 пФ поступили сле-
дующим образом. Контур подключили к клеммам
осциллографа и, включая и выключая э. д. с. постоян-
ного тока, наблюдали затухающие колебания в кон-
туре (рис. 3.75). Сравнить добротность Q контура при
разомкнутой цепи батареи в случаях, когда входное
сопротивление осциллографа равно # = 100 кОм и
когда оно очень велико.
Y
1
1
c. 3.75
Рис. 3.76
3.233. Индуктивный датчик является радиотехни-
ческим устройством для регистрации небольших изме-
нений индуктивности. Обычно такой датчик представ-
ляет собой электрический колебательный контур с
изменяющейся индуктивностью (рис. 3.76). Найти ми-
нимально измеряемое относительное изменение индук-
тивности AL/L, если контур настроен в резонанс.
100
Напряжение источника питания равно (/=100 В, ми-
нимально измеряемое изменение напряжения на со-
противлении д?/=Ю мкВ, добротность контура Q =
3.234. Емкостный датчик одно из наиболее чув-
ствительных радиотехнических устройств, применяе-
мых для регистрации малых
механических смещений. Обыч-
но емкостный датчик представ-
ляет собой электрический коле-
бательный контур с воздушным
конденсатором, одна из пла-
стин которого подвижна (рис.
3.77). Найти минимально изме-
ряемое перемещение \d пла-
стины конденсатора, если кон-
тур настроен в резонанс. Напряжение источника пи-
тания равно U = 100 В, минимально измеряемое из-
менение напряжения на сопротивление AU = 10 мкВ,
добротность контура Q = 102 и зазор между пласти-
нами d = 1 мм.
3.235. При каком условии амплитуда тока в цепи,
изображенной на рис. 3.78, зависит только от ампли-
туды приложенного напряжения U = Uocosayt, но не
от его частоты? Найти при этом условии разность
фаз ф между приложенным напряжением и напряже-
нием на концах ЯС-цепочки.
Рис. 3.77
cos cut
I
Рнс. 3.78
Рис. 3.79
3.236. На рис. 3.79 изображена электрическая схе-
ма, в которой /? = 6 Ом, L = 0,01 Гн. Круговая ча-
стота равна ш = 300 с-1. Определить, при какой
емкости С конденсатора ток находится в фазе с на-
пряжением.
107
3.237. С помощью схемы, изображенной на
рис. 3.80, требуется получить сдвиг фаз на угол л/2
между напряжением на входе U = i/ocoscoi и напря-
жением на выходе U\. Какому условию при этом
должны удовлетворять параметры схемы R п С, если
частота входного напряжения равна (о?
Рис. 3.80
Рис 3.81
3.238. При каком соотношении между параметрами
схемы, изображенной на рис. 3.81, напряжение на вы-
ходе ?/[ находится в фазе с напряжением на входе
U=Uocosat? Какова при этом амплитуда напряже-
ния Uoi на выходе?
3.239. В схеме, изображенной на рис. 3.82, наблю-
дается сдвиг фаз на угол л/2 между входным напря-
жением U = f/ocos at и выходным напряжением U\.
При каком соотношении между параметрами схемы
это возможно? Какова при этом амплитуда напряже-
ния i/oi на выходе?
Рис 3.82
C U
Рис. 3.83
3.240. Параметры J? и С схемы, изображенной на
рис. 3.83, заданы. При какой частоте со выходное на-
пряжение U\ будет находиться в фазе с входным
напряжением W? Каким при этом будет отношение
амплитуд напряжений U\ и {У?
108
3.241. На вход фильтра подано напряжение U =
= U0cos(ot, где со=1/(/?С) (рис. 3.84). Определить
амплитуду напряжения на выходе Uoi-
±
и;
Рис. 3.84
3.242. При каком соотношении между параметрами
моста, изображенного на рис. 3.85, напряжение ?Л
на его выходе находится в фазе с входным напряже-
нием U = Uo cos cop Определить при этом амплитуду
напряжения на выходе Uo\.
Рис. 3.85
Рис. 3.86
U(t)
3.243. Мост переменного тока, изображенный на
рис. 3.86, сбалансирован. Определить соотношение
между постоянными времени плеч ab и cd. Является
ли найденное соотноше-
ние достаточным усло-
вием баланса моста?
3.244. Найти условия,
при которых мост пере-
менного тока, изображен-
ный на рис. 3.87, будет
сбалансирован (т.е. U\ =
= 0) при подаче на его
вход периодического на-
пряжения U(t) любой
формы.
3.245. Два электрических колебательных контура с
известными параметрами связаны индуктивной связью.
В одном из контуров действует синусоидальная
Рис. 3.87
109
з. д. с. с круговой частотой со. Определить сдвиг фаз q>
между токами в контурах,
3.246. Найти условие, при котором в схеме рис. 3.88
ток, протекающий через некоторую нагрузку Z, не бу-
дет зависеть от этой нагрузки.
т т т
Рис. 3.
Рис 389
3.247. Найти входной импеданс Z бесконечной
цепи, показанной на рис. 3.89. При каких частотах со
цепь не будет потреблять мощность от источника?
3.248. В одной из схем радиочастотного лампового
генератора наличие электронной лампы с нелинейно»
характеристикой и цепи обратной связи эквивалентно
включению в колебательный контур двухполюсника,
комплексное сопротивление Z которого зависит от
амплитуды тока /о и на частоте со равно Z = а//0 +
+ ibiya, где а и b известные константы (рис. 3.90).
При каких условиях возникнут автоколебания в такой
схеме? Каковы частота со и амплитуда А установив-
шихся колебаний тока?
Рис. 3.90
Рис. 3.91
3.249. В схеме, изображенной на рис. 3.91, дей-
ствует переменное напряжение U = Uq cos2 co^. Опре-
делить токи / и /,, если известно, что параметры цепи
удовлетворяют соотношению со2 = 1/DLC).
3.250. Найти спектры следующих колебаний:
') /@ = ^ cos2coo^ (квадратичное преобразование мо-
нохроматического сигнала); 2) f(t)=A(l-\-tncosQt)y,
Xcoscoof (Q 3) f(t) = A cos [aot+ m cos Qt] (Q < co0> m < 1) (фа-
зовая модуляция).
ПО
3.251. В приемниках радиоизлучения обычно осу-
ществляется квадратичное преобразование принимае-
мого сигнала с последующим усреднением за некото-
рое время Д*, подчиняющееся условию 2л/со0 < Д? <С
<< 2я/Й, где шо радиочастота, Q частота модуля-
ции (шо>Й). Что зарегистрирует такой приемник в
следующих случаях: 1) на вход подано амплитудно-
модулированное колебание (задача 3.250, п. 2); 2) на
вход подано колебание, модулированное по фазе (за-
дача 3.250, п. 3); 3) на вход подано колебание, моду-
лированное по фазе с отфильтрованной частотой ш0
(т. е. без несущей); 4) на вход подано колебание, мо-
дулированное по фазе, в кото-
ром фаза спектральной ком-
поненты частоты шо изменена
на л/2 (т. е. фаза несущей из-
менена на л/2)?
3.252. Колебательный кон-
тур (рис. 3.92) возбуждается
синусоидальным напряжением
U =ш= ий cos at, частота которо-
го со отличается от собственной частоты шо, причем
расстройка Дш = шо ш больше ширины резонансной
кривой (|Дш|>б). Можно ли «раскачать» колебания
в контуре периодическим замыканием и размыканием
Ht)
R
К
U
Рис. 3.92
А
А* ,
1 1
i i
S
A-
t J
Рис.
T\~~
\i
}9Я
T
A
i
T
'TV
n
\
1 V
t
-п--ГУ~ТГ'
д д л
/1/1/1
t
6
ключа /С? При какой частоте переключений Q ампли-«
туда колебаний в контуре будет максимальной?
3.253. Найти спектр следующих сигналов: 1) пе-
риодическая последовательность прямоугольных
111
импульсов (рис. 3.93я); 2) прямоугольный импульс
(рис. 3.93 6); 3) прямоугольный цуг (рис. 3.93в).
3.254. Найти спектральный состав выходного на-
пряжения U\ (т. е. амплитуды и фазы спектральных
компонент) в схеме, изображенной на рис. 3.94, если
обе емкости одновременно изменяются по закону
1/С = A + m cos Ш)/Со. Считать, что т ^ 1, со > й
и co#Co> 1.
Рис. 3.94
Рис. 3.95
3.255. Найти спектральный состав выходного на-
пряжения \]\ (т. е. амплитуды и фазы спектральных
компонент) в схеме, изображенной на рис. 3.95, если
обе индуктивности одновременно изменяются по за-
кону L = Lq(\-\-тcosШ). Считать, что т^ 1, ш^^
и (oLo < R.
3.256. На /?С-цепочку (рис. 3.96) подается синусои-
дальное напряжение U = (Jo cos at. Параметры це-
почки подобраны так, что сдвиг фаз между U\
и U составляет 60°. Определить спектральный состав
и
\R
г
и
I
I
If,
Рис. 3.96
Рис. 3.97
выходного напряжения и фазовые сдвиги между спек-
тральными компонентами для случая, когда расстоя-
ние между пластинами конденсатора (конденсатор
плоский) изменяется по закону d = do(l + а соэШ),
причем й<о и й< 1.
3.257. На #С-цепочку (рис. 3.97) подается сину-
соидальное напряжение U = Uo cos at. Параметры це-
112
почки подобраны так, что сдвиг фаз между U{ и U
составляет 45°. Определить спектральный состав вы-
ходного напряжения и фазовые сдвиги между спек-
тральными компонентами для случая, когда расстоя-
ние между пластинами конденсатора (конденсатор
плоский) изменяется по закону d = do(l + а соэШ),
причем Q <С со, а <С 1.
3.258. Высокодобротный колебательный контур на-
ходится под действием внешнего амплитудно-модули-
рованного сигнала, изменяющегося по закону U(t) =
= А A + т cos2 Ш) cos at. Резонансная частота кон-
тура может перестраиваться при помощи изменения
емкости. Считая коэффициент затухания контура у
заданным, определить амплитуду вынужденных коле-
баний в следующих случаях: 1) контур настроен на
несущую частоту со; 2) контур настроен на частоту
@ + 2Q.
3.259. Амплитудно-модулированное колебание
U(t) = A (I + tncosUt)cos(at подается на вход высо-
кодобротного колебательного контура. При перестрой-
ке несущей частоты ш наблюдается несколько резо-
нансов. Указать резонансные частоты. Определить
глубину модуляции т, если известно, что ампли-
туда вынужденных колебаний в контуре уменьши-
лась в п = 4 раза при перестройке частоты со от
значения ш0 до coo + Q (coo собственная частота
колебаний).
3.260. Тороидальная катушка радиусом г, имею-
щая /V витков, равномерно намотана на ферритовый
сердечник площадью
сечения S (рис. 3.98).
Из-за насыщения диф-
ференциальная маг-
нитная проницаемость
материала сердечника
зависит от напряжен-
ности магнитного поля
но закону n=dB/dH=
#2 Катушка
охвачена проводником, '
замкнутым на конден-
сатор емкостью С. Определить спектральный состав
тока, протекающего через конденсатор, если в катуш-
ке протекает переменный ток I = losinait. Гистерези-
сом в магнетике пренебречь.
из
3.261. В схеме, изображенной на рис. 3.99, анод-
ный ток /а при малых колебаниях в контуре линейно
зависит от напряжения на сетке Uc по закону /а =
= S?/C-Mo> где S и /0 постоянные величины. Ка-
тушка колебательного контура индуктивностью L и
катушка связи индуктив-
ностью Z-св намотаны на
общий магнитный сердеч-
ник. Считая величины L,
Lcb, С я S заданными,
определить, при каком
максимальном активном
сопротивлении /?тах кон-
тура возможно возбужде-
ние автоколебаний. 1<ако-
Рис. 3.99 ва будет эффективная
добротность Q контура,
если выбрать R = 2/?тах? Провести числовой расчет
для L = 4 Ю-4 Гн, LCB = 4 Ю-6 Гн, С = Ю-8 Ф, S =
= 2-Ю-3 А/В.
3.262. Индуктивность колебательного контура пе-
риодически изменяется во времени по закону, указан-
ному на рис. 3.100. Определить, при какой емкости С
to
3ia
¦to}.
Рис. 3.100
колебательного контура возможен параметрический
резонанс. При каком максимальном активном сопро-
тивлении Ятах контура произойдет возбуждение па-
раметрических колебаний? Провести числовой расчет
для L0 = 4-10-4 Гн, Д? = 4-10-5 Гн, То=Ю-6 с.
3.263. С помощью высокочувствительной измери-
тельной схемы, которая проводит усреднение за время
тя1 с, регистрируются малые изменения Д/ по-
стоянного тока, текущего через вакуумный диод
114
(рис. 3.101)', вызванные, например, изменением напря-
жения батареи. Оценить минимальное регистрируемое
на фоне дробового шума диода значение A/mm, если
средний ток диода / да
« Ю-3 А.
3.264. Сигнал от радио-
передатчика, принятый на
расстоянии U = 1 км, равен
по мощности уровню соб-
ственных шумов приемника.
Считая, что шумы обус-
ловлены только тепловыми
флуктуациями во входном
контуре радиоприемника, определить, с какого рас-
стояния li можно было бы вести прием с тем же со-
отношением уровней сигнала и шума, если охладить
входные цепи радиоприемника до температуры жид-
кого гелия 72 = 4 К.
ЦчИ
Рис. 3.101
IV. ОПТИКА
§ 4.1. Геометрическая оптика
и элементы фотометрии
4.1. На плоскопараллельную стеклянную пластин-
ку под углом ф падает узкий пучок света шириной
а (рис. 4.1), содержащий две спектральные компо-
ненты. Показатели преломления стекла для этих длин
волн различны: щ и щ. Определить минимальную
^min
Рис. 4.1
Рис. 4.2
толщину Am in пластинки, при которой свет, пройдя
через пластинку, будет распространяться в виде двух
отдельных пучков, каждый из которых содержит
только одну спектральную компоненту.
4.2. Для обращения изображения часто исполь-
зуют так называемую призму Дове (рис. 4.2), пред-
115
ставляющую собой усеченную прямоугольную равно-
бедренную призму. Определить длину / основания
призмы, если ее высота равна й = 2,11 см, а показа-
тель преломления стекла п=1,41. Призма должна
оборачивать пучок света максимального сечения.
4.3. Перед торцом стеклянного цилиндрического
световода, показатель преломления которого равен п,
на его оси расположен точечный источник света.
Найти угловую апертуру а пучка света, проходящего
через световод.
4.4. В оптической системе, предназначенной для
задержки во времени короткого светового импульса,
используется многократное отражение света от двух
вогнутых сферических зер-<
кал 3\ (радиус кривизны
ri=10 м) и 3i (радиускри«
визны гч = 1 м), располо-
женных на расстоянии L=»
= 5,5 м друг от друга
(рис. 4.3). В центре зерка-
ла 3! имеется отверстие
рис 4з диаметром d = 2 мм. На
это зеркало на высоте h =*
= 15 см от оси системы падает короткий световой
импульс в виде тонкого луча, параллельного оси. Оце-
нить, через какой промежуток времени At этот луч
выйдет через отверстие.
4.5. При фотографировании на пленке из-за конеч-
ной разрешающей способности получаются резко изо-
браженными не только те предметы, на которые сфо-
кусирован объектив фотоаппарата, но также и пред-
меты, находящиеся несколько ближе и несколько
дальше этого расстояния. Оказалось, что при наведе-
нии объектива фотоаппарата на предмет, находя-
щийся на расстоянии Lo=lO м, ближняя граница
глубины резкости расположена на расстоянии L\ =
= 7,8 м. Определить дальнюю границу L2.
4.6. Человек с нормальным зрением рассматривает
удаленный предмет с помощью зрительной трубы Га-
лилея. В качестве объектива и окуляра используются
линзы с фокусными расстояниями F, = 40 см и F2 =»
= 2 см. При каких расстояниях L между объекти-
вом и окуляром наблюдатель увидит четкое изображе-
ние предмета, если глаз может аккомодироваться от
10 см до бесконечности?
lie
4.7. Спектрограф имеет объектив коллиматора диа-
метром D с фокусным расстоянием F\ и объектив ка-
меры того же диаметра с фокусным расстоянием F2.
Источник с яркостью В резко отображается на вход-
ную щель спектрографа при помощи конденсора один
раз с увеличением (расстояние от конденсора до щели
равно L), другой раз с уменьшением. Каков должен
быть диаметр конденсора DK, чтобы в обоих его по-
ложениях освещенность на фотопластинке была оди-
наковой? Чему равна освещенность Е в этом случае,
если пренебречь потерями на отражение и погло-
щение?
4.8. Тепловой фотоприемник (рис. 4.4) представ-
ляет собой полую камеру с площадью внутренней по-
верхности S = 2 см2, имею-
щую небольшое отверстие пло-
щадью Si = 1 мм2. Внутрен-
няя поверхность камеры незна-
чительную часть света погло-
щает (коэффициент поглоще-
ния ?„ = 0,01), а остальную
часть рассеивает. В этих уело- Рис. 4.4
виях внутри полости создается
равномерно распределенное по всем направлениям
излучение. Какая часть светового потока Ф/Фо
(где Фо световой поток, попадающий на входное
отверстие камеры) выходит через отверстие об-
ратно?
4.9. Линза с относительным отверстием 1 : 3,5 со-
бирает солнечный свет на поверхности черного ша-
рика, помещенного в вакууме. До какой температуры
Т может нагреться шарик, диаметр которого равен
диаметру изображения Солнца, если Солнце видно
с Земли под углом ас = 0,01 рад и солнечная постоян-
ная Ес известна?
§ 4.2. Интерференция
4.10. Спутник Земли, поднимаясь над горизонтом,
излучает радиоволны длиной Х = 10 см. Микроволно-
вый детектор расположен на берегу озера на высоте
h = 1 м над уровнем воды. Рассматривая поверхность
виды как идеальный проводник, определить, при ка-
ком угле а спутника над горизонтом детектор за-
регистрирует 1-й и 2-й максимумы интенсивности
117
сигнала. Рассмотреть случаи горизонтальной и вер-
тикальной поляризации.
4.11. Радиоизлучение космического источника дли-
ны волны X, имеющего угловой размер \J5, принимается
горизонтальным вибратором, служащим антенной. Ви-
братор расположен на отвесном берегу на высоте h
над уровнем моря. Рассматривая поверхность воды
как плоское зеркало, определить, как будет меняться
интенсивность принимаемого сигнала в зависимости
от угла а возвышения источника над горизонтом. При
каких значениях углового размера источника интен-
сивность принимаемого сигнала не будет зависеть от
а? Для простоты расчет провести для малых значе-
ний а и iji.
4.12. Радиоизлучение от точечного космического
источника, находящегося в плоскости экватора, при-
нимается с помощью двух одинаковых антенн, распо-
ложенных по направлению восток-запад на расстоя-
нии L =200 м друг от друга. На входной контур при-
емника подается сумма сигналов, приходящих от
обеих антенн по кабелям одинаковой длины. Как
меняется в результате вращения Земли амплиту-
да напряжения Uo на входном контуре приемника,
если принимаемая длина волны будет равна
i=U?
4.13. Тонкая симметричная двояковыпуклая линза
сложена с тонкой симметричной двояковогнутой лин-
зой так, что в некоторой точке они соприкасаются.
Показатель преломления обеих линз равен п = 1,6.
Наблюдается интерференцион-
ная картина в отраженном
свете на длине волны X =
= 0,6 мкм. Определить фокус-
ное расстояние У7системы линз,
если радиус 5-го светлого
кольца равен г = 2 мм.
4.14. Интерференционная
Рис 4.5 картина (кольца Ньютона) на-
блюдается в проходящем све-
те (рис. 4.5). Показатель преломления линзы и пла-
стинки равен я =1,5. Найти отношение интенсивно-
стей ^max/^min света в максимуме и минимуме ин-
терференционной картины. Можно ли увидеть кар-
тину глазом, если контрастная чувствительность гла«
за равна 0,05?
118
Рис. 4.6
4.15. Источник света S расположен на расстоянии
?.1=1 м от тонкой слюдяной пластинки толщиной
Л *= 0,1 мм с показателем преломления п = 1,4
(рис. 4.6). На таком же расстоянии от пластинки
расположен небольшой эк-
ран Э, ориентированный
перпендикулярно отражен-
ным лучам, на котором на-
блюдаются интерференци-
онные полосы. Угол i = 60°.
Найти порядок т интерфе-
ренционной полосы в цен-
тре экрана и ширину А/ ин-
терференционных полос. Оценить допустимый раз-
мер b и допустимую немонохроматичность АХ источ-
ника. Используется зеленый свет с длиной волны
X = 560 нм.
4.16. С помощью зрительной трубы, установленной
на бесконечность, наблюдают интерференционные по-
лосы в тонкой плоскопараллельной стеклянной пла-
стинке толщиной ft = 0,2 мм с показателем прелом-
ления и = 1,41; при этом угол наблюдения i может
изменяться от 0 до 90° (рис. 4.7). Найти максималь-
ный и минимальный порядок интерференционных по-
лос. Оценить допустимую немонохроматичность АХ
источника, при которой будут достаточно четко
наблюдаться все интерференционные полосы. Каков
допустимый размер источника света в этом интерфе-
ренционном эксперименте? Используется зеленый свет
с длиной волны Х = 560 нм.

ы-
Рис. 4.7
Рис. 4.8
4.17. От двух когерентных источников света Si и S2
получена система интерференционных полос на экране
Э, удаленном от источников на расстояние L = 2 м
(рис. 4.8). Во сколько раз изменится ширина интер-
ференционных полос, если между источниками и эк-
раном поместить собирающую линзу с фокусным
119
расстоянием F = 40 см так, чтобы источники 5i и 5г
оказались в фокальной плоскости линзы?
4.18. Интерференция света от двух малых отвер-
стий в непрозрачном экране наблюдается в точке Р
(рис. 4.9). Позади отверстий на пути лучей постав-
лены две одинаковые кюветы, наполненные воздухом
Рис. 4.9
при одинаковом начальном давлении. При изменении
давления в одной из кювет изменение интенсивности
света в точке Р имеет осциллирующий характер.
Определить разность давлений Ар газа в кюветах,
при которой амплитуда осцилляции становится рав-
ной нулю, если 1-й минимум интенсивности наступает
при разности давлений
Др, = Ю~3 мм рт. ст.
Спектр излучения точеч-
ного источника S равно-
мерен в полосе Дсо и име-
ет относительную шири-
ну Дсо/со = Ю-5.
4.19. Оценить неточ-
ность, которую можно до-
пускать в установке уг-
лов наклона зеркал в ин-
терферометре Майкельсо-
рис 4.Ю На (Рис- 4'10) для того'
чтобы можно было на-
блюдать полосы равного наклона. Ширина зеркал
D = 5 см, длина волны света Х = 0,55 мкм.
4.20. Рассчитать, какую ширину Ъ может иметь
источник света в интерферометре Майкельсона, если
зеркала интерферометра расположены на неодинако-
вых расстояниях от делительной пластинки и разность
этих расстояний равна L = 2 см. Фокусное расстоя-
ние коллиматора равно F = 25 см. Немонохроматич-
120
ностью источника пренебречь, длина волны света
Х = 0,5 мкм. Наблюдаются линии равной толщины.
4.21. В интерферометре Рэлея плоская волна испы-
тывает дифракцию на двух щелях. Дифракционная
картина наблюдается в фокальной плоскости линзы с
фокусным расстоянием F = 100 см (рис. 4.11). Одну
из щелей закрывают пло-
скопараллельной пла- _^_ I
стинкой диспергирующе* *¦ '
го вещества толщиной
h = 0,01 мм с законом
дисперсии п(К)=А ВК, *~^1
где А и В некоторые "~Т||1Л
постоянные. При этом бе- - >г 1<
лая (ахроматическая) по- Рис. 4.11
лоса смещается на рас-
стояние 1 = 4 мм. Определить постоянную А, если
известно, что расстояние между щелями равноd=\ см.
4.22. Найти относительное смещение &1/I интер-
ференционных полос, полученных с помощью пла-
стинки Луммера Герке, при изменении температуры
на 1СС? Толщина пластинки равна h 2 см, пока-
затель преломления п = 1,5, температурный коэффи-
циент линейного расширения стекла а = 8,5-10-6 К~',
длина волны света Х = 500 нм. Зависимостью пока-
зателя преломления от температуры пренебречь.
4.23. Интерферометр Фабрн Перо состоит нз
двух плоских зеркал с коэффициентом отражения (по
интенсивности) р = 99%, расположенных на расстоя-
нии L = 10 см друг от друга. На интерферометр, ис-
пользуемый в качестве оптического резонатора, падает
плоская монохроматическая волна. Оценить ширину
Д/ резонансной кривой (в мегагерцах) и определить
частотный интервал Av между двумя соседними ре-
зонансами.
4.24. Свет от протяженного монохроматического
источника 5 падает на непрозрачный экран Э, в ко-
тором имеются два маленьких отверстия. Интерферен-
ция света, прошедшего через отверстия, наблюдается
в точке Р (рис. 4.12). Источник света S и точка Р на-
ходятся на одинаковом расстоянии L от экрана. При
увеличении расстояния d между отверстиями измене-
ние интенсивности в точке Р имеет осциллирующий
характер. Определить линейный размер Ь источника
света, если 1-й минимум интенсивности в точке Р
121
наблюдается при d = d\ = \ см, а амплитуда осцилля-
ции становится равной нулю при d = d2 = 20 см
(условие d <С L выполняется всегда).
Рис. 4.12
4.25. Два пучка белого света, полученные от од-
ного точечного источника, сходятся на входной щели
оптического спектрального прибора. Разность хода
равна Д = 300 м. Оценить разрешающую способность
R спектрального прибора, который может обнаружить
интерференцию этих пучков.
4.26. Два пучка белого света от одного источника
приходят в точку наблюдения Р (рис. 4.13 я) с раз-
Рис. 4 13
ностью хода Д. С помощью спектроскопа высокой раз-
решающей способности исследуется распределение
энергии в спектре колебания, возникающего в точке Р
при наложении обоих пучков. Оказалось, что наблю-
даются чередующиеся максимумы и минимумы спек-
тральной интенсивности 3 {v), причем частотный ин-
тервал между соседними максимумами Av = 10 МГц
(рис. 4.136). Определить разность хода Д.
122
4.27. Интерференционная картина, полученная при
интерференции двух пучков одинаковой интенсивности
при апертуре интерференции Q = 10~3 рад, изобра-
жена на рис. 4.14. Оценить немонохроматичность
источника ДА, и его линейный размер Ь. Средняя дли-
на волны равна А, = 500 им.
4.28. В двухлучевой интерференционной схеме с
равными интенсивностями интерферирующих лучей
используется источник белого света, размер которого
й = 0,025 см. Интерференционная картина, наблюдае-
мая через светофильтр, изображена на рис. 4.15. Оце-
Э,услсд.
нить полосу пропускания фильтра ДА, и апертуру ин-
терференции Q. Средняя длина волны равна А,=
= 500 нм.
4.29. Найти видность Т интерференционной кар-
тины в опыте Юнга при использовании протяженного
источника света; Размер источника света Ь, расстоя-
ние от источника до экрана со щелями /., расстояние
между щелями d. Средняя длина волны равна X
= 500 нм.
4.30. Три плоские монохроматические волны с
амплитудами 1, а и а (а < 1) падают на плоскость
0----
if
Рис. 4.16
Рис. 4.17
г = 0 под углами 0, а и а (рис. 4.16) так, что в
точке х = 0 колебания оказываются синфазными. При
смещении плоскости наблюдения в область г > 0 про-
исходят периодические изменения контраста интер-
123
ференционной картины. Объяснить явление. Найти
положения плоскости наблюдения, в которых кон-
траст картины максимальный и минимальный. Чему
он равен?
4.31. Определить видность Т интерференционной
картины от двух точечных источников, спектр излуче-
ния которых одинаков и изображен на рис. 4.17. Как
зависит видность Т от ширины спектра Л/?
§ 4.3. Дифракция. Элементы голографии
и фурье-оптики
4.32. Вдали от точечного источника S стоит беско-
нечный идеально отряжающий экран. Из экрана уда-
лен диск диаметром dx = 2r, У2/3~, где г, радиус 1-й
зоны Френеля, и поставлен другой диаметром d2
= d}/y2. Найти интенсивность & отраженной волны
в точке S, если диск диаметром d2 стоит в плоскости
экрана.
4.33. В плоскопараллельной стеклянной пластинке
с показателем преломления п, на которую нормально
падает плоская волна, вырезано круглое отверстие
размером в одну зону Френеля для некоторой точки Р,
лежащей на оси системы. Определить, при какой тол-
щине пластинки h интенсивность 2f колебаний в точ-
ке Р будет максимальной. Найти Утах, если в отсут-
ствие пластинки итенсив-
ность равна Эй. Длина
волны падающего света
равна X.
4.34. Между точечным
монохроматическим ис-
точником света и точкой
наблюдения перпендику-
лярно соединяющей их
линии помещен экран, со-
стоящий из секторов двух кругов (рис. 4.18). Радиус
одного из них равен радиусу 1-й зоны Френеля, дру-
гогорадиусу 2-й зоны Френеля. Определить интен-
сивность света в точке наблюдения, если в отсутствие
экрана она равна Уо.
4.35. Круглое отверстие радиусом г в непрозрач-
ном экране содержит для точки наблюдения три зоны
Френеля. К отверстию без нарушения осевой сим-
метрии вплотную прижимают тонкую собирающую
124
Рис. 4.18
линзу. Найти фокусное расстояние F, при котором
интенсивность света в точке наблюдения остается
прежней. Опыт проводится в монохроматическом свете
с длиной волны X.
4.36. Источник света и точка наблюдения располо-
жены на одинаковых расстояниях от круглого отвер-
стия в непрозрачном экране. Радиус отверстия равен
радиусу 1-й зоны Френеля. Интенсивность колебаний
в точке наблюдения равна 9ь. Найти интенсивность &
колебаний в точке наблюдения, если посередине
между источником и экраном расположить без нару-
шений осевой симметрии тонкую собирающую линзу,
такую, что источник при этом оказывается в ее фокусе.
4.37. Точечный источник света и точка наблюдения
Р расположены симметрично на расстоянии 2L на оси
круглого отверстия в непрозрачном экране. Отверстие
оставляет открытой одну зону Френеля для точки Р.
Во сколько раз изменится интенсивность света в
точке Р, если к отверстию без нарушения осевой сим-
метрии приложить тонкую линзу с фокусным расстоя-
нием F = L?
4.38. Точечный источник света с двумя монохрома-
тическими линиями Х|=560 нм и Х2 = 280 нм оди-
наковой интенсивности, расположен на расстоянии
L = 1 м от экрана. Перед экраном на расстоянии
а = 0,2 м расположен прозрачный диск диаметром
D = 0,6 мм, вносящий фазовую задержку в п для
обеих компонент, причем источник света, центры ди-
ска и экрана лежат на об- /,
щей оси. Как отличаются "*¦ =fe
интенсивности света в цен- *t
тре экрана при наличии и
отсутствии диска?
4.39. Зонная пластинка,
вырезанная из стекла с по-
казателем преломления п,
представляет собой тело
вращения, сечение которого Рис. 4.19
показано на рис. 4.19. Пла-
стинка помещена в непрозрачную оправу. Радиусы
равны Г[ = 2, г2 = 4 и г3 = 6 мм. Толокна ступе-
нек h одинакова. Определить максимальное фокусное
расстояние Fmax пластинки для света с длиной волны
к = 500 нм. Указать, при какой толщине h интенсив-
ность в фокусе будет наибольшей. Какой максимальный
125
выигрыш в интенсивности будет давать такая си-
стема?
4.40. Линза с фокусным расстоянием F = 50 см и
диаметром D = 5 см освещается параллельным моно-
хроматическим пучком света с длиной волны \ =
= 630 нм. Найти, во сколько раз интенсивность волны
2f в фокусе линзы превышает интенсивность волны
Уо, падающей на линзу. Оценить размер Ь пятна в
фокальной плоскости.
4.41. Зонная пластинка с радиусом 1-й зоны Фре-
неля п = 0,5 мм помещена перед отверстием в экране
диаметром D = 1 см. Пластинка освещается парал-
лельным монохроматическим пучком света с длиной
волны "к = 500 нм и интенсивностью Уо. Определить
интенсивность У волны в фокусе пластинки. Оценить
размер Ь пятна в фокальной плоскости.
4.42. На щель шириной а нормально падает пло-
ская волна с длиной волны X. Щель закрыта двумя
стеклянными пластинками шириной а/2 и толщиной
h с показателями преломления щ и и2 и коэффициен-
тами пропускания (по интенсивности) tt и %2. Найти
распределение интенсивности в дифракционной кар-
тине Фраунгофера. При каком условии в центре кар-
тины получится темная полоса?
4.43. Рассчитать и проанализировать дифракцион-
ную картину при нормальном падении света на пи-
лообразную решетку
(рис. 4.20), сделанную из
стекла с показателем пре-
ломления п. Число зубьев
решетки равно N, а Э- h.
Длина волны падающего
света равна К.
4.44. Параболическое
Рис 4.20 зеркало диаметром D =
= 1 м используется как
антенна для волн длиной А, = 3 см. Оценить наимень-
шее расстояние Lm\n, на котором следует поместить
приемник для снятия диаграммы направленности.
4.45. В непрозрачной пластинке имеется отверстие
диаметром d = 1 мм. Оно освещается монохромати-
ческим светом с длиной волны Л, ^ 500 нм от удален-
ного точечного источника. Найти расстояние /-max от
отверстия, на котором будет наблюдаться наибольшая
освещенность.
126
4.46. Дифракция Фраунгофера плоской волны на
щели наблюдается в фокальной плоскости линзы. Во
сколько раз изменится интенсивность в фокусе линзы,
если щель накрыть плоскопараллельной пластинкой,
амплитудный коэффициент пропускания которой
имеет вид т(х) = sin(jtx/a)? Ось х направлена пер-
пендикулярно щели, точки х = 0 и х = а коорди-
наты краев щели.
4.47. В интерферометре Майкельсона источником
света служит круглая диафрагма S диаметром d =
= 0,05 мм, которая освещается параллельным пучком
монохроматического све-
та С ДЛИНОЙ ВОЛНЫ Я= 4"'"»-
= 0,6 мкм. Длины плеч
интерферометра равны Д
АВ = 30, АС =10 см
(рис. 4.21). Интерферен- ~~^
ционная картина в виде
концентрических колец
наблюдается на экране Э,
помещенном в фокальной
плоскости линзы. Оце- Рис- 421
нить число т интерфе-
ренционных колец, наблюдаемых в пределах главного
дифракционного максимума источника.
4.48. Оценить, с какого расстояния L можно уви-
деть раздельно свет от двух фар автомобиля.
4.49. Найти спектр плоских волн F(u) за синусо-
идальной решеткой с амплитудным коэффициентом
пропускания т(х) = 1 + a cos Qx (aнормально падающей плоской волной.
4.50. Найти спектр плоских волн за щелью шири-
ной а, освещаемой нормально падающей плоской вол-
ной. Решить ту же задачу, если щель перекрыть ре-
шеткой с периодом d и размером прозрачных участков
Ь (a = Nd, где N число штрихов решетки).
4.51. Два плоских когерентных монохроматических
пучка света с длиной волны Л,^500 вы и с амплиту-
дами Ао и 2/40 падают под углами a = ±0,Q5 рад на
синусоидальную решетку с амплитудным коэффици-
ентом пропускания т(х)= 1 +(l/2)cosQ*. В точке
х = 0 эти волны создают противофазные колеба-
ния (рис. 4.22). Период решетки равен й= 10~3 см.
Определить пространственный спектр волны за ре*
шеткой.
127
4.52. Два плоских монохроматических когерентных
пучка света с длиной волны Л, ^ 600 нм и равными
амплитудами Ло падают под углом а = ±0,06 рад на
синусоидальную решетку с амплитудным коэффициен-
том пропускания г(х) = 1 + (l/2)sin их (см. рис.4.22).
В точке х = 0 эти волны
создают синфазные колеба-
ния. Период решетки равен
d=10~3 см. Определить
пространственный спектр
волн за решеткой.
4.53. Плоский монохро-
матический пучок света ин-
тенсивностью &§ и длины
волны % дифрагирует на
двух последовательно рас-
положенных синусоидаль-
ных решетках с амплитудным коэффициентом пропу-
скания %i{x) = т2(х) = A/2) A + cosQx) (рис. 4.23).
Определить, при каких расстояниях Дг между решет-
ками интенсивность дифракционных максимумов 1-го
порядка максимальна и минимальна. Найти эти зна-
чения.
а:
Рис. 4.22
A

i
i Z
Рис. 4.23
Рис. 4.24
4.54. Плоский монохроматический пучок света дли-
ны волны X дифрагирует на двух последовательно рас-
положенных синусоидальных решетках с амплитуд-
ным коэффициентом пропускания ti(x) = та(х) =
= A/2) A + cosQx). При смещении одной из решеток
вдоль оси г со скоростью v (рис. 4.24) интенсивность
нулевого дифракционного максимума периодически
изменяется. Определить частоту о этих изменений, а
также отношение максимальной и минимальной ин-
тенсивностей.
4.55. Один из методов наблюдения фазовых (про-
зрачных) объектов состоит в следующем: в общей
128
фокальной плоскости линз Л\ и устанавливается прозрачная пластинка Пл, вносящая
фазовую задержку в я/2 (рис. 4.25). Найти распре-
деление интенсивности Ь(х) в плоскости изображения
(в задней фокальной плоскости линзы Л2), если пред-
метфазовая синусоидальная решетка с амплитуд-
ным коэффициентом пропускания х(х) = exp(im cos Их),
Рис. 4 25
т<1 расположен в передней фокальной плоскости
линзы Л\. Как изменится картина интенсивности, если
использовать пластинку с задержкой в Зя/2? Как
изменится контраст, если пластинка обладает коэф-
фициентом поглощения ?„?
4.56. Один из методов наблюдения фазовых (про-
зрачных) объектов состоит в том, что плоскость
наблюдения Р смещается на некоторое расстояние /
i
-¦г-
. ^
X
1
1
2F
2F
Я
Рис. 4.26
относительно плоскости Ро, сопряженной с объектом
(т. е. плоскости, в которой в соответствии с геометри-
ческой оптикой располагается его изображение)
(рис. 4.26). При этом контрастность наблюдаемой кар-
тины периодически изменяется при изменении /. Найти
период d фазовой синусоидальной решетки, если в
схеме, представленной на рисунке, ее контрастное изо-
бражение в первый раз возникло при U = AL. При
5 Сборник задач по физике
129
каких других значениях I изображение будет кон-
трастным?
4.57. Оптическая система состоит из двух одинако-
вых линз с общей фокальной плоскостью; F фокус-
ное расстояние линз. Амплитудная синусоидальная
решетка находится в передней фокальной плоскости
1-й линзы, а изображение рассматривается в задней
фокальной плоскости 2-й линзы. Как зависит харак-
тер изображения от соотношения между частотой ре-
шетки Q и диаметром линзы D?
4.58. При наблюдении фазовых (прозрачных)
структур методом темного поля в общей фокальной
плоскости линз Лх и Л2 (рис. 4.27) на оптической оси
Рис. 4.27
устанавливается проволока /7. Фазовая решетка соз-
дается в жидкости стоячей ультразвуковой волной
частоты / = 20 МГц. Найти расстояние Д/ между ин-
терференционными полосами на экране Э, а также
максимально допустимое удаление Lmax экрана от
линзы Л2, при котором еще возможно наблюдение
интерференционной картины. Диаметр линзы Л2 ра-
вен D = 4 см, скорость звука в жидкости v = 1,5 км/с.
Решетка освещается нормально падающей плоской
волной (К = 0,5 мкм).
4.59. При наблюдении фазовых (прозрачных)
структур методом темного поля в общей фокальной
плоскости линз Л| и Л2 (см. рис. 4.27) на оптической
оси устанавливается проволока П. Оценить ее допу-
стимый диаметр (dmax и dm\n) для наблюдения на
экране Э интерференционной картины от фазовой си-
нусоидальной решетки с периодом Л = 2 мм, освещае-
мой нормально падаюшей плоской волной длины % =
= 0,5 мкм. Диаметр линзы Л2 равен D = 2 см, фокус-
ное расстояние F = 20 см.
130
4.60. При голографировании в лазерном излуче-
нии плоского предмета А опорный пучок света созда-
вался с помощью призмы Пр, находящейся в плоско-
сти предмета (рис. 4.28). Где расположены мнимое и
ур
А
.тс:;"
Рис. 4.28
действительное изображения предмета при просвечи-
вании голограммы Г? Излучение лазера считать пло-
ской монохроматической волной. Угол отклонения
луча призмой равен 6. Расстояние от предмета до го-
лограммы равно L.
4.61. Найти амплитудный коэффициент пропуска-
ния х(х) голограммы точечного источника света, если
в качестве опорной волны используется нормально
падающая на плоскость голограммы плоская волна.
Расстояние от источника до голограммы равно L. Счи-
тать, что прозрачность голограммы пропорциональна
интенсивности света при записи. Найти положение
действительного и мнимого изображений при восста-
новлении изображения нормально падающей плоской
волной. Как изменится положение восстановленных
изображений, если при записи использовать наклон-
ный опорный пучок с углом наклона 6? Оценить ми-
нимальный размер ат\„ голограммы, при котором пол-
ностью используется разрешающая способность фото-
эмульсии, равная п (линий на мм). Найти размер Ь
восстановленного изображения.
4.62. Голограмма записана на пластинке радиусом
г = 5 см. Она освещается монохроматическим светом
длины волны Я, = 0,5 мкм, а изображение получается
на расстоянии L = 1 м. Найти допустимую немоно-
хроматичность света АХ, при которой еще полностью
используется теоретическая разрешающая способность
голограммы.
4.63. Получена голограмма небольшого предмета,
расположенного па расстоянии L = 50 см от нее.
5* 131
Каким должен быть размер D фотопластинки, чтобы
записать на голограмме детали размером b ~0,01 мм?
Какая немонохроматичность света Д^ допустима при
записи голограммы? Длина волны света Я = 0,5 мкм.
§ 4.4. Дифракционный предел разрешения
оптических инструментов
и спектральных приборов
4.64. При аэрофотосъемке местности используется
объектив с фокусным расстоянием F = 10 см и диа-
метром й = 5 см. Съемка производится на фотоплен-
ку, имеющую разрешающую способность R =
= 100 мм-1. Определить, какие детали местности мо-
гут быть разрешены на фотографиях, если съемка
производилась с высоты Л. ^= 10 км.
4.65. Объектив телескопа имеет фокусное расстоя-
ние Fi = 3 м и диаметр D = 15 см. Определить фо-
кусное расстояние F2 окуляра, при котором полностью
используется разрешающая способность объектива,
если диаметр зрачка глаза d = 3 мм. Предполагая,
что в системе телескоп глаз отсутствуют аберрации,
оценить, на каком расстоянии L с помощью такого
телескопа можно читать книгу с размером букв
Ь х 2 мм.
4.66. Космонавты прибыли на Луну. Чтобы сооб-
щить об этом на Землю, они растягивают на поверх-
ности Луны черный круглый тент. Каким должен быть
радиус г этого тента, чтобы его можно было заметить
с Земли в телескоп с объективом D = 5 м? Контраст-
ная чувствительность приемника 0,01.
4.67. Блестящий металлический межпланетный ке-
рабль поперечного размера d =10 м опустился на
поверхность Луны в полнолуние. Оценить диаметр D
зеркала телескопа, в который можно с Земли увидеть
прибытие корабля, если контраст, надежно обнару-
живаемый глазом, принять равным k = 0,15! Считать
коэффициент отражения лунной поверхности равным
pi=0,l, а металла р2=1; наблюдение ведется в
свете с длиной волны X = 0,6 мкм.
4.68. Оценить длительность т светового импульса
от одной грани 8-гранного вращающегося зеркала,
расположенного на расстоянии L = 200 м от точечного
источника света S. Световой импульс регистрируется
фотоумножителем с малой шириной входной щели,
132
расположенным вблизи источника (рис. 4.29). Ширина
грани зеркала равна а = 1 см. Считать длину волны
света равной X = 500 нм. Зеркало вращается с часто-
той f=16 Гц.
4.69. Угловая апертура
электронного микроскопа
равна QM = 1CH, а оптиче-
ского Qom ~ 1- Оценить
напряжение U, ускоряющее
электроны, при котором
разрешающая способность
этих приборов будет оди- Рис. 4.29
иакова.
4.70. Луч лазера фокусируется идеальной оптиче-
ской системой с отношением F/D = l. Оценить мощ-
ность Р лазера, при которой в электрическом поле в
фокусе системы электроны смогут приобретать энер-
гию порядка энергии покоя шос2.
4.71. Ракета удаляется от Земли и перестает быть
видимой на фоне неба в телескоп с объективом диа-
метром D\ = 80 мм, когда она находится на расстоя-
нии L] = 2-104 км от Земли. На каком расстоянии
Li от Земли удается заметить эту ракету в телескоп
с объективом диаметром D2 = 200 мм при той же
контрастной чувствительности глаза?
4.72. Излучение лазера непрерывного действия на
длине волны К = 0,63 мкм мощностью Р= 10 мВт на-
правляется на спутник с помощью телескопа, объек-
тив которого имеет диаметр D = 30 см, Свет, отра-
женный спутником, улавливается другим таким же
телескопом и фокусируется на фотоприемник с поро-
говой чувствительностью PiioP = l0-14 Вт. Оценить
максимальное расстояние Lmax До спутника, на кото-
ром отраженный сигнал еще может быть обнаружен.
Поверхность спутника равномерно рассеивает падаю-
щий свет с коэффициентом отражения р = 0,9. Диа-
метр спутника d = 20 см.
4.73. Оценить расстояние L, с которого можно уви-
деть невооруженным глазом свет лазера, генерирую-
щего в непрерывном режиме мощность Р = 10 Вт на
частоте v = 4-1015 Гц, если для формирования луча
используется параболическое зеркало диаметром
D = 50 см. Глаз видит источник в зеленой части
спектра, если в зрачок (диаметр зрачка й = Ъ мм)
попадает я = 60 квантов в секунду.
133
4.74. Свет далекого точечного источника 5 падает
на фотоприемник непосредственно и отразившись от
горизонтальной плоскости (рис. 4.30). При вертикаль-
ном перемещении источника фотоприемник ФП реги-
стрирует изменение интенсивности падающего на него
света. Оценить максимальный угол а возвышения
/Z///7// /, V/// V////Y///77Ys '/////// Y////S
Рис 4.30
источника над горизонтом, при котором еще заметны
изменения фототока, если перед фотоприемником
установлен светофильтр СФ с полосой пропускания
А/ = 3-10п с~1. Входное отверстие фотоприемника
находится на высоте h = 1 см над отражающей пло-
скостью.
4.75. Параллельный пучок света падает на призму
с угловой дисперсией dy/dX = 103 см-|. Свет, про-
шедший через призму, нормально падает на дифрак-
ционную решетку с периодом d. Размер решетки пре-
вышает поперечное сечение пучка лучей, выходящих
из призмы. При каком значении d разрешающая спо-
собность системы в спектре 2-го порядка будет в два
раза больше разрешающей способности одной приз-
мы? Считать дифракционные углы малыми.
4.76. Определить разрешающую способность спек-
трометра инфракрасного диапазона, работающего по
следующему принципу. Излучение исследуемого ИК-
источника в диапазоне ^ик ~ 3 мкм смешивается в не-
линейном кристалле с излучением стабильного арго-
нового лазера. При этом возникает излучение на сум-
марной частоте, лежащей в оптическом диапазоне.
Последнее анализируется с помощью интерферометра
Фабри Перо, зеркала которого отстоят друг от
друга на расстояние L 1 см и имеют коэффициент
отражения р = 0,9.
4.77. Свет от газоразрядной трубки, диаметр кото-
рой D = 1cm, непосредственно падает на дифракцион-
ную решетку, расположенную на расстоянии L =
134
= 100 см. Оценить, какой будет в этих условиях мак-
симальная разрешающая способность /?max = V^-
4.78. Свет от газоразрядной трубки, диаметр кото-
рой D = 0,l см, непосредственно падает на дифрак-
ционную решетку, Оценить, на каком минимальном
расстоянии Lmin от трубки нужно расположить ре-
шетку, чтобы при этом можно было разрешить две
спектральные линии с расстоянием между ними S?v =
= 5 нм при ?v = 500 нм.
4.79. Свет от удаленного источника, угловой раз-
мер которого составляет г|э = ICh3 рад, непосредствен-
но падает на дифракционную решетку. Оценить, ка-
кую максимальную разрешающую способность Rm*x
можно получить в таких условиях.
4.80. Удаленный протяженный источник испускает
две узкие спектральные линии %[ = 500 нм и ^2 =
= 500,2 нм равной интенсивности. Свет от источника
непосредственно падает на дифракционную решетку.
Оценить угловой размер х[з источника, при котором
можно разрешить эти две линии.
4.81. Одним из условий стабильности дифракцион-
ной картины, полученной с помощью дифракционной
решетки, является постоянство температуры. Оценить
максимально допустимое изменение температуры ДГ
решетки, при котором еще практически полностью
используется ее разрешающая способность, если фото-
графирование спектров ведется в 1-м порядке. Темпе-
ратурный коэффициент линейного расширения мате-
риала решетки а=10~5 К~\ полное число штрихов
W=105.
4.82. Импульсное излучение лазера с длительно-
стью импульсов т = 10-'2 с проходит через спектро-
метр с дифракционной решеткой с максимальной
оптической разностью хода Д = 10 см. Найти измене-
ние ширины полосы излучения Дсо2/Дсо[.
4.83. Наблюдается дифракция параллельного пуч-
ка монохроматического излучения с частотой v =
= 1015 Гц, падающего нормально па дифракционную
решетку с числом штрихов yV = l,5-104. Во сколько
раз изменится угловая расходимость в 1-м порядке,
если падающее на решетку излучение промодулиро-
вать так, чтобы были сформированы короткие им-
пульсы длительностью т = 1СН2 с?
4.84. Электрон движется в вакууме со скоростью
v вблизи поверхности дифракционной решетки с
133
периодом d. Скорость электрона параллельна поверх-
ности решетки и перпендикулярна ее штрихам. Опре-
делить длины волн, которые могут излучаться под
углом 6 к нормали решетки из-за взаимодействия
электрона с решеткой (эффект Смита Парселла).
4.85. Дифракционная решетка с числом штрихов
W = 105 имеет заводской дефект: ее период на разных
участках не одинаков и изменяется в пределах 0,1 %.
Можно ли с помощью такой решетки обнаружить про-
стой эффект Зеемана в магнитном поле с индукцией
В = \ Тл на длине волны X = 600 нм? Найти мини-
мальное расстояние между линиями, которое может
разрешить такая решетка.
4.86. Для дифракционной решетки с числом штри-
хов N = 500 штрих/мм предел разрешения в спектре
1-го порядка равен 6?i = 0,l нм при средней длине
волны к = 600 нм. Изображение спектра получается
с помощью линзы на экране. Определить минималь-
ный допустимый диаметр Dmm линзы, при котором
изображение спектра может быть разрешено.
4.87. В интерферометре Фабри Перо с открытым
воздушным промежутком между зеркалами при тем-
пературе Ti = 293 К наблюдается одно из колец рав-
ного наклона, угловой размер которого ср[=0,01 рад.
При повышении температуры кольцо стягивается к
центру и исчезает. Найти температуру Т2, при которой
это произойдет, если для воздуха при Т\ = 293 К раз-
ность п 1=0,00029, где п показатель преломле-
ния. (Для воздуха разность п1 пропорциональна
его плотности.)
4.88. С помощью интерферометра Фабри Перо
исследуется выделенный системой фильтров участок
спектра шириной A?v = 0,2 нм. Минимальная разность
длин волн соседних спектральных линий 6?^0,001 нм.
Оценить максимальное значение коэффициента про-
пускания т=1р (где р коэффициент отраже-
ния зеркал), при котором разрешаются соседние
линии.
4.89. На резонатор Фабри Перо с расстоянием
между зеркалами (базой) L = 0,5 см и разрешающей
способностью R = 106 падает ультракороткий световой
импульс длительностью т= 10-" сие длиной волны
% = 500 нм, Определить зависимость от времени сиг-
нала, который зарегистрирует фотоприемник, установ-
ленный за резонатором Фабри Перо.
136
4.90. Для выделения одной моды из большого чис-
ла мод, генерируемых газовым лазером, предлагается
использовать модифицированный резонатор Фабри
Перо, одно из зеркал которого заменено наклон-
ной отражательной дифракционной решеткой DP
(рис. 4.31). Внутри резонатора располагается наряду
ч
DP
АС
п
L
Рис. 4
ТС
31
Jt
и
ч
ч
ч
с активной средой АС телескопическая система ТС,
предназначенная для расширения светового пучка, па-
дающего на решетку. Найти минимальный размер D,
до которого нужно расширить пучок, чтобы было
можно выделить одну моду. Длина резонатора равна
L = 15 см, длина волны генерации А, = 1,2 мкм, ре-
шетка имеет N=1600 штрих/мм. Используется ди-
фракция в 1-м порядке.
§ 4.5. Поляризация. Оптические явления
в кристаллах
4.91. Плоская поляризованная по кругу монохро-
матическая волна света длины К интенсивности «З^о
падает на диск, вырезанный из идеального поляроида,
показатель преломления которого равен п. Диск за-
крывает для некоторой точки Р одну зону Френеля.
Какова должна быть толщина d диска, чтобы интен-
сивность света в точке Р была максимальной? Найти
ЭТу ИНТеНСИВНОСТЬ .Утах.
4.92. Круглое отверстие в непрозрачном экране со-
держит для точки наблюдения Р одну зону Френеля.
Отверстие закрыто поляроидами так, что направления
колебаний в первой и второй половинах зон взаимно
перпендикулярны. Отверстие освещается светом, по-
ляризованным по кругу. Определить интенсивность
света & в точке Р, если в отсутствие экрана она
равна За. Как будет поляризован свет в точке
137
4.103. Расположив пластинку, вырезанную из ис-
ландского шпата, параллельно его оптической оси,
между скрещенными николямн, можно осуществить
монохроматор, позволяющий, например, задержать
одну из линий дублета натрия и пропустить другую.
Найти, какой должна быть при этом минимальная
толщина dm\n пластинки и как ее нужно ориентиро-
вать. Показатели преломления исландского шпата для
линии Х\ = 589,0 мм раины пс\ = 1,48654 и по\ =
= 1,65840, для линии к2 = 589,6 им пе2 = 1,48652 и
4.104. Имеется горизонтальный параллельный пу-
чок эллиптически поляризованною света. Обнаруже-
но, что при прохождении пучка через пластинку в X/i
при определенной ее ориентации свет оказывается ли-
нейно поляризованным под углом а|=23° к верти-
кали. Если пластинку повернуть на угол 90°, то свет
снова оказывается линейно поляризованным под уг-
лом mi = 83° к вертикали. Найти отношение а/Ь по-
луосей эллипса поляризации и угол ф наклона боль-
шой оси.
4.105. Параллельный пучок естественного света
интенсивностью 3f0 и длины волны X падает на си-
стему из двух скрещенных поляроидон /7, и П2 и
клипа К из кварца с малым преломляющим углом а.
Показатели преломления кварца равны пе и по. Опти-
ческая ось клина па-
раллельна его ребру и
составляет угол 45° с
разрешенными направ-
лениями поляроидов
п э (рис. 4.35). Пройдя че-
2 рез систему, свет па-
Рис. 4.35 дает на белый экран Э.
Найти распределение
интенсивности света 3(х) на экране. Что увидит на-
блюдатель на экране Э, если между ним и полярои-
дом /72 расположить линзу так, чтобы экран оказался
в ее фокальной плоскости?
4.106. На систему, состоящую из чередующихся
N + 1 поляроидов и N пластинок кварца, вырезанных
параллельно оптической оси, падает плоская монохро-
матическая волна длины X (рис. 4.36). Главные на-
правления всех поляроидов параллельны и состав-
ляют угол 45° с оптической осью пластинок. Волна
140
вдоль прямой, перпендикулярно падает пучок парал-
лельных лучей, поляризованных по кругу (рис. 4.32).
Оси поляроидов взаимно перпендикулярны. Интенсив-
ность падающего света равна1 30. Определить интен-
сивность 3 света в точке Р, расположенной в плоско-
сти, перпендикулярной плоско- . . . ¦ , , ¦
стн экрана и проходящей че- 1111|1||
рез границу раздела между *
голяроидами. Как будет ноля- Ш
ризован свет в точке Р?
4.99. Плоская волна моно-
хроматического света длины X,
поляризованною по кругу, со-
здает в точке Р интенсивность
Уа. На пути волны ставят
большую пластинку из идеального поляроида, как по-
казано на рис. 4.33, Показатель преломления веще-
ства поляроида п. Найти толщину й пластинки, при
которой интенсивность света в точке Р будет макси-
мальной. Чему равна Jmax?
Р
Рис. 4.32
Рис, 4.33
Рис. 4.34
4.100. Плоская волна монохроматического света,
поляризованного по кругу, создает в точке Р интен-
сивность SfQ. На пути волны ставят две большие пла-
стинки в Х/4, как показано на рис. 4.34. Главные на-
правления пластинок ориентированы взаимно перпен-
дикулярно. Найти интенсивность Э в точке Р.
4.101. Один поляроид пропускает 30% света, если
на него падает естественный свет. После прохождения
света через два таких поляроида интенсивность па-
дает до 9% . Найти угол <р между осями поляроидов.
4.102. Определить, во сколько раз изменится ин-
тенсивность частично поляризованного света, рассма-
триваемого через николь, при повороте николя на 60°
по отношению к положению, соответствующему мак-
симальной интенсивности. Степень поляризации света
) ) 0
139
Интенсивность света равна «3Г' = ЗО Вт/см2. Какой вра-
щающий момент JI испытывает пластинка? Зависит
ли Ж от распределения интенсивности в пучке? Как
изменится вращающий момент, если черную пла-
стинку заменить на кристаллическую пластинку в
^./4? Какую надо взять кристаллическую пластинку,
чтобы вращающий момент Ж удвоился??
4.110. Эллиптически поляризованный параллель-
ный световой поток длины волны X = 600 нм и интен-
сивностью ,7 = 30 Вт/см2 падает перпендикулярно на
абсолютно черную пластинку. Площадь поперечного
сечения светового потока S = 10 см2. Отношение длин
главных полуосей эллипса поляризации в световом
пучке составляет а/Ь = 2. Найти вращающий момент
Ж, который испытывает пластинка при поглощении
света.
4.111. Поляризованный по правому кругу световой
поток длины волны А, ^ 500 нм, интенсивность кото-
рого составляет «3r' = I,4-I06 эрг/(с-см2) (такой ин-
тенсивностью обладает солнечное излучение на гра-
нице земной атмосферы), падает на двоякопрелом-
ляющую пластинку в Х/2. Как будет поляризован свет
после прохождения пластинки? Определить вращаю-
щий момент на единицу площади (Ж/S) такой пла-
стинки.
4.112. На кварцевую пластинку в Х/4 перпендику-
лярно падает пучок линейно поляризованного света с
длиной волны X = 628 нм и мощностью Р = 3 Вт.
При каких условиях пластинка будет испытывать вра-
щающий момент и каковы его значение и направ-
ление?
4.113. Некогерентная смесь естественного и линей-
но поляризованного света с длиной волны X = 500 нм
и интенсивностью t9r = l,4-I06 эрг/(с-см2) (такой ин-
тенсивностью обладает солнечное излучение на гра-
нице земной атмосферы) падает на двоякопрелом-
ляющую пластинку в Х/4. Определить вращающий
момент на единицу площади (Ж/S) такой пластинки,
если направление колебаний в линейно поляризован-
ном свете составляет угол 45° с главными направле-
ниями пластинки, Известно, что при анализе падаю-
щего излучения с помощью поляризатора найдено
i/ma«/i/ min = 3,
4.114. Две одинаковые плоские густые решетки из
параллельных тонких идеально проводящих проволок
U2
поляризована вдоль главного направления поляроида.
Толщины пластинок равны d, 2d, ..., 2N-ld. Показа-
тели преломления кварца равны па и пе. Определить
амплитуду волны А на выходе из системы, если на
ъходе она рапна Л0- Отражением света на границах
И П„
щ
1
1
I
I
' 2
1
1
d A
1
I
d
1
I
Рис. 4.36
пластинок и поляроидов пренебречь. Является лн
такая система спектральным прибором?
4.107. На периодическую структуру, состоящую из
тонких параллельных диэлектрических пластин, па-
дает плоская монохрома-
тическая волна (рис. 4.37).
Толщина пластин равна
do, расстояние между ни-
ми d, диэлектрическая
проницаемость пластин
8ь окружающей среды е.
Длина волны значитель-
но больше do и d. Пока- рис. 4 37
зать, что структура ана-
логична одноосному кристаллу, и определить показа*
тели преломления обыкновенного по и необыкновен*
ного пе лучей.
4.108. Предлагается следующая схема измерения
спина фотона. Пучок циркулярно поляризованного
света длины волны А, = 0,5 мкм падает на зачернен-
ный диск, подвешенный на тонкой нити так, что он
может совершать крутильные колебания относительно
оси. При этом измеряется установившийся угол пово-
рота диска массой т и радиусом л = 5 см. Найти пе-
риод собственных колебаний диска Т, если при мощ-
ности светового потока Р = 10 Вт угол поворота диска
составил а = 1'.
4.109. Абсолютно черная пластинка площадью
S = 10 см2 освещается монохроматическим светом
длины волны К = 600 нм, поляризованным по кругу.
141
полное число п свободных электронов на пути сигналов
(т. е. их число в цилиндре площадью 1 см2 и вы-
сотой, равной расстоянию источник приемник), если
испущенные одновременно сигналы запаздывают отно-
сительно друг друга на время At = 10~5 с. Концентра-
ция электронов хотя и не постоянна вдоль пути сиг-
налов, но показатель преломления везде весьма бли-
зок к единице. Определить также среднюю концентра-
цию N свободных электронов па пути сигналов, если
их относительное запаздывание At/to = !0~15 (/о
н;>емя распространения от источника до приемника).
4.119. Импульсное излучение пульсара СР 1919+21
на частоте vi =80 МГц достигает Земли на At = 7 с
позже, чем соответствующий импульс на частоте V2 =
= 2000 МГц. Оценить расстояние L до пульсара, если
принять среднюю концентрацию электронов в меж-
звездном пространстве равной Л/ « 0,05 см~3.
4.120. Измерение скорости ракеты при вертикаль-
ном взлете проводится импульсным радиолокатором,
расположенным в точке старта. На экране локатора
по оси времени фиксируются моменты посылки двух
последовательных радиоимпульсов и их приема после
отражения от ракеты. Поскольку скорость распростра-
нения радиоволн в ионосфере точно неизвестна, воз-
никает погрешность в определении скорости ракеты.
Найти относительную погрешность в определении ско-
рости (Av/v) ракеты, принимая максимальную кон-
центрацию электронов в ионосфере равной N =
= 10е см-3, а рабочую частоту радиолокатора v =
= 400 МГц.
4.121. С целью проверки теории относительности
предполагается с помощью радиоволн точно измерить
параметры орбиты спутника Земли. Однако из-за пре-
ломления радиоволн в ионосфере, где средняя концен-
трация электронов Л/=105 см13, возникают ошибки
измерений. Оценить минимальную частоту Vmm, на
которой следует проводить такие наблюдения.
4.122. Определить число свободных электронов на
атом Ag, если пленка серебра прозрачна для ультра-
фиолета, начиная с энергии W = 5 эВ. Для серебра
относительная атомная масса равна ^ = 108, плот-
ность р = 10,5 г/сма.
4.123. Параллельный пучок рентгеновского излу-
чения длины волны ?„ = 0,1 им падает на тонкую
144
расположены в параллельных плоскостях на расстоя-
нии / = 1,5 см одна от другой так, что образующие
их проволоки взаимно перпендикулярны. Плоскость
поляризации волны А, = 8,5 см, падающей на систему
решеток под углом а = 45°, наклонена на угол 8 = 45°
к плоскости падения. Определить характер поляриза-
ции отраженной волны для случая, когда плоскость
падения параллельна направлению проволок 1-й ре-
шетки.
§ 4.6. Дисперсия и распространение света
4.115. Лазер на СО2 со средней длиной волны Х =
= 10,6 мкм излучает две близкие частоты Vi и v2. Из-
лучение такого лазера смешивают в нелинейном кри-
сталле с излучением лазера на Nd (Я3 = 1,06 мкм).
Анализ излучения на комбинационных частотах
(vi+v3 и v2 + v3) показал, что соответствующие им
длины волн отличаются на 6А, = 0,5 нм. Опреде-
лить разность длин волн ДА, = kiк2 излучения ла-
зера.
4.116. Показатель преломления ионосферы для ра-
диоволн с частотой v= 10 МГц равен п = 0,90. Найти
концентрацию N электронов в ионосфере, а также
фазовую v и групповую и скорости для этих ра-
диоволн.
4.117. При изучении прохождения плоской электро-
магнитной волны частотой v = 8 МГц через плоские
однородные слои плазмы с концентрацией свободных
электронов А/ = Ю6 см~3 найдено, что энергетические
коэффициенты пропускания волн отличаются в 10 раз
для слоев плазмы, толщины которых отличаются в
два раза. Пренебрегая интенсивностью волн, отражен-
ных от задней границы каждого слоя, найти их тол-
щины d\ и йъ
4.118. Для оценки интегральных и средних харак-
теристик межзвездной плазмы можно использовать
экспериментальный факт, установленный сразу же
после открытия пульсаров. Оказалось, что из-за дис-
персии плазмы импульсы радиоизлучения пульсаров
на более низких частотах всегда запаздывают по от-
ношению к импульсам более высоких частот. Рас-
смотрите следующий идеализированный пример. Два
монохроматических сигнала с длинами волн "кх = 3 см
и Х2 = 5 см распространяются в плазме. Определить
143
которой в 1-м дифракционном порядке можно обнару-
жить смещение частоты в свете, рассеянном под пря-
мым углом. Скорость звука в воде равна у1400 м/с,
показатель преломления п = 1,3. Считать, что в воде
есть звуковые волны всевозможных направлений.
4.129. Какое число штрихов N должна иметь ди-
фракционная решетка, чтобы с ее помощью в спектре
испускания Солнца (во время полного солнечного
затмения) можно было обнаружить гравитационное
смещение спектральных линий во 2-м порядке? Дан-
ные, необходимые для численных расчетов, можно
получить зная угловой диаметр Солнца (при наблю-
дении с Земли) «с & 0,01 рад и скорость движения
Земли по орбите v3= 30 км/с.
4.130. Спектральные линии, излучаемые нагретым
газом, оказываются уширенными вследствие того, что
атомы газа движутся с разными скоростями относи-
тельно наблюдателя (эффект Доплера). Считая рас-
пределение скоростей атомов газа максвелловским,
оценить размеры L дифракционной решетки с перио-
дом d= 1 мкм, которую надо использовать для изуче-
ния формы спектральных линий, излучаемых неоном
20Ne при температуре Т = 1000 К.
4.131. Двойная звезда состоит из двух близких по
массе звезд, вращающихся относительно общего цен-

·
v
Ш

·

·

·

·
ътра с периодом т. = 10 сут и отстоящих друг от друга
на расстояние L = 2-107 км. Определить, какое число
штрихов N дифракционной решетки необходимо для
того, чтобы при наблюдении видимого спектра водо-
рода в излучении этих звезд можно было во 2-м по-
рядке заметить вращение системы. Можно ли, в прин-
ципе, таким способом заметить относительное враще-
ние таких звезд, если период т. = 10 лет? Темпера-
тура поверхности звезд Т = 6000 К.
4.132. Оценить порядок скорости и, с которой дол-
жен удаляться от Солнца космический корабль, что-
бы находящийся в нем космонавт, имея в распоря-
жении спектрометр с дифракционной решеткой, мог
заметить движение корабля относительно Солнца при
наблюдении видимой части спектра солнечного водо-
рода во 2-м порядке. Какое число штрихов N должна
иметь при этом дифракционная решетка? Температура
поверхности Солнца Т - 6000 К.
4.133. В оптическом резонаторе, состоящем из че-
тырех плоских зеркал (рис. 4.39), световые волны
14G
двояковыпуклую линзу из бериллия (плотность бе-
риллия р = 1,82 г/см3, порядковый номер Z A, от-
носительная атомная масса <я? = 9) с поверхностями
одинакового радиуса кривизны г = 40 см. Диаметр
линзы считать равным d = 9 см. Найти угол расхож-
дения ф пучка после линзы.
4.124. Оценить мощность Р, при которой лазерный
луч диаметром d= 1 мм вызывает электрический про-
бой газа. Свободный пробег электронов в газе при
условиях опыта равен /пр = 10~4 см, потенциал иони-
зации газа U = 10 В.
4.125. Зеркало в виде сильно вытянутого парабо-
лоида вращения фокусирует мягкие рентгеновские
лучи благодаря полному внут-
реннему отражению при сколь-
зящих углах падения а на да-
лекие от вершины части пара-
болоида (рис. 4.38). Оценить
угол схождения лучей ф в фо-
кусе параболоида для рентге-
новского излучения с энергией
2 кэВ, если зеркало изготов-
лено из бериллия (плотность бериллия р=1,82 г/см3,
порядковый номер Z 4, относительная атомная
масса s& = 9).
4.126. Найти показатель преломления п газа и его
градиент по высоте на поверхности Венеры, атмо-
сфера которой состоит из углекислого газа СО2 с по-
ляризуемостью молекул а = 2,7-10~23 см3. Давление
на Венере р0 = 100 атм, температура Т = 500°С.
Найти радиус кривизны г светового луча, пушенного
горизонтально. К каким особенностям атмосферной
оптики планеты приводит найденное значение?
Указание. Радиус г кривизны горизонтального
луча определяется соотношением 1/r = (\/n)dn/dh.
4.127. Во сколько раз должна увеличиться плот-
ность атмосферы Земли для того, чтобы в ней, как на
Венере, возникла круговая рефракция, при которой
луч света обойдет Землю? Показатель преломления
воздуха при атмосферном давлении равен я0 == 1,0003
(см. задачу 4.126).
4.128. Излучение рубинового лазера рассеивается
на звуковых колебаниях в воде. При рассеянии света
происходит доплеровское смещение частоты. Оценить
число штрихов N дифракционной решетки, с помощью
145
частоту v принимаемого на Земле сигнала. Оценить
разрешающую способность R регистрирующего спек-
трального прибора, необходимую для обнаружения
релятивистской поправки к смещению частоты.
V. АТОМНАЯ ФИЗИКА
§ 5.1. Кванты света. Фотоэффект.
Эффект Комптока
5.1. Оценить угол ф, на который отклоняется фо-
тон вследствие гравитационного взаимодействия, про-
ходя у поверхности Солнца.
5.2. Вакуумный фотоэлемент имеет в режиме на-
сыщения чувствительность к свету К = 0,12 А/Вт. Ка-
кова относительная флуктуация а числа электронов,
выбиваемых при падении на фотоэлемент светового
потока мощностью Р = 1,3-10-" Вт? Время регистра^
ции равно t = 10~3 с.
5.3. Электромагнитная волна с круговой частотой
Q = 2-10lfi С промодулирована синусоидально по
амплитуде с круговой частотой ш = 2-10!5 с~!. Найти
энергию И? фотоэлектронов, выбиваемых этой волной
из атомов с энергией ионизации WK = 13,5 эВ.
5.4. Позитрон е+ с кинетической энергией WK ан-
нигилирует на мишени, содержащей практически по-
коящиеся электроны, в результате чего рождаются
два одинаковых -укванта. Под каким углом а разле-
тятся 7'Кванты?
5.5. Фотон рассеивается на покоящемся протоне.
Энергия рассеянного фотона равна кинетической
энергии протона отдачи, а угол разлета между рас-
сеянным фотоном и протоном отдачи равен 90°. Оце-
нить энергию Wy падающего фотоня,
5.6. Фотон с энергией Wy = 2/п.еС2 при рассеянии
на покоящемся электроне теряет половину своей энер-
гии (те масса покоя электрона). Найти угол раз-
лета а между рассеянным фотоном и электроном
отдачи.
5.7. Найти максимальный угол 9тах рассеяния
-р-квантов при комптон-эффекте на неподвижных элек-
тронах, вне которого рассеянный квант не может по-
родить электрон-позитронпую пару при последующем
взаимодействии с веществом. Рождение электрон-по-
148
могут распространяться во встречных направлениях
по периметру квадрата, сторона которого равна /.
Если такой резонатор привести во вращение с угловой
скоростью Q вокруг оси, перпендикулярной плоскости
рисунка, резонансные частоты v
для встречных волн оказываются
неодинаковыми. Объяснить явление
и определить разность Дл> этих
частот.
4.134. Вслед космическому ко-
раблю, удаляющемуся от Земли со
скоростью v = 0,8 с, каждую се-
кунду посылают сигналы точного Рис 4.39
времени. Какое время между посту-
плением двух сигналов будет проходить по корабель-
ным часам?
4.135. С космического корабля, приближающегося
к Земле со скоростью v = 0,6 с, ведется прямая теле-
визионная передача, позволяющая видеть на экране
телевизора циферблат корабельных часов. Сколько
оборотов сделает на экране секундная стрелка за
1 минуту по земным часам?
4.136. После 16 оборотов вблизи Земли спутник
опустился обратно на космодром. На сколько разош-
лись часы на спутнике и на космодроме и с какой по-
грешностью можно заметить этот эффект, если ста-
бильность и воспроизводимость часов составляют 10~13
;(водородный мазер)? Влиянием кривизны траектории,
силы притяжения к Земле и ускорения во время взле-
та и посадки спутника на ход ча-
сов пренебречь.
4.137. Известно, что ускорение
космической ракеты тем больше,
чем выше скорость истечения
газа из ее сопла. С этой точки
зрения наилучшей является так
называемая фотонная ракета, ис-
пускающая из сопла поток фото-
нов. Найти скорость v, которую может приобрести
такая ракета при разгоне от нулевой скорости, если
половина ее массы превратится в фотоны. Считать
к. п. д. двигателя равным единице.
4.138. Из точки А (рис. 4.40) на спутник, летящий
со скоростью v, падает лазерный луч с частотой v0.
Отраженный луч регистрируется в точке В. Найти
147
наблюдения? Считать, что в поляроидах нет поглоще-
ния света разрешенной поляризации.
4.93. Определить интенсивность света 3 в точке Р
экрана, на который падает монохроматический свет
интенсивности &й, если на пути поставить диск из
оптически активного вещества, закрывающего пол-
торы зоны Френеля и поворачивающего плоскость
поляризации на 90°. Отражением п поглощением света
пренебречь.
4.94. Параллельный пучок иеполяризованного мо-
нохроматического света падает на пластинку в Х./4.
Интенсивность света в некоторой точке Р за пластин-
кой равна Эъ. Из пластинки вырезают диск, закры-
вающий одну зону Френеля для точки Р. Диск повер-
нули вокруг луча на угол 90° и поставили на место.
Какой стала интенсивность Э в точке Р?
4.95. Параллельный пучок неполяризованного мо-
нохроматического света падает на пластинку в к/2.
Интенсивность света в некоторой точке наблюдения Р
за пластинкой равна 2f0. Из пластинки вырезают диск,
закрывающий полторы зоны Френеля для точки Р.
Диск повернули вокруг луча на угол л/2 и поставили
на место. Какой стала интенсивность Э в точке Р?
4.96. Из кристаллической пластинки %/2 вырезаны
лиски диаметром в одну и в две зоны Френеля для
точки Р. Диски вносят в пучок света вплотную друг
к другу, так что у них совпадают: 1) разноименные
главные направления, 2) одноименные главные на-
правления. При этом для света, поляризованного по
одному из главных направлений, ни амплитуда, ни
фаза колебаний не изменились. Во сколько раз изме-
нится интенсивность света той же поляризации в слу-
чаях 1) и 2), если малый диск повернуть на 90°?
4.97. Показатель преломления кристаллического
кварца для длины волны А, = 589 нм равен п.а = 1,544
лля обыкновенного луча и пе = 1,553 для необыкно-
венного луча. На пластинку из кварца, вырезанную
параллельно оптической оси, нормально падает ли-
нейно поляризованный свет указанной длины волны,
занимающий спектральный интервал ДА, = 40 нм.
Найти толщину пластинки d и направление поляриза-
ции падающего света, если свет после пластинки ока-
зался неиоляризованным.
4.98. На плоский экран, состоящий из двух поля-
роидных полуплоскостей, граничащих друг с другом
138
зитронной пары возможно, если энергия v-кванта пре-
вышает 2тес2 (шв масса покоя электрона).
5.8. При грехфотоиной аннигиляции орто-позитро-
иия оказалось, что один из фотонов имеет энергию
Wi=(l/2)W0, а другой W3 B/3) Wo (В?о энер-
гия покоя электрона). Найти углы й12, 0)з, б2з между
направлениями вылета фотонов. Считать, что орто-
позитроний вначале покоился; его энергия покоя рав-
на удвоенной энергии покоя электрона. Возможна ли
двухфотонная аннигиляция орто-позитрония?
Указание: орто-позитроний представляет собой
атомную систему, состоящую из электрона и позитро-
на, спины которых направлены в одну сторону.
5.9. Фотон (Х, = 0,4 нм) рассеивается на электроне
(масса покоя электрона те), движущемся навстречу
ему, и после рассеяния движется в обратном направ-
лении (рассеяние на 180°). С какой скоростью v дол-
жен двигаться электрон, чтобы частота фотону при
рассеянии не изменилась?
5.10. Фотон от рубинового лазера ("К = 0,69-13 мкм)'
испытывает лобовое соударение с электроном, имею-
щим кинетическую энергию №« = 500 МэВ. Оценить
энергию Wy фотона, испускаемого в результате «об-
ратного «комптон-эффекта» и движущегося вдоль
траектории электрона.
5.11. Определить энергию у-к.вантов, претерпевших
комптоиовское рассеяние назад F = 180°), если из-
вестно, что вылетающий электрон ультрарелятивист-
ский (We> ,-ЛеС2).
5.12. Определить длину волны % рентгеновского из-
лучения, для которого комптоиовское рассеяние на
электроне на угол 90° удваивает длину волны.
5.13. В результате комптоново.кого рассеяния фо-
тона на покоящемся электроне последний получил им-
пульс отдачи р. Определить, под какими углами по
отношению к направлению падающего фотона мог
вылететь электрон с таким импульсом.
5.14. При прохождении у-кваптов через вещество
образуются две группы быстрых электронов: одна в
результате фотоэффекта, а другая комптоновского
рассеяния. Каково должно бигь энергетическое раз-
решение регистрирующей аппаратуры, чтобы отличать
фотоэлектроны от комптоновских электронов с макси-
мальной энергией? Энергия ^-квантов известна: WY =
5 МэВ.
149
5.E. Если допустить, что масса покоя фотона
mY ф О, то скорость электромагнитных волн в вакууме
будет зависеть от длины вол-н "к. До настоящего вре-
мени по данным локационных измерений среднего
расстояния между Луной и Землей (La =3,8-105 км)
такая зависимость не обнаружена. Измерения были
проведены при A,i = 20 см и в оптическом диапазоне,
точность измерений определялась в основном неров-
ностью поверхности Луны 6/ = ±100 м. Исходя из
этих данных, оценить возможную верхнюю границу
значений массы покоя фотона /nY.
§ 5.2. Волны де Бройля. Волновые функции
5.16. Электроны с энергией U?K = 100 эВ падают
под углом ф = 30° к нормали на систему, состоящую
из двух параллельных сеток, между которыми создана
разность потенциалов 1/[ = 36 В (рис. 5.1). Найти от-
носительный показатель преломления п сред, распо-
ложенных по обе стороны от сеток. При какой раз-
ности потенциалов U2 произойдет полное отражение
электронов от второй сетки?
Рис. 5,1 Рис. 5.2
5.17. Пучок электронов падает перпендикулярно
па поликристаллическую пластинку П из хлористого
иагрия, постоянная решетки которого d = 56 им. В ре-
зультате брэгговского рассеяния пучка на фотопла-
стинке Ф, расположенной на расстоянии L = 25 см от
пластинки Я, возникают концентрические дифракцион-
ные кольца (рис. 5.2). Определит!, энергию электро-
нов, зная, что радиус первого кольца равен R =0,5 см.
5.18. Параллельный пучок моиоэнергетических
нейтронов, движущихся со скоростью v, падает на
плоскую поверхность кристалла под углом скольже-
ния ф0 и испытывает на ней брэгговское отражение
и-го порядка (рис. 5.3). Источник нейтронов А при-
150
ю г
= >
водят в движение с постоянной скоростью и в направ-
лении нормали к отражающей плоскости. Под каким
углом ф к отражающей плоскости надо направить те-
перь пучок нейтронов, чтобы наблюдалось брэггов-
ское отражение в прежнем по-
рядке /и?
5.19. Один из способов мо-
нохроматизации медленных
нейтронов состоит в следую-
щем: в цилиндрерадиусом Я=
= 10 см и длиной L = 1,0 м
делается винтовой паз цыри-
ной 6=1 см с поворотом на
угол ф = 30° (рис. 5.4). Цилиндр вращается с часто-
той п = 3000 об/мин. Определить длину волны X ней-
тронов, пропускаемых описанным монохроматором, и
оценить степень их монохроматичности АХ/Х. Пучок
нейтронов направлен вдоль оси цилиндра.
Рис. 5.3
Рис. 5 4
5.20. Нейтроны со скоростью Оо=:5'105 см/с па-
дают на брзгговский интерферометр, состоящий из
трех тонких монокристаллических пластинок, выре-
занных перпендикулярно главным кристаллическим
плоскостям. На каждой
из пластинок волна де
Бройля разделяется на
прошелшую и отражен-
ную (рис. 5.5). Результат
интерференции фиксиру-
ется счетчиком нейтро-
нов С, скорость счета ко-
торого зависит от разно-
сти фаз в плечах интерферометра. В одном из плеч
с помощью электродов (не показанных на рисунке) па
участке длиной / = 1 см создается электрическое поле
с разностью потенциалов U = 300 В. Если бы у ней-
трона был электрический заряд, то включение поля
Рис. 5.5
151
изменило бы скорость счета счетчика С. Найти, какой
предельный заряд q может быть обнаружен в таком
опыте, если напряженность поля параллельна пред-
полагаемому направлению дипольного момента, а
чувствительность интерферометра к сдвигу фаз со-
ставляет Аф =0,1 рад.
5.21. Коллимированный пучок электронен) с кине-
тической энергией Ц^'к == 1,65 кэВ пропускается через
резонатор лазера, который генерирует на длине волны
Х, = 0,63 мкм. При некоторых углах падения пучка
относительно оси лазера, близких к прямому, может
наблюдаться брэгговское рассеяние электронов на
электромагнитной волне (эффект КапицыДирака).
Найти возможные углы отклонения электронов.
5.22. Оценить минимальный диаметр d пятна, соз-
даваемого на детекторе пучком атомов серебра, испу-
скаемых печью с температурой Т = 1200°С, Расстоя-
ние от выходной щели печи до детектора равно
L = 1 м.
5.23. В одномерной потенциальной яме шириной b
с бесконечными стенками находятся N электронов.
Определить полную энергию W и силу F давления
электронов на стенки ямы.
Е5:;аимодействнем электронов
пренебречь.
5.24. Оценить нижнюю гра-
_ ницу кинетической энергии WK
нуклона в ядре, предполагая,
что радиус ядра гя«10~12 см.
5.25. Предполагая, что ядер-
ные силы обусловлены обме-
ном между нуклонами кванта-
ми ядерного поля пионами,
оценить радиус Дг действия
ядерных сил, если известно,
что масса покоя пионов тп ~
« 100 МэВ, а их скорость
близка к скорости света.
5.20. Электрон движется со скоростью v в плоско-
параллельном слое вещества толщиной d с показате-
лем преломления п перпендикулярно к ограничиваю-
щим плоскостям. Скорость электрона v > с/п, так что
наблюдается излучение Вавилова Черенкова. Опре-
делить угловую расходимость Дф излучения, обуслов-
ленную конечной толщиной слоя (рис. 5.6).
9
Рис, 5,6
152
Р»с. 5,7
5.27. Электрон притягивается к поверхности жид-
кого гелия электростатическими силами, потенциаль-
ная энергия которых, как известно, равна Wn(x) =
= \е2(гI )/4(e -f I )]х"', где х кратчайшее рас-
стояние от электрона до поверхности, в заряд элек-
трона, е = 1,057 диэлек- \
грическая проницаемость ге-
лия (рис. 5.7). В то же вре-
мя медленный электрон не
может проникнуть внутрь
гелия из-за отталкивания
(так называемое отрица-
тельное сродство гелия к
электрону). Поэтому можно
считать, что на поверхности
(jc = 0) потенциальная энергия испытывает беско-
нечный скачок и электрон оказывается в потенци-
альной яме (см. рис. 5.7). Пользуясь этой моделью и
соотношением неопределенности, оценить по порядку
величины среднее расстояние х электрона от поверх-
ности гелия в основном состоянии и энергию связи
WCB электрона вблизи поверхности гелия.
5.28. Волновая функция частицы массой т, совер-
шающей одномерное движение в поле с потенциалом
Wn(x), есть $(х) = Ахех.р(х/а) (х > 0), г|з(х) = О
(x^ZO). Оценить с помощью соотношения неопреде-
ленности среднюю кинетическую энергию WK частицы.
Найти Wn{x) при х > 0 и полную энергию W, если
известно, что Wn(x)-*~Q при х->со.
5.29. Найти энергию электрона, при которой он
беспрепятственно пройдет над прямоугольным барье-
ром высотой Wo = 5 эВ
W1
oy/;7777Zd
Рис. 5.8
и шириной d=10-s см.
5.30. Электрон на-
ходится в одномерной
потенциальной яме,
изображенной на
рис. 5.8, и имеет энер-
гию W 1,5 эВ. Ши-
рина ямы равна d =
= 3-10~3 см. Найти высоту потенциального барьера
Wn и его проницаемость D. За какое время t вероят-
ность найти частицу в яме уменьшится в два раза?
Отражением волновой функции на задней границе
потенциального барьера пренебречь.
153
5.31. Действие времяпролетного масс-спектрометра
основано на разделении ионов по врехмени пролета
ими определенного расстояния /. Но из-за разброса
начальных скоростей До даже одинаковые ионы долж-
ны приходить к приемнику с некоторым разбросом Д^
по времени. Для устранения этого недостатка исполь-
зуется электростатический отражатель, на выходе ко-
торого указанный разброс компенсируется (рис. 5.9).
Источник
Рис. 5.9
Оценить напряженность Е поля отражателя, необхо-
димую для регистрации однозарядных ионов азота
N+, имевших на выходе из источника разброс началь-
ных скоростей До Л2 10е см/с и прошедших путь с раз-
бросом по времени Л/ « 100 не. Угол отражения в
отражателе считать малым.
§ 5.3. Атомы и их излучение
5.32. Длина волны линии На водородной серии
Бальмера равна Х = 0,656 мкм. Определить энергию
ионизации WK мезоатома водорода, находящегося в
основном состоянии.
5.33. Рассчитать энергию излучения AW, испускае-
мого в атоме водорода при переходе отрицательного
|Г~-мезона с N- на М-оболочку. При расчете учесть, что
масса |г~-мезона приблизительно в 10 раз меньше
массы протона. Как велик радиус 1-й боровской ор-
биты в этом случае?
5.34. Положительно заряженный мюон, образовав-
ший вместе с электроном водородоподобный атом
мюоний, распался на позитрон и нейтрино, быстро
разлетевшиеся в разные стороны. Какова средняя ки-
нетическая энергия WK оставшегося после этого элек-
трона, если в момент распада мезона мюоний нахо-
дился в состоянии 2S? Волновая функция основного
состояния электрона в атоме водорода равна г]1 =
= (8пг*)~1/2A-г/2гб) ехр (- г/2гв), где гБ- радиус
1-й боровской орбиты.
154
5.35. Задача об отыскании уровней энергии атома
решается обычно в предположении, что заряд ядра
точечный. На самом деле ядро имеет размер, а ра-
диус ядра равен гя = 1,3-10-13 s?l/3 см, где si атом-
ная масса. Оценить знак и порядок величины относи-
тельной поправки к энергии AW/W мюона на К-обо-
лочке в мезоатоме неона (Z = 10, s4- = 20), связанной
с тем, что часть времени мезон находится внутри ядра,
т. е. в поле, отличном от кулоновского. Волновая
функция основного состояния электрона в атоме во-
дорода равна ^ = (яг|)~1/2ехр(г/гБ), где гБрадиус
1-й боровской орбиты.
5.36. При комптоновском рассеянии квантов па
атомных электронах явление осложняется тем, что
электроны в атомах не находятся в покое. Оценить
связанный с этим разброс в углах разлета электронов
отдачи, выбиваемых из атомов водорода при рассея-
нии рентгеновских квантов (^ = 0,1 нм) строго назад.
5.37. Оценить минимальную ширину Lmin, которую
должна иметь дифракционная решетка, чтобы с ее по-
мощью можно было обнаружить естественную ширину
линии, испускаемой атомами с временем жизни воз-
бужденного состояния т = 0,1 не. (Все условия поста-
новки опыта предполагаются идеальными.)
5.38. Температуру газовых облаков в межзвездном
пространстве можно оценить по доплеровскому уши-
рению спектральных линий, ис- о 12 3 x,at
пускаемых атомами, входящими
в состав газа. Для этой цели
обычно используют водородную
линию с длиной волиы ~к =
= 21 см. Оценить температуру Т
газового водородного облака,
если испускаемая им водородная
линия имеет ширину Д/ = 5 кГц.
5.39. Моноэнергетический па-
раллельный пучок возбужденных
атомов движется вдоль оси ва-
куумной трубки со скоростью
v = 108 см/с. В стенках трубки сделаны окошки для
регистрации излучения атомов пучка в зависимости
от пути, пройденного пучком. Результаты этих изме-
рений изображены на рис. 5.10 (по оси абсцисс от-
ложено расстояние х, пройденное пучком вдоль
Рис. 5.10
155
трубки, отсчитанное от 1-го окошка, а по оси орди-
нат натуральный логарифм отношения интенсив-
ности света 21 к интенсивности 2/\, измеренной
детектором, стоящим в 1-м окошке. Определить
естественную ширину линии Д/, излучаемой атомами
пучка.
5.40. На рис. 5.11 изображено распределенке энер-
гии в спектральной линии дважды ионизованного уг-
лерода 12С (эту спектральную линию можно наблю-
дать в дуговом разряде в сильном магнитном поле).
У, произд. ед.
16
12
S
500
ооо
Рис. 5.11
яо
л,т
Уширение спектральной линии обусловлено движе-
нием излучающих атомов (эффект Доплера). Оценить
температуру Т излучающих атомов.
5.41. Оценить минимальные массу m и размер b
железной пылинки, при которых можно наблюдать
эффект Мёссбауэра с энергией перехода W = 14 кэВ
и вре1менем жизни т = 1 мс, если отдача пылинки
приведет к доплеровскому смещению, равному соб-
ственной ширине линии.
Указание. Эффект Мёссбауэра заключается в
том, что при достаточно низкой температуре отдачу
испытывает не отдельное излучившее ядро, а весь
кристалл (в данном случае пылинка).
5.42. На какой высоте Н надо поместить поглоти-
тель относительно источника для проверки красного
смещения, выведенного общей теорией относитель-
ности? Используется эффект Мёссбауэра на изотопе
67Zn, время жизни возбужденного уровня с энергией
W = 93 кэВ равно т = 10 мкс. Считать, что для до-
стижения необходимой точности эффект смещения
должен в 10 раз превышать ширину линии резонанс-
ного поглощения.
156
5.43. На опыте измерены энергии перехода между
тремя последовательными уровнями энергии враща-
тельной полосы двухатомной молекулы (рис. 5.12).
Найти квантовые числа / этих уров-
ней и момент инерции / молекулы. ^
5.44. Определить напряжение U
на рентгеновской трубке с никеле-
вым антикатодом, если разность
длин волн между /(^-линией и ко-
ротковолновой границей сплошного р 5 .„
рентгеновского спектра равна Д>- =
= 84 пм.
5.45. Оценить размер b железной пылинки, при ко-
тором она будет выдуваться из Солнечной системы
световым давлением Солнца.
5.46. Одна из причин уширения спектральных ли-
ний атомов в газе связана со столкновениями, которые
ограничивают время жизни возбужденного состояния.
Оценить вклад этого механизма в относительную шири-
ну линии перехода в неоне на длине волны ^=0,63 мкм,
используемой в НеNe-газовом лазере, в условиях, ко-
гда коэффициент диффузии атомов неона D= 100 см2/с.
Температуру газа принять равной 7 = 400 К.
5.47. В опытах Шалла (i968 г.) наблюдалось рас-
щепление пучка нейтронов на два пучка при прелом-
лении на границе однородного магнитного поля.
Найти малый угол 0 между направлениями преломле-
ния пучков. Однородное магнитное поле имеет индук-
цию В = 2,5 Тл, Нейтроны с дебройлевской длиной
волны Х = 0,5 нм падают под углом в 30° к достаточ-
но резкой границе магнитного поля.
5.48. Пучок атомов натрия вылетает нз печи, тем-
пература которой 7 = 350 К. Пучок расщепляется в
поперечном неоднородном маг- i i
нитном поле с градиентом I J
dB/dx = 5Q Тл/м на пути /= 1 см. s[_ s[\ }
Детектор удален от магнита на
расстоянии L = 6,5 м. Найти рас-
стояние s между пятнами на эк-
ране. Рис. 5.13
5.49. Пучок атомов лития в
основном состоянии с максимальной кинетической
энергией IFK = O,1 эВ проходит через магнит типа
Штерна Герлаха длиной / = 6 см с градиентом
поля dB/dx = b Тл/см. Перед магнитом стоят две
157
одинаковые диафрагмы 5 па расстоянии L = 1 м
одна от другой (рис. 5.13). При каком максимальном
размере dmax диафрагм компоненты разделенного
пучка полностью разойдутся?
5.50. Определить верхний предел расстояния Z.max
между зеркалами интерферометра Фабри Перо, что-
бы с его помощью можно было исследовать (без пере-
крытия спектров разных порядков) простой эффект
Зеемана в магнитном поле с индукцией В = I Тл.
5.51. Оценить, какую индукцию В магнитного поля
звезды типа Солнца (период вращения т. = Ю6 с, ра-
диус^=1010см, температура поверхности 7 = 6-103 К)
можно обнаружить в оптической области спектра (оа=
= Ю15 с-1) на основании измерения эффекта Зеемана.
5.52. Найти зеемановское расщепление Доз спек-
тральной Линии 2D3/2-*-2Pu2- Указать число компонент
в расщепленной линии.
5.53. Цезий принадлежит к числу щелочных метал-
лов. При Р 5-переходе в атомарном цезии испуска-
ется широкий дублет, состоящий из двух линий: к\ =
= 0,455 мкм и Х2 = 0,459 мкм. Найти расщепление тер-
мов этого дублета в магнитном поле. Какими форму-
лами описывается в этом случае расщепление линий
в магнитном поле с индукцией В = 3 Тл: формулами
для нормального или аномального эффектов Зеемана?
5.54. В спектре лития две первые линии главной
серии принадлежат переходам 22Pi/2-+22Su2 и
22-Рз/2->2251/2. Длины волн этих линий равны Х{ =
= 0,670780 мкм и ^,2 = 0,670795 мкм. Оценить индук-
цию В магнитного поля, которое создает орбитальное
движение электрона в атоме лития в состоянии 2Р.
5.55. Оценить по порядку величины энергию рас-
щепления Д№ головной линии серии Вальмера в
спектре водорода за счет взаимодействия магнитно-
го момента электрона и магнитного момента ядра
(сверхтонкое расщепление спектральных линий).
Можно ли обнаружить это расщепление с помощью
спектрального прибора, если среднее время жизни
возбужденных атомов водорода порядка 10 не? Маг-
нитный момент протона равен |1Р = 2,8|1я.
5.56. Оценить длину волны X излучения межзвезд-
ного атомарного водорода в радиодиапазоне. Меж-
звездный водород находится в основном состоянии, и
его излучение обусловлено переориентацией спина
электрона. Магнитный момент протона равен цр = 2,8|л„.
158
5.57. Свободные атомы могут обладать магнитным
моментом, но не имеют дипольного электрического мо-
мента. Атомы, входящие в состав кристаллической ре-
шетки, при известных условиях могут иметь такой
момент. В этом случае возможен параэлектрический
резонанс, аналогичный парамагнитному. Найти ди-
польный момент рат атома, если известно, что резо-
нансное поглощение электромагнитных волн с длиной
волны А, = 5 мм наблюдается при напряженности по-
стоянного электрического поля ?=2,5- Ю3 кВ/м. Оце-
нить размер / атомного диполя.
VI. ИЗЛУЧЕНИЕ
6.1. Рассматривая равновесное тепловое излучение
как идеальный газ фотонов, получить формулу р =
= Ризл/3, связывающую плотность энергии теплового
излучения ризл с давлением излучения р.
6.2. Используя тот факт, что плотность энергии
теплового излучения ризл не зависит от объема си-
стемы, а также формулу р = ризЛ/3 (см. задачу 6.1),
найти с помощью законов термодинамики зависимость
ри,л и энтропии s единицы объема от температуры Т.
6.3. Пользуясь той же моделью, что и в задаче 6.1,
найти связь между энергетической светимостью Мэ
абсолютно черного тела и плотностью энергии тепло-
вого излучения рИЗл.
6.4. При какой температуре Т давление теплового
излучения равно р = 1 атм?
6.5. При какой концентрации п молекул газа газо-
кинетическое давление равно давлению теплового из-
лучения при той же температуре Т = 300 К?
6.6. Над плоскостью, зачерненной с обеих сторон,
на высоте h расположен круглый диск радиусом R,
являющийся источником равновесного теплового из-
лучения с температурой То. Радиус диска R расположен параллельно плоскости, Найти стационар-
ное распределение температуры Т = Т(г) на плоско-
сти, где г расстояние от проекция центра диска.
Считать, что система находится в вакууме, фон теп-
лового излучения отсутствует и теплопроводностью
вдоль плоскости можно пренебречь.
6.7. Найти то же, что и в задаче 6.6, считая излу-
чателем сферу радиусом Rt центр которой находится
на расстоянии h от плоскости,
159
6.8. Найти отношение плотностей потоков энер-
гии корпускулярного и электромагнитного излучения
Солнца в околоземном пространстве. Считать, что
корпускулярный поток представляет собой нейтраль-
ную плазму из протонов и электронов с концентрацией
п = Ь см~3 частиц каждого сорта и скоростью потока
v = 300 км/с, а Солнце источник равновесного теп-
лового излучения с температурой Т = 6000 К. Выра-
зить результат через угловой диаметр ас Солнца, ви-
димый с Земли.
6.9. Солнечная постоянная Ес означает мощность
излучения, падающего на единицу площади, помещен-
ной перпендикулярно солнечным лучам за пределами
земной атмосферы на расстоянии от Солнца, равном
среднему расстоянию между Землей и Солнцем Ьз =
= 1,5-103 км. Принимая ?с = 0,14 Вт/см2 и радиус
Солнца /?с = 6,9-105 км, определить радиационную
температуру Трая излучающей поверхности Солнца.
6.10. В настоящее время мощность всех промыш-
ленных источников энергии на Земле составляет Р л;
» 1013 Вт, в то время как средняя мощность солнеч-
ной энергии, поступающей на Землю, Р ж 1017 Вт.
К какому перегреву ДГ поверхности Земли приводят
промышленные источники? Оценить максимальное
значение Ртзх, если предельный перегрев, допустимый
из экологических соображений, составляет 0,1 К-
6.11. Объектив диаметром d = 5 см фокусирует
солнечный свет на абсолютно черный шар диаметром
dm = 1 мм, обладающий высокой теплопроводностью
м и находящийся в высоком ва-
кууме." Определить температу-
ру Тш шара. Принять, что плот-
ность потока солнечной энер-
гии равна /ц7 = 0,14 Вт/см2,
температура стенок сосуда
Тс = 300 К- Потерями энергии
в объективе пренебречь.
6.12. В криогенной технике
для уменьшения теплопотерь,
связанных с тепловым излуче-
нием, в вакуумный промежуток между более холод-
ной (Тх) и более нагретой (ТТ) стенками вводят си-
стему тепловых экранов (рис. 6.1). Считая обе стен-
ки, как и все экраны, бесконечно протяженными и
абсолютно черными, найти уменьшение радиацион-
г
. i
Рис. 6.1
160
ного теплообмена между стенками за счет введения
N экранов в стационарных условиях.
6.13. Используя формулы для энергии и энтропии
равновесного теплового излучения, показать, что сво-
бодная энергия излучения записывается в виде ЗГ =
= ^oVT*, где V объем, Т температура. Восполь-
зовавшись законом Стефана Больцмана, выразить
?0 через постоянную Стефана Больцмана асв- Поль-
зуясь термодинамическими формулами, определить по
найденному ЗГ теплоемкость cv фотонного газа в ра-
счете на единицу объема и давление излучения р.
Сравнить ее с теплоемкостью с\ единицы объема иде-
ального одноатомного газа при одинаковых значениях
Р и Т.
6.14. Газообразный неон находится в замкнутом
сосуде с постоянным объемом в равновесии с тепло-
вым излучением. При каком давлении р неона его
теплоемкость и теплоемкость теплового излучения в
том же объеме при Т = 500 К сравняются?
6.15. Найти теплоемкость ср и уравнение адиабаты
фотонного газа, заключенного в сосуд с переменным
объемом.
6.16. Вселенная, возраст которой t\ « 1010 лет, за-
полнена равновесным реликтовым излучением, тем-
пература которого в настоящее время равна Т\ та 3 К.
Начиная с эпохи, когда его температура составляла
Го « 3000 К и образовались нейтральные атомы, излу-
чение слабо взаимодействовало с веществом, расши-
ряясь вместе с Вселенной. Оценить ее возраст t
к моменту образования нейтральных атомов. Ско-
рость линейного расширения Вселенной считать по-
стоянной.
6.17. Тепловое излучение Солнца регистрируется
селективным приемником на длине волны Л, ^ 300 нм
с относительной шириной области чувствительности
ДХ,/А=Ю~3 за промежутки времени Д/ = 10-3 с.
Найти относительную среднеквадратичную флуктуа-
цию принимаемого сигнала. Солнце считать абсолют-
но черным телом с температурой Т = 6000 К и види-
мым угловым диаметром ас. Площадь приемной пло-
щадки равна S = 1 мм2.
Указание. Так как энергия кванта Гка S> &БГ, то
среднее планковское число заполнения nffl< 1, и по-
этому к фотонам можно применять классическую (не
квантовую) статистику.
6 Сборник задач по физике 161
6.18. Напряжение в сети возросло на 5%. На
сколько увеличится освещенность, создаваемая ва-
куумной лампой накаливания с температурой нити
1500 К, на длине волны 500 нм? Нить считать абсо-
лютно черной.
6.19. Слой вещества поглощает практически все
фотоны солнечного спектра с энергией W Г2* 0,2 эВ и
полностью прозрачен для фотонов с меньшей энер-
гией. Оценить, какую долю солнечной энергии про-
пускает вещество. Считать спектр Солнца планков-
ским с температурой Т = 6500 К.
6.20. Слой вещества поглощает практически все
фотоны солнечного спектра с энергией W ^ 12 эВ и
полностью прозрачен для фотонов с меньшей энер-
гией. Оценить, какую долю солнечной энергии погло-
щает вещество. Считать спектр Солнца планковским
с температурой Т = 6500 К.
6.21. Возбужденный атом с энергией возбуждения
W = 1 эВ находится в поле равновесного излучения
с температурой Т = 300 К. Найти отношение вероят-
ностей индуцированного и спонтанного излучений
атома. Найти аналогичное отношение для электрон-
ного спина в магнитном поле с индукцией В =
= 103 Гс.
6.22. Определить диапазон частот излучения, при
котором вероятность спонтанного перехода более чем
в 100 раз превосходит вероятность индуцированного
перехода под влиянием равновесного излучения тем-
пературы Г = 293 К.
6.23. Система, состоящая из атомов, имеющих два
невырожденных уровня энергии W{ и W2 > Wu нахо-
дится в тепловом равновесии. Выразить коэффициент
поглощения kn(T) света этой системой на частоте
<»=(U?2 Wi)/h через его значение k°a при Г = 0.
Рассмотреть два предельных случая: 1) йБГ^>йсо и
2) kBT < fto.
6.24. Оценить вероятность wcn спонтанного излуче-
ния молекулы при переходе с возбужденного уровня
Wm на уровень Wn в случае, когда молекула поме-
щена внутрь объемного резонатора, настроенного на
частоту a = (Wm Wn)/h. Соответствующая вероят-
ность спонтанного излучения в свободном простран-
стве равна w°cn. Объем резонатора равен V, его до-
бротность Q. Считать, что ширина Г молекулярных
162
уровней все время остается меньше ширины co/Q ли-
нии резонатора: Г < co/Q.
6.25. Резонатор лазера с кристаллом рубина имеет
одно зеркало с 100%-ным отражением, а другое
с коэффициентом пропускания т = 0,1 на длине вол-
ны, отвечающей генерации лазера. Длина кристалла
/ = 12 см. Известно, что коэффициент поглощения
света в невозбужденном кристалле рубина в макси-
муме рабочей линии равен &п = 0,4 см-1. Найти, ка-
кую часть атомов хрома нужно привести в возбужден-
ное состояние, чтобы лазер начал работать. Рассея-
нием света в кристалле пренебречь.
VII. ТВЕРДОЕ ТЕЛО
§ 7.1. Свойства кристаллических решеток.
Фононы. Теплопроводность
7.1. Рассматривая атомы, из которых построены
кристаллические решетки, как твердые шары, найти
плотность упаковки (т. е. заполненную часть объема)
для простой, гранецентрированной и объемно-центри-
рованной кубических решеток.
7.2. Рентгеновское излучение с частотой v =
= 1,1 - Ю18 с, падающее на кубический кристалл в
направлении [100], испытывает сильное брэгговское
рассеяние в направлении [122]. Считая, что кристалл
состоит из одной гранецентрированной решетки Бравэ
и наблюдаемое рассеяние связано с интерференцией
1-го порядка, найти наименьшее межатомное расстоя-
ние а в кристалле.
7.3. Оценить температурный коэффициент линей-
ного расширения а кристалла, используя в качестве
модели двухатомную молекулу, в которой потенциаль-
ная энергия взаимодействия составляющих ее атомов
имеет вид Wa{x) = v.x'z/2 xix3/3, где храсстояние
между атомами. Ангармонический член "/,\Х3/3 ответ-
ствен за тепловое расширение. Оценить величины к
и И] и а через фундаментальные физические констан-
ты. Считать, что движение ядер подчиняется законам
классической механики.
7.4. Замкнув цепочку из N одинаковых атомов в
кольцо, подсчитать число различных бегущих волн.
6* I аз
Рассмотреть случаи продольных и поперечных ко-
лебаний (смещения атомов вдоль цепи и перпенди-
кулярно ей). Сравнить с числом степеней свободы
системы.
Указание. При N > 1 замыкание цепочки прак-
тически не влияет на спектр ее колебаний.
7.5. Рассмотреть одномерную цепочку, состоящую
из атомов массой т, среднее расстояние между кото-
рыми равно а. Атомы взаимодействуют с ближайши-
ми соседями по закону х(хп+\ v«J/2, где хп коор-
дината п-го атома. Найти все продольные нормальные
колебания (фононы) и спектр их частот со (/г), k
волновое число. Найти фазовую и групповую скорости
волн как функции волнового числа k. Построить гра-
фики полученных зависимостей. Указать область, от-
вечающую звуковым волнам, и выразить скорость
звука s через тих.
7.6. В одномерной цепочке, построенной из одина-
ковых атомов, скорость звука равна s = 2-105 см/с,
а постоянная решетки а = 0,3 им. При какой частоте
колебаний со сдвиг фаз между двумя атомами, нахо-
дящимися на расстоянии 10а, составит я/2?
7.7. Найти закон дисперсии со(k) для продольных
фононов в бесконечной цепочке, содержащей в эле-
ментарной ячейке два атома массами т, и т2. Рас-
стояние между соседними атомами равно а, а жест-
кость связей между ними х. Построить график полу-
ченной зависимости. Проследить предельный переход
к одноатомной цепочке при mi/m2->l.
7.8. Найти поляризуемость а (со) (в расчете на одну
элементарную ячейку) для цепочки, содержащей в
ячейке два разноименных однозарядных иона. Осталь-
ные условия такие же, как и в задаче 7.7. Электри-
ческий вектор возбуждающей электромагнитной волны
с частотой со ориентирован вдоль цепочки.
7.9. Пользуясь законами сохранения энергии и им-
пульса, рассмотреть в идеальном кристалле неупругое
рассеяние нейтронов с рождением фононов. Обсудить
возможность восстановления закона дисперсии фоно-
нов со(#) по нейтронному рассеянию.
7.10. Используя аналогию между фотонами и длин-
новолновыми фононами, выразить низкотемператур-
ную решеточную теплоемкость кристаллов через
скорость поперечного (st) и продольного ()
звука.
164
7.11. Найти температурную зависимость решеточ-
ной теплоемкости одномерных (С\) и двумерных (С2)
кристаллов в области низких температур,
7.12. В 4Не, который при атмосферном давлении
остается жидким при Т = 0, колебания в области низ-
ких температур целиком описываются продольными
акустическими фононами. Получить формулу для
низкотемпературной теплоемкости и вычислить ее для
гелия при 7 = 0,1 К, приняв для скорости звука зна-
чение s = 240 м/с.
7.13. В кристалле поваренной соли NaCl при тем-
пературе Т = 10 К теплоемкость единицы объема
Ci/=8,3-10-4 Дж/(см3-К). Оценить скорость звука s
в кристалле и его дебаевскую температуру То- Посто-
янная решетки равна а = 0,3 нм.
7.14. Одинаковые массы свинца 207РЬ и кремния
28Si охлаждают с помощью жидкого гелия от темпе-
ратуры Т\ = 20 до Г2 = 4,2К. Оценить отношение
масс жидкого гелия, необходимых для охлаждения
свинца и кремния, если известно, что дебаевские
температуры равны: 7"р(РЬ) =95 К и ^(Si) = 645 К.
Теплоемкостью электронов пренебречь.
7.15. Кристаллы существуют благодаря тому, что
среднее межатомное расстояние в них а велико в
сравнении с амплитудой «нулевых колебаний» а0, т. е.
колебаний атомов с амплитудой, определяемой соот-
ношением неопределенности Гайзенберга. Это нера-
венство выполняется вследствие существования «адиа-
батического параметра» (т/М)х/4 ~ Ю~' -С 1, где пг
и М массы электрона и ядер; Пользуясь моделью
двухатомной молекулы, показать, что для колебатель-
ной частоты о) справедлива оценка Аю ~ (гп/М) 1/2И?ат,
где WaT ~ tneA/h2 ~ 10 эВ. Пояснить, почему эту
же оценку можно применять для дебаевской часто-
ты в кристаллах. Показать также, что ао/а ~
~{т/М)Ч\
7.16. Ядро 3Не имеет спин / = 1/2. Найти моляр-
ную энтропию 5 кристаллического 3Не при низкой
температуре Т. Считать, чтб температура Т <с То
{То дебаевская температура), так что практически
все колебательные степени свободы «выморожены», но
ядерные спины остаются тем не менее полностью раз-
упорядоченными. При этих же предположениях найти
энтропию кристаллического аргона-37; спин ядра ар-
гона равен / = 3/2.
165
§ 7.2. Электроны в металлах
7.17. Вычислить фермиевские энергию, импульс и
скорость при Г = 0 для металла с изотропным ква-
дратичным законом дисперсии электронов с эффектив-
ной массой, равной 0,8 массы свободного электрона, и
концентрацией электрогюв 1023 см-3.
7.18. Для электронов с квадратичным законом дис-
персии найти связь между средней энергией W и фер-
миевской энергией WF при температуре Г = 0.
7.19. Металлический Na кристаллизуется в куби-
ческой объемно-центрированной решетке с расстоя-
нием между ближайшими атомами 0,37 нм. Найти
среднюю кинетическую энергию электронов, предпо-
лагая, что их закон дисперсии является квадра-
тичным.
7.20. Найти фермиевский импульс pF в Na, если
максимальное отклонение от 180° для угла разлета
Y-квантов, возникающих при двухфотоннои аннигиля-
ции позитронов с электронами проводимости, равно
Ф=0,20°. Поверхность Ферми считать сферической, а
скорость позитронов перед аннигиляцией равной нулю.
7.21. Давление электронного газа является одним
из основных факторов, определяющих сжимаемость
металлов. Найти давление р и сжимаемость /С элек-
тронного газа для меди при температуре Т = 0, если
концентрация электронов равна л = 8,5-1022 см-3.
Эффективную массу m считать
*V/ равной массе свободного элек-
* трона.
7.22. При температуре Т ф 0
электроны в металле рассеива-
ются, испуская или поглощая фо-
ноны. Считая, что Т <§; То, оце-
нить средний угол ф, на который
рассеиваются электроны.
Рис. 7.1 7.23. Свойства электронов в
монокристаллических образцах
металлов с большими длинами свободного пробега
электронов могут изучаться с помощью двух
микроконтактов, прижатых к поверхности металла
вдоль линии, перпендикулярной напряженности маг-
нитного поля Н (рис. 7.1). Один из контактов яв-
ляется эмиттером электронов, а второй зондом
(коллектором), регистрирующим приход электронов.
166
Определить максимальное значение Нтах, при котором
электроны доходят до коллектора. Концентрация
электронов равна я = 8,5-1022 см-3, а расстояние
между микроконтактами ^=1 мм. Воспользоваться
моделью свободных электронов с произвольной эффек-
тивной массой.
7.24. Электронный спектр щелочных металлов хо-
рошо описывается моделью свободных электронов с
концентрацией 1 электрон на атом. В магнитном поле
напряженностью Н траектории электронов являются
спиралями. Определить максимальный диаметр dma:<
спирали для электронов в калии при Я =100 Э.
Объем, приходящийся на атом, равен 1/=74 \0~21 мм3.
7.25. Получить закон преломления для электронов,
проходящих через границу двух металлов с концен-
трацией электронов «1= 1 1022 см-3 и п2= 8-1022 см-3.
Закон дисперсии, одинаковый в обоих металлах, изо-
тропен. Найти угол полного внутреннего отражения
электронов.
7.26. Вычислить частоту обращения электрона а>с
(циклотронную частоту) в постоянном однородном
произвольно ориентированном магнитном поле напря-
женностью Н при квадратичном анизотропном законе
дисперсии W (р) = рЦBтх) + рЦBту) + pf/Bm2).
7.27. Найти фермиевскую скорость электронов vf
в металле с одним электроном на элементарную ячей-
ку и «одномерным» законом дисперсии W(kz) =
= W0cos(k2a) при и70 = 0,5эВ и a = 0,3 нм (k=p/h =
волновой вектор).
7.28. В металле, кристаллическая решетка кото-
рого обладает осью симметрии z не ниже 3-го поряд-
ка, закон дисперсии электронов в простейшем случае
может быть представлен в виде W (р) = (р2 + pl)/Bm*).
Считать, что на элементарную ячейку приходится
один электрон проводимости, постоянная решетки
вдоль оси z равна a = 0,3 нм, объем элементарной
ячейки 1/= 0,85 а3, а эффективная масса т* = т&
массе свободного электрона. Найти фермиевскую ско-
рость электронов vF и определить частоту обращения
электронов «с в магнитном поле в зависимости от
угла ф между напряженностью магнитного поля Н и
осью г.
7.29. Электрон с законом дисперсии W =
= Wocos(kxa) движется в постоянном однородном
167
электрическом поле напряженностью Е, направлен-
ном вдоль оси х. Решить уравнение движения и дать
физическую интерпретацию результата.
7.30. Простейший модельный закон дисперсии
электронов в металле с кубической симметрией имеет
вид W(p) = WQ[3 cos(kxa) cos(kyci) cos(kza) |,
p = 1ik, где а постоянная решетки. Металл нахо-
дится в постоянном однородном магнитном поле на-
пряженностью Н, направленном вдоль оси г. Рассма-
тривается электрон, квазиимпульс которого в задан-
ный момент времени направлен вдоль оси к и равен
р = 5лЙ/Fа). Найти скорость v и ускорение v в этот
момент.
Указание. Использовать уравнения движения
р = (е/с) [vH], v = dW/dp.
7.31. В металле, описанном в задаче 7.30, концен-
трация электронов такова, что фермиевский импульс
в направлении оси х равен pF = nh/Ba). Чему равна
энергия Ферми U?F? Чему равны фермиевские импуль-
сы в направлениях [110] и [111]? Найти скорости
электронов на уровне Ферми с импульсами, ориенти-
рованными в направлениях [100], [ПО] и [111].
7.32. Для типичных значений параметров металлов
оценить температуру 7"*, при которой электронная и
решеточная теплоемкости становятся равными.
7.33. Оценить решеточный и электронный вклады
в теплоемкость серебра при температурах 300 и 3 К.
Дебаевская температура равна TD = 220 К. Электрон-
ную теплоемкость считать по модели свободных элек-
тронов, концентрация которых равна п = 5,9- ] О22 см-3.'
7.34. В тонких металлических проволоках длины
свободного пробега электронов при низких темпера-
турах обычно лимитируются диаметром проволоки.
Исходя из этого оценить эффективную удельную про-
водимость <Ьф тонкой металлической проволоки с диа-
метром 0,1 мм, приняв для остальных необходимых
параметров значения, типичные для металлов.
7.35. Электронная теплопроводность kT тонких ме-
таллических проволок, как и их электрическая прово-
димость (задача 7.34), при низких температурах ли-
митируется диаметром проволоки. Оценить в этих
условиях (?т)эф для проволоки диаметром d = 0,1 мм
при температуре Т = 10 К, приняв для остальных па-
раметров значения, типичные для металлов.
168
7.36. В металле, помещенном в магнитное поле
напряженностью Н, полная энергия электрона вклю-
чает зеемановскую энергию ±цб#, где цвмагнетон
Бора. В условиях термодинамического равновесия
энергия Ферми №/> одинакова для электронов с раз-
личным направлением спина. Исходя из этого опре-
делить относительную разность фермиевских импуль-
сов 6p/pF = (p+ P-)/Pf и относительную разность
концентраций 6п/п = (п+ п-)/п (где п = п+ + п-)
для электронов с противоположным направлением
спина, а также удельный магнитный момент рм элек-
тронного газа (парамагнетизм Паули). Считать, что
Цб^ <С Wf. Вычислить парамагнитную восприимчи-
вость %Na для натрия, где « = 2,5-1022 см-3, а отно-
шение эффективной массы к массе свободного элек-
трона т*/т « 0,8.
7.37. Считая, что электроны в проводниках имеют
эффективную массу т и находятся в среде с ди-
электрической проницаемостью е, а их концентра-
ция равна п, найти частоту их собственных длин-
новолновых продольных колебаний плазменную
частоту ©р. «Трением» электронов о решетку прене-
бречь.
7.38. Найти энергию плазмона (кванта плазмен-
ных колебаний) в металле, в котором фермиевская
энергия равна Wp = 5,5 эВ. Эффективная масса равна
массе свободных электронов, диэлектрической воспри-
имчивостью атомных остовов пренебречь.
7.39. Найти частотную зависимость комплексной
диэлектрической проницаемости е(со) проводники.
Объяснить прозрачность металлов в ультрафиолето-
вой области спектра. Считать, что электроны проводи-
мости описываются эффективной массой т и временем
свободного пробега т.
7.40. В отсутствие электрического тока внешнее
статическое электрическое поле проникает лишь в
тонкий приповерхностный слой металла. Определить
закон, по которому поле убывает в глубь металла,
считая, что полное падение потенциала <р <С WfA?. Oue-
нить глубину проникновения поля (длину экраниро-
вания Томаса Ферми 1Тр) для обычного металла
(nu « 1023 см-3, WF « 5 эВ, диэлектрическая прони-
цаемость е~1) и полуметалла типа Bi (no я*
»3-10i7 см-3, U?V« 2-10-2 эВ, в» 100). Темпера-
тура равна Т = 0. (Диэлектрическая проницаемость е
169
определяется поляризуемостью внутренних электро-
нов, не участвующих в электропроводности.)
7.41. Определить толщину скин-слоя б, т. е. глу-
бину проникновения в металл с удельной проводи-
мостью а электромагнитного поля с частотой а. Счи-
тать @Т-С1. Вычислить б для меди при комнатной
температуре (а«0,6-10б Ом-'-см-') на частоте v =
= 1010 Гц.
Указание. Пренебречь током смещения по срав-
нению с током проводимости.
7.42. Вычислить форму кривой циклотронного ре-
зонанса (т. е. зависимость проводимости от частоты)
для электронов с изотропной эффективной массой т.*
и временем свободного пробега т. Электромагнит-
ная волна циркулярно поляризована в плоскости, пер-
пендикулярной постоянному магнитному полю.
7.43. Считая электроны в металле свободными и
движущимися без «трения», вычислить глубину
Хд лондоновскую длину, на которую проникает в
сверхпроводник низкочастотное электромагнитное
поле. Оценить ее величину для характерных пара-
метров металлов.
7.44. Вычислить плотность тока j(T) термоэлектрон-
ной эмиссии с поверхности металла (формула Ричард-
сона). Считать, что работа выхода А ^> k^T, A раз-
ность между энергией электрона в вакууме и на
уровне Ферми металла. Эф-
фективная масса электро-
нов в металле равна т*.
7.45. Термоэлектроны,
эмиттированные из метал-
лического катода, движутся
в вакууме под действием
внешнего электрического
поля напряженностью Е и
Рис. 7.2 сил зеркального изображе-
ния. Совместное действие
этих сил приводит к понижению работы выхода на
границе металл вакуум. Найти зависимость работы
выхода (рис. 7.2) и плотности термоэмиссионного тока
от поля: А(Е) и j(T,E).
7.46. Рассмотреть движение электрона в кристал-
ле в скрещенных электрическом (Е) и магнитном (Я)
полях (E._L#). Эффективная масса электронов равна
т*, а время свободного пробега т. Применить полу-
170
ченные результаты к вычислению удельной проводи-
мости как функции магнитного поля а(Н) в следую-
щих случаях: ток течет через диск Корбино (в диске
Корбино электроды имеют форму концентрических
окружностей, а магнитное поле прикладывается пер-
пендикулярно плоскости диска); ток течет по беско-
нечной пластине, причем Е и Н лежат в плоскости
пластины. Пояснить физическую причину возникнове-
ния магнитосопротивления (т. е. уменьшения а(Н) с
ростом Н) в диске Корбино и причину отсутствия
магнитосопротивления в пластине.
7.47. Найти закон растекания объемного заряда в
проводниках и характерное время этого процесса
максвелловское время релаксации тм. Определить щ
для кристалла чистого германия при комнатной тем-
пературе (а = 0,014 Ом-'-см-!, е = 16). Считать, что
избыточная концентрация электронов, создающих
объемный заряд, мала по сравнению со средней кон-
центрацией электронов проводимости.
§ 7.3. Электроны в полупроводниках
7.48. В полупроводниках, как и в металлах (см.
задачу 7.40), внешнее электрическое поле экрани-
руется электронами проводимости. Отличие состоит в
том, что в полупроводниках электронный газ обычно
является невырожденным, т. е. подчиняется распреде-
лению Больцмана. Определить закон, по которому в
этих условиях поле убывает в глубь невырожденного
полупроводника, считая внешнее поле слабым. Оце-
нить глубину проникновения 1Вн (длину экранирова-
ния Дебая Хюккеля) для полупроводника с диэлек-
трической проницаемостью в» 15 и концентрацией
электронов rt0 « 10й см-3 при температуре Т « 350 К.
7.49. Используя известные формулы для энергии
связи электрона в атоме водорода и боровского ра-
диуса гб, получить аналогичные формулы для примес-
ного центра большого радиуса в полупроводнике с
диэлектрической постоянной е и эффективной массой
электрона пг*. Оценить эти величины для донорных
центров в кристалле InSb, где пг* « 0,013ап, m мас-
са свободного электрона, а е « 16.
Указание. Считать радиус центра большим
если он значительно превышает постоянную ре«
шетки.
171
7.50- Найти энергию связи U?3K, радиус гэк и эф-
фективную массу Мък экситона, т. е. водородоподоб-
ного образования, построенного из электрона и дырки.
Эффективные массы электрона и дырки равны щ_
и т*+, диэлектрическая проницаемость е.
7.51. Вывести формулу для концентрации электро-
нов в зоне проводимости невырожденного полупровод-
ника, в котором уровень Ферми расположен ниже дна
зоны проводимости на энергию Wf > 0. Эффективная
масса электронов равна т*, температура полупровод-
ника Т.
7.52. Найти связь между концентрацией зонных
электронов л_ и зонных дырок п+ в невырожденном
полупроводнике при произвольном положении уровня
Ферми. Ширина запрещенной зоны Wa, температура
полупроводника Т.
7.53. Исследовать и схематически изобразить на
графике температурную зависимость концентрации
электронов П-(Т) и дырок п+(Т) в полупроводнике
с мелкими донорными уровнями. Энергия связи элек-
трона на донорах Wa ной зоны.
7.54. В полупроводнике, содержащем мелкие до-
норные уровни, все они ионизированы, если темпера-
тура Т не слишком низкая. Найти концентрацию элек-
тронов П- и дырок п+, если известна концентрация П[
носителей в чистом полупроводнике (см. задачу 7.52). i
Концентрация доноров равна N.
7.55. Как изменится ток насыщения полупровод-)
никового диода при понижении температуры от 20 до,
0°С? За счет какого механизма возникает этот ток?;
Вследствие какого процесса и примерно при какой'
температуре Т* эффект выпрямления начнет исчезать?!
Диод изготовлен из материала с шириной запрещен-
ной зоны Wa =0,7 эВ и эффективными массами элек-
тронов и дырок tn* = 0,3m, m масса свободного
электрона. Концентрация примесей по обе стороны
перехода равна /гпр = 1015 см-3. Считать, что время
жизни неравновесных носителей тока от температуры
не зависит.
7.56. В полуметалле существует слабое перекры-
тие зон, равное Wo = 0,04 эВ. В результате при Г = 0
в одной из них имеется небольшое число электронов
проводимости, в другой такое же число дырок
(рис. 7.3). Найти концентрацию электронов и дырок
172
я и их энергии Ферми Wf и Wf~, если эффективные
массы равны: электронов tnL = 0,05т и дырок
_m^ = 0,03m, где т масса свободного электрона.
7.57. Рассмотреть рассеяние медленного электрона
в полупроводнике с поглощением и испусканием длин-
новолнового акустического фонона, пользуясь зако-
нами сохранения энергии и импульса. Найти зависи-
мость угла (р между волновым вектором фонона q и
начальным импульсом электрона р от р и q. Показать,
Электроны
Рис. 7,3
что при v < s (vскорость электрона, s скорость
звука) электрон не может испустить фонон, а при
!i»s электроны рассеиваются почти упруго, т. е,
энергия при рассеянии меняется мало, Считать, что
энергия электрона W = р2/Bт), а энергия фонона
() ft
G) 7
7.58. В некоторых полупроводниках длина свобод-
ного пробега электронов оказывается порядка меж-
атомных расстояний. В такой ситуации движение
электронов можно рассматривать как случайные
«прыжки» между соседними узлами. Оценить при тем-
пературе Т « 300 К удельную проводимость а такого
полупроводника, если концентрация электронов п яз
« 1018 см~3, средняя частота прыжков v та 1013 с~',
а межатомное расстояние а « 0,3 им.
7.59. Дырки, создаваемые при освещении у поверх-
ности электронного полупроводника, диффундируют
в объем, имеющий температуру 7 = 300 К, где они ре-
комбинируют с электронами проводимости. Опреде-
лить эффективную глубину проникновения /эф дырок,
если их время жизни равно т = 10~3 с, подвижность
ц = 2000 см2/(В-с).
7.60. Решить задачу 7.29 при наличии силы трения,
пропорциональной скорости: F = kv. Исследовать
возможные режимы движения электрона и вычислить
удельную проводимость такого проводника. Выяснить
173
физический смысл результатов, получающихся в об-
ласти слабого и сильного электрических полей.
7.61. При не слишком высоких давлениях гелий
остается жидким вплоть до температуры Г = 0. Так
как изотоп 3Не имеет полуцелый спин (см. зада-
чу 7.16), к нему применим принцип Паули, и атомы,
составляющие жидкий гелий-3, подчиняются стати-
стике Ферми и в этом отношении ведут себя подобно
электронам в металле. Определить температурную за-
висимость молярной теплоемкости С(Т) жидкого ге-
лия-3 при низких температурах и оценить числовое
значение коэффициента в этой зависимости, полностью
пренебрегая межатомным взаимодействием. Объем
моля жидкого гелия при нормальном давлении равен
V = 37 см3/ моль.
VIII. ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА
§ 8.1. Элементарные частицы
8.1. Пользуясь кварковой моделью, определить, из
каких кварков состоят протон, нейтрон, Я-гиперон.
8.2. Построить кварковую схему положительно за-
ряженного пиона и положительно заряженного каона.
8.3. Построить кварковую схему нейтрального
каона.
8.4. Построить кварковую схему S0- и Л°-гиперона.
8.5. В результате аннигиляции кварков qu-\-qu
возможно образование пары мюонов (г+ + (г\ При
соударении каких заряженных мезонов с протонами
можно ожидать появления мюонных пар?
8.6. Какая частица обязана образоваться одновре-
менно с К°-мезоном при соударении я~-мезона с про-
тоном в двухчастичной реакции?
8.7. Возможны ли следующие схемы распада ча-
стиц и если нет, то по какой причине:
1) й"-*Л° + я"; 2) 3~-*п + я~;
3) п -> р + Ц" + V 4) п -> р + е~ + V
5)p^n+ + V- 6) Q-^S' + H"?
8.8. «Экспериментом века» недавно называли опы-
ты по определению времени жизни протона. Теория
предсказывала, что протон распадается на пион и
174
лептоны со временем жизни т ~ Ю3' лет. Оценить,
какую массу т.ре вещества железа необходимо исполь-
зовать, чтобы за время эксперимента t = \ год заре-
гистрировать N = 10 распадов.
8.9. В Серпухове начато создание уникального
ускорительно-накопительного комплекса (УНК), вклю-
чающего кольцевой ускоритель протонов на энергию
U7 = 3-lO12 эВ и накопительное кольцо для осущест-
вления встречных пучков протонов, ускоренных до
такой же энергии. Найти, какие из самых тяжелых
ядер и антиядер могут образоваться в реакции р + р
при соударении протона с энергией lt?p = 3-1012 эВ
с неподвижным протоном и на встречных кольцах
УНК.
8.10. В 1983 г. были открыты бозоны W+ и W~.
В одном из первых обнаруженных распадов
W~ >e~ + ve наблюдался след электрона с энергией
W = 58,5 ГэВ и углом вылета его относительно на-
правления движения распадной частицы 0 = 45°. Оце-
нить минимальное значение массы mw_ W~-6o3OHa.
8.11. В 1983 г. был открыт Z°-6o3oh. При анализе
его распада Z°->n+-j-^~ найдены два следа мюонов
с импульсами р = 85 ГэВ/с при угле разлета 6 = 70°.
Найти массу и скорость 20-бозона.
8.12. В 1984 г. была обнаружена новая |-частица
как продукт распада покоящейся Y-частицы в реакции
Y->! + ?. причем энергия у-кванта оказалась равной
№Y = 1072 МэВ. Найти массу и скорость ?-частицы,
если масса покоя Y-частицы равна тус2 = 9460 МэВ.
8.13. В 1974 г. была открыта новая элементарная
частица, названная чармонием, //ijj. В одном из опы-
тов были зарегистрированы продукты ее распада «на
лету»: //i|)-»-e+ + e~. Найти массу и скорость чар-
мония, если энергии и электрона, и позитрона были
равны № = 3,1 ГэВ, а угол разлета между ними со-
ставил 0 = 60°.
8.14. В 1976 г. были получены первые указания о
существовании заряженной «очарованной» ЛГ-части-
цы, распадающейся по схеме
Л<Г -> Л° + л~ + я+ + я~.
Найти кинетическую энергию WK, уносимую продук-
тами распада Л^-частицы в системе ее покоя.
175
8.15. Определить, выше какой минимальной энер-
гии U^min встречных электрон-позитронных пучков,
имевших одинаковую энергию, могут рождаться «кра-
сивые», т. е. В-частииы. Их масса равна твс2 =
= 5300 МэВ.
8.16. Определить пороговую энергию Ш;11ор рожде-
ния пары 2-гиперонов при облучении протонами жид-
ководородной мишени.
8.17. Найти, чему равно наибольшее число пионов,
которое может быть образовано при столкновении
протона с энергией U?p = 5 ГэВ с покоящимся про-
тоном.
8.18. Оценить пробег протона до ядерного взаимо-
действия в жидководородной камере. Плотность водо-
рода равна р = 0,07 г/см3.
8.19. Определить максимальную энергию Wmax
электрона при распаде покоящегося мюона.
8.20. Определить в лабораторной системе мини-
мальную и максимальную энергии электрона, обра-
зованного при распаде мюона, имевшего энергию
10,5 ГэВ.
8.21. Определить время жизни т мюона, образо-
вавшегося при распаде положительно заряженного
каона. До распада каон покоился.
8.22. Нейтральный пион распался на два укванта
с энергиями U7[ = 3,l и U72 = 2,0 ГэВ. Найти угол
разлета 0 между квантами.
8.23. Оценить, при какой энергии W ультрареляти-
вистского заряженного пиона его пробег до распада
равен пробегу до ядерного взаимодействия в воздухе
при плотности р = 10~5 г/см3.
8.24. D°-Me3OH распадается на лету на К+ и я~-ме-
зоны. Расстояние от точки его рождения до точки
распада равно L = 90 мкм. Импульсы каона и пиона
равны рк = 3,6 ГэВ/с и ря = 1,8 ГэВ/с и направлены
под углами 0К = 1О° и 0П=2О° к направлению им-
пульса О°-мезона. Определить массу, скорость и время
жизни С-мезона. Считать каон и пион ультрареляти-
вистскими.
8.25. При распаде «на лету» й~-гиперона
(Q~->A°+ K~) измерены импульсы частиц распада
Ра =5,7 ГэВ/с и рк=2,0 ГэВ/с и угол разлета
между ними 0 = 28,5°. Определить массу Я--гиперона.
8.26. За распадом остановившегося в ядерной фо-
тоэмульсии К+-мезона по схеме К+->я++л;0 после-
176
довал распад я°-мезона по схеме я0 -> у -\- е+ + е~,
причем вершина пары е+ е~ находилась на расстоя-
нии L = 0,l мкм от места остановки К+-мезона. Оце-
нить собственное время жизни я°-мезона из этих
данных.
8.27. Какова средняя длина пути L до распада
Л-гиперона в воздухе, если его энергия Wл = 7 ГэВ?
8.28. Коллимированный монохроматический пучок-
заряженных Пионов, энергия которых И?л = 10 ГэВ,
вследствие распада постепенно превращается в пучки
мюонов и нейтрино. На каком расстоянии L от об-
ласти формирования пучка число образовавшихся
мюонов в 1,7 раз превышает число пионов?
8.29. Заряженный пион, имеющий энергию Wn =
= 420 МэВ, распадается на лету на мюон и нейтрино.
Определить энергию мюона ]Х/и в лабораторной си-
стеме, если в системе покоя пиона мюон вылетел под
углом 90° к направлению полета пиона.
8.30. Оценить примесь мюонов в слабо коллими-
рованном пучке заряженных каонов на расстоянии
L = 10 м от места формирования пучка каонов. Каоны
в пучке имеют энергию W = Ъ ГэВ. Выходом мюонов
из пучка в процессе распада пренебречь.
8.31. Для получения пучков пионов на ускорите-
лях на пути пучка ускоренных протонов ставится тон-
кая мишень. В мишени генерируются мезоны. Опре-
делить число пионов Nn, образовавшихся в мишени
в секунду, если на расстоянии 1 = 5 м от мишени ре-
гистрируется число пионов, равное п = 5-102 с-1. Ре-
гистрация осуществляется детектором, площадь кото-
рого равна 5 = 100 см2. Энергия пионов равна Wn =
= 500 МэВ. Считать, что из мишени пионы вылетают
изотропно, т. е. равновероятно под любыми углами.
8.32. В процессе рождения на внутренней мишени
мезонов с импульсом р = 2 ГэВ/с, число пионов пп
превышает число каонов «к в 100 раз. Найти отноше-
ние их чисел Nn/Nn на расстоянии / = 50 м от ми-
шени.
8.33. Определить пороговую энергию Wnop для ре-
акции ve + р -> п + е+.
8.34. В некоторых опытах по измерению времени
жизни протона используются протоны, упакованные в
атомные ядра, например ядра атомов железа. Произ-
водится поиск продуктов распада для одной из воз-
можных мод, в частности р->е+ + я°. Оценить
177
характерный угол 0 между импульсами продуктов
распада с учетом фермиевского импульса протона в
ядре pp.
8.35. Найти угол 0 между импульсами ^-квантов
продуктов распада нейтрального пиона, который сам
образовался при распаде покоящегося протона на пози-
трон и пион. Считать импульсы ^-квантов одинако-
выми.
8.36. В одном из экспериментов со встречными
пучками электронов используются два одинаковых
накопительных кольца, в которых пучки ультрареля-
тивистских частиц движутся в проти-
воположных направлениях, сталкива-
ясь друг с другом на длине взаимо-
действия / = 0,5 м (рис. 8.1). Система
счетчиков, окружающих область взаи-
модействия, установлена так, что она
регистрирует одно из 10 событий (е =
= 0,1) взаимодействия частиц. Пло-
щадь сечения циркулирующих пучков
в кольцах равна 5 = 5 мм2, эффек-
тивное сечение взаимодействия двух
соударяющихся частиц а=10-5 б.
Найти циркулирующий ток /, который
нужно накопить в каждом кольце,
чтобы системой счетчиков наблю-
дать число отсчетов не менее ~К= 10 с-'. Считать, что
плотность числа частиц вдоль орбиты постоянна.
8.37. Во сколько раз уменьшается пороговая ки-
нетическая энергия протона при генерации пары про-
тон и антипротон, если в качестве мишени использо-
вать не покоящийся протон жидкого водорода, а про-
тон, входящий в состав тяжелого ядра.
§ 8.2. Структура ядра и ядерные реакции
8.38. Исходя из формулы Вейцзеккера оценить по-
верхностное натяжение ядерного вещества.
8.39. С помощью формулы Вейцзеккера найти за-
ряд Zo наиболее устойчивого ядра изобары при за-
данном нечетном значении зФ. Выяснить, каков харак-
тер активности у ядра 27Mg.
8.40. С помощью полуэмпирической формулы
Вейцзеккера найти минимальное значение параметра
Z2/j^, при котором становится энергетически возмож-
178
ным деление ядра с четным М- и Z на две одинаковые
части.
8.41. На рис. 8.2 изображен спектр низколежащих
возбужденных уровней ядра 234U, где И? энергия
уровня, ,?? момент им- „
пульса. Показать, что эти ' g
уровни соответствуют воз-
буждению вращения ядра
как целого относительно оси
симметрии ядра. Оценить
из этих данных момент ^з 4
инерции / ядра.
8.42. Предполагая, что 43 2
нуклоны внутри ядра дви- 0 О
жутся независимо в пара- Рис. 8.2
болической потенциальной
яме, определить число нуклонов п, которые могут рас-
полагаться на трех первых ядерных оболочках.
8.43. Полагая, что перед а-распадом в ядре обра-
зуется самостоятельная а-частица, оценить отношение
интенсивностей &\l&i двух групп а-частиц с кинети-
ческими энергиями U?i = 6,3 и И72 = 5,7 МэВ, испу-
скаемых ядрами 220Rn. В обоих случаях частоту уда-
ров о «стенку» потенциального барьера считать оди-
наковой.
8.44. Оценить период полураспада хщ четно-чет-
ного радиоактивного ядра, испускающего а-частицы
с энергией 1 МэВ, если ядро 2goTh имеет период рас-
пада ti/2 = 1,4 -1010 лет и испускает а-частицы с энер-
гией 4 МэВ, а для ядра^Ро период полураспада ра-
вен т,/2 = 3- Ю-7 с и Wa = 8,8 МэВ.
8.45. При радиоактивном распаде 60Со испускается
электрон, спин которого параллелен импульсу. Оце-
нить, на какой угол ф повернется диск, подвешенный
на нити, если образец кобальта нанесен на одну из
поверхностей диска. Толщина диска достаточна для
полного поглощения в нем электронов, вылетающих
в сторону диска. Активность препарата равна 0,3 ТБк
модуль кручения нити равен f= 10~" Н-см/рад.
8.46. Образец тефлона (полимера с химической
формулой (GF2)n, где п целое число) намагничи-
вается в магнитном поле с индукцией В = 2 Тл при
температуре Г = 0,05 К. Намагничивание обусловлено
расщеплением основного состояния ядра фтора '9F
179
в магнитном поле на два подуровня. При выключении
поля образец получает момент импульса .?? = 24,2Х
X Ю~6 г-см2/с (аналог эффекта Эйнштейна
де Гааза в ферромагнетиках). Определить магнитный
момент ц ядра фтора,
8.47. Толстая мишень, содержащая п ядер/см3,
облучается а-частицами. Зависимость дифференциаль-
ного выхода исследуемой реакции от энергии а-частиц
в интервале 1 10 МэВ оказалась квадратичной:
dr\/dW = c)X/2. Определить приближенно характер за-
висимости эффективного сечения реакции от энергии
a(W). При этом в выражении для ионизационных
потерь энергии пренебречь логарифмическим и реля-
тивистским членами, т. е. положить dW/dx = A/W,
где А = const.
8.48. Хорошо сколлимированный пучок 7"квантов
с энергией U7v = 250 МэВ падает на мишень, содер-
жащую дейтерий. Вследствие фоторасщепления дей-
терия вторичный пучок содержит нуклоны. Оценить
средний угол разлета ф нуклонов после реакции. Ра-
диус ядра дейтерия приблизительно равен п «
ж 2-10-13 см.
8.49. Один из перспективных методов получения
новых изотопов синтез тяжелых ядер с их после-
дующим распадом. Найти пороговую скорость v ядер
урана, бомбардирующих урановую мишень, для ре-
акции
238» т I 238т т 476V у v
92U T 92U > 184-Л >iAj.
8.50. Определить энергии И7П нейтрона и ядра W*
6Li, образующихся при фоторасщеплении ядра 7Li под
действием v-кванта с энергией U?Y = 15 МэВ, если
нейтрон вылетает «вперед», т. е. по направлению
пучка -у-квантов.
8.51. При какой кинетической энергии WK нале-
тающего протона на покоящийся протон в реакции
Р + р-»- d + я+ некоторые из возникающих пионов по-
коятся в лабораторной системе?
8.52. Найти среднее эффективное сечение а ре-
акции а + 1зА1 -> р + uSi. Известно, что при облуче-
нии толстой алюминиевой мишени а-частицами с энер-
гией 8 МэВ выход протонов равен г) = 8-1(Н\ Длина
пробега а-частиц в воздухе равна /а = 7,0 см.
8.53. Оценить эффективное сечение о взаимодей-
ствия ультрарелятивистского нейтрона с ядром урана.
180
8.54. В урановом реакторе мощностью Р = 1 МВт
образуется в среднем п = 6 антинейтрино на один акт
деления ядра урана. Энергия антинейтрино Wv =
= 1,5 МэВ. Реактор окружен биологической защитой
(бетон). Оценить поток антинейтрино /v за биологи-
ческой защитой на расстоянии L = 5 м и долю энер-
гии г), уносимой антинейтрино из реактора.
8.55. Для получения термоядерной энергии много-
обещающей является реакция соударения двух дейто-
нов. Реакция может происходить по двум каналам.
Определить продукты реакции в обоих случаях. В ка-
ком из них выделяется больше энергии и насколько?
8.56. Какая энергия W выделится в реакции d -f- t?
Какое количество теплоты Q будет получено при сго-
рании 1 кг такого топлива?
8.57. Согласно современным представлениям на
Солнце осуществляется звездный углеродный цикл,
в результате которого из четырех протонов образуется
а частица. Конечной реакцией этого цикла является
реакция р -f- I5N -*¦ 12С + 4Не. Оценить, какая доля
энергии т) от полной энергии цикла выделяется в ука-
занной реакции.
8.58. Определить максимальную кинетическую
энергию нейтронов Ц7тах, возникающих в реакции
t 4- d > n 4- гНе под действием трития t, который сам
получается при поглощении медленных нейтронов в
6Li согласно реакции n + 6Li -> t -f- ос.
8.59. Концентрация дейтерия в реакторе поддер-
живается на постоянном уровне с помощью внешнего
источника дейтонов. Найти мощность Р, выделяемую
в 1 см3 плазмы, и полный поток частиц У от внешнего
источника, необходимый для стационарной работы ре-
актора. Температура плазмы составляет 60 кэВ, кон-
центрация дейтерия пй = 2,5-1013 см-3.
Указание. При такой температуре среднее зна-
чение произведения сечения реакции а на скорость
частиц равно oVdd = 2,5 ¦ 10~'7 см3 ¦ с
О
р
8.60. Оценить радиус R плазменного шара из дей-
терия, при котором термоядерная реакция станет са-
моподдерживающейся. Предполагается, что основные
потери энергии плазмы потери на излучение через
поверхность. Концентрация дейтерия равна «j =
= 3,0-1020 см-3, температура Г=10кэВ, audd =
= КГ20 см3, с.
181
Указание. Плазму можно рассматривать как
черное тело, непрозрачное для излучения.
8.61. Оценить минимальное значение силы тока
Imin, который необходимо пропустить вдоль плазмен-
ного столба радиусом R = 5 см для удержания его
в равновесии. Концентрация плазмы равна п =
= 7-1015 см-3, температура Т = 3-107 К.
8.62. Оценить запас термоядерной энергии W в
1 м3 воды, если использовать 10 % дейтерия, содер-
жащегося в воде, для осуществления реакции d -f- d.
Число атомов дейтерия в природной смеси изотопов
равно 0,015%!
8.63. Удельное содержание изотопа 14С, усвоен-
ного деревом при его росте, затем уменьшается вслед-
ствие р-распада. Определить возраст t деревянного
предмета, обнаруженного при раскопках, если
удельная активность МС этого предмета состав-
ляет 0,1 от удельной активности свежесрубленного
дерева.
8.64. Быстрые нейтроны, попав в воду, быстро за-
медляются до тепловых скоростей v = 2 км/с и диф-
фундируют в ней, пока не захватятся ядрами водо-
рода (захватом кислородом можно пренебречь). Оце-
нить время жизни т нейтронов в воде. Сечение захвата
равно а = 0,3 б.
8.65. Определить, во сколько раз уменьшается ин-
тенсивность узкого пучка тепловых нейтронов после
прохождения пластинки Al толщиной d = 3 см. На
выходе из пластинки регистрируется пучок первона-
чальной ширины. Сечение рассеяния и поглощения
равно а = 2,5 б.
8.66. Два цилиндрических стержня с одинаковыми
диаметрами, один из графита, другой из висмута, сов-
мещены основаниями. Через открытый торец графи-
тового стержня вдоль оси стержня падает поток теп-
ловых нейтронов. Полагая рассеяние нейтронов в гра-
фите и висмуте брэгговским, оценить, во сколько раз
средняя кинетическая энергия нейтронов WK, выхо-
дящих из висмутового цилиндра через его боковую
поверхность, меньше энергии падающих нейтронов
Wo. Максимальное расстояние между кристалличе-
скими плоскостями для графита dc = 33,5 нм и для
висмута dBi = 40,5 нм. Длина стержней много больше
их диаметров, которые сравнимы со средним пробе-
гом нейтронов.
182
8.67. Определить отношение начальной кинетиче-
ской энергии частиц дейтериевой плазмы, нагретой до
Т = 109 К, к энергии, выделившейся после «выгора-
ния» всего дейтерия в результате реакции термоядер-
ного синтеза.
8.68. Оценить, какая доля протонов космического
излучения дойдет до поверхности Земли, не испытав
ядерного взаимодействия. Сечение ядерного взаимо-
действия протонов с веществом атмосферы прибли-
женно можно считать равным геометрическому сече-
нию ядер азота.
8.69. Оценить пробег /N ультрарелятивистских ядер
азота до ядерного взаимодействия в жидководород-
ной камере.
8.70. Ядерные реакции, проходящие на Солнце,
можно изучать, измеряя поток нейтрино от Солнца.
Нейтрино с энергией в несколько мегаэлектрон-вольт
(эти нейтрино образуются при распаде ядер 8В па
заключительной стадии превращения водорода в ге-
лий) детектируются в реакции
Сечение такой реакции, усредненное по энергетиче-
скому спектру рассматриваемых нейтрино, равно а =
= 1,4-10~42 см2. Считая, что в секунду Солнце испу-
скает число нейтрино, равное iVv = 3-1033 с-', опреде-
лить, какова должна быть масса m четыреххлористого
углерода СС14 (естественной смеси изотопов), чтобы
в нем за время t=\ год произошло п = 100 актов
образования атомов ?аАг. В естественной смеси изо-
топов хлора содержится т) = 25 % (по весу) ядер 37С1.
8.71. Считая, что сечение взаимодействия нейтри-
но с нуклонами ovn (в см2) зависит от энергии W4
нейтрино (в ГэВ) как avp = AWv, где коэффициент
А = 10~35 см2/ГэВ, оценить энергию Wv нейтрино,
необходимую для его эффективного поглощения
Землей.
8.72. Оценить, насколько толща Земли ослабляет
поток нейтрино, приходящих с противоположной сто-
роны земного шара. Усредненное по энергетическому
спектру сечение поглощения нейтрино на атомных
ядрах грунта равно а « 10~35 см2, средняя плотность
грунта р = 5,5 г/см3, эффективная атомная масса
^ = 50.
183
8.73. Определить кинетическую энергию WK про-
тона, если при движении в азоте он начинает испу-
скать свечение Вавилова Черепкова при давлении
р = 5,0 МПа и выше. Показатель преломления азота
при нормальном давлении равен п = 1,0003.
8.74. С какой относительной скоростью v надо
сближать кристаллический источник, содержащий воз-
бужденные ядра |9Чг (энергия возбуждения W =
= 129 кэВ), с мишенью, содержащей свободные ядра
19Чг, чтобы наблюдать максимальное поглощение
¦у-квантов в мишени?
8.75. В цилиндрическом пропорциональном счет-
чике пучок частиц образует объемную ионизацию.
Оценить время t собирания ионов в таком счетчике,
наполненном при нормальном давлении. Радиус ка-
тода равен R = 1 см, радиус анода г = 2-10~2 см,
разность потенциалов между анодом и катодом U =
= 2500 В, подвижность положительных ионов аргона
ц = 1,4 см2/(В-с).
8.76. Для фокусировки протонов высоких энергий
можно использовать цилиндрическую токовую линзу,
представляющую собой аксиально-симметричный га-
зоразрядный промежуток (длина / = 0,5 м, однород-
ная плотность тока / = 103 А/см2). Частицы входят
в линзу параллельно линиям тока, а после выхода из
нее фокусируются. Считая линзу тонкой, найти ее фо-
кусное расстояние F. Энергию
протонов принять равной W9 =.
= 12 ГэВ.
8.77. Один из самых совре-
менных методов определения
времени жизни нейтронов по
отношению к р-распаду со-
стоит в измерении числа про-
тонов, образующихся при про-
Рис. 8.3 лете медленных нейтронов че-
рез промежуток а фокусирую-
щей системы детектора протонов Д (рис. 8.3). НаЙ1и
число протонов Л/р, поступающих на детектор, если
длина промежутка, в котором протоны распадаются,
равна а = 20 см, поток медленных нейтронов ]„ -=
= 1013 см~2-с~', скорость нейтронов и = 2 км/с, эф-
фективность сбора протонов 100 %.
8.78. Много лет тому назад в урановом месторож-
дении в Окло (Габон, Африка) «работал» природный
184
ядерный реактор на уране-235. Из массы М 200 т
имевшегося там урана выделилась энергия W =
= 3,6- 105 ТДж. Оценить, какая часть массы урана-235
ДУИ/М была при этом израсходована, если его началь-
ная концентрация составляла по = 3,5%. Время «ра-
боты» реактора много меньше периода полураспада
урана. Энергию, выделяющуюся при делении ядра
урана-235, принять равной НРП = 200 МэВ.
8.79. Естественный уран состоит из 99,3 % изотопа
урана-238 и 0,7 % урана-235. При обогащении смеси
изотопов ураном-235 до 3 % возможна цепная реакция
деления. Какое время t тому назад такой природный
реактор мог «загореться»?
8.80. Под действием нейтронной компоненты кос-
мического излучения на поверхности Земли из ура-
на-238 образуется плутоний-239. Считая, что поток
космических нейтронов равен /„ = 1 м-2-с-' и эффек-
тивное сечение захвата нейтронов ядром урана равко
я = 3 б, определить отношение концентрации плуто-
ния-238 и урана-238 при временах t » xV2 от начала
облучения (xi/2 период полураспада плутония).
8.81. Ядра кислорода 16О облучаются пучком про-
тонов с импульсом р = 10 ГэВ/с. Отбираются такие
события, когда в результате реакции
р + 16О -у |6О* + р
возбужденные ядра кислорода 1бО* с энергией воз-
буждения, равной W = 1 МэВ, вылетают в направле-
ниях, практически пер-
пендикулярных пучку, и
испускают монохромати-
ческие Y"KBaHTbI вдоль
ФЭЯ
Рис 84
Рис, 8.5
траектории ядер кислорода (рис. 8.4). Детектор
¦у-квантов регистрирует две линии, расстояние между
IS5
которыми All? = 200 кэВ. Оценить импульс ро> выле-
тевших ядер кислорода и малый угол а, на который
отклоняются протоны.
8.82. В реакторах, работающих на тепловых ней-
тронах, имеются очень медленные ультрахолодные
нейтроны (УХН). Особенностью УХН является то, что
при скоростях v < огр (обычно граничная скорость
t'rp л; 10 м/с) нейтроны упруго отражаются от стенок
при любых углах падения. Для вывода УХН из реак-
тора используют полые трубы нейтроноводы. На
рис. 8.5 изображен реактор Р, нейтроновод специаль-
ной формы и на его концедетектор нейтронов Д.
Полагая, что распределение нейтронов по скоростям в
реакторе максвелловское (при температуре Т ~
~ 400 К), найти, как зависит поток нейтронов, дохо-
дящих до детектора, от высоты его поднятия h. Оце-
нить высоту /irp, на которой поток нейтронов исчезает.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
I. МЕХАНИКА
§ 1.1 Движение материальной точки
1.1. Направим ось координат х нормально к поверхности ра-
кетки, а ось у параллельно поверхности (в плоскости падения)
(рис. 1). Пусть в системе, связанной с Землей, скорость мяча есть
V\(V{x = v\l2, v\y = 3l/2t>i/2), а скорость ракеткии. Предпола-
гается, что ракетка движется поступатель-
но. Тогда в системе, связанной с ракеткой,
скорость мяча v' имеет составляющие
vlx v\x ~ их> vly~vly~uy
После столкновения скорость мяча в дви-
жущейся системе
(условие зеркального отражения). Переходя снова к неподвиж-
ной системе, запишем выражения для составляющих скорости v2
мяча после отражения от ракетки:
По условию задачи (v,v2) = 0, т. е.
Решение этого уравнения имеет вид
их= vix, uu произвольно.
Следует, однако, подчеркнуть, что при ударе ракетки по мячу
условие зеркального отражения выполняется достаточно строго
только в случае нормального падения (в системе, связанной с ра-
кеткой). Этот случай реализуется при иа = v\y. Поэтому оконча-
тельный ответ следует записать в виде
187
1.2. атзх = v2/Rm\n = 5 м/с2, amln = o2/flmax = 0.62 м/с2,
где Я,п1п = Ь2/а = 125 м, #„,..,„ = а2/6 = Ю3 м.
* > vV(gRmin) = ОД
1.3. о (t) = о0 cos a k (do sin i + gt).
1.4. F = mg///? » 1,7 kH.
1.6. F(r)' (ro/r) U^o [(!/')+(l/ro)]exp(ro/r); r,=6 фи.
1.7. Л = (l/2g) {d2 4/H,.//|npod2(l cos а)]2} яа 0.6 Л1
1.8. a = 4*ЛЛ//2 » 0,03 рад.
1.9. Ll=2L(lkh/l)=l,6L, Li = 2L(\ + khll)*=2AL.
1.10. F = mgt (k, + k2)/{2 \l-h (fe, - *2)П-
1.11. Pmnx = P 4- m^ro sin a = 59,6 кВт.
1.12. /=(f/o0)(l 4-m,/2ma).
1.13. Wmlll = (mg/2) \h + (Z.2 + /i2I''] - 34 Дж.
tg a = vy/vx = h/L + (A2 + L2I/2/L = 1,25.
J.I4. a = 30°.
1.15. v fa Wl(mc) fa 3 1()~5 м/с
J.16. p x W/c fa 8 1O~21 кг м/с.
'-17- лшах = (°o + gl)/@g)- По параболе.
"т« = ("?/2в) - С/2) [(^/3^0 - 2/3]3.
1-18. /гтах/(«й)= 1 +[i + С^/ЛI1/2 = 6
1.19. v = то„/(/И 4- >n). I = Mvj/[2kg (M + m)].
1.20. t)l=t.C1/2)/4, d2 = (l/4)o.
1.21 rmia = ZeyWKfa-l фи.
1.22. Из закона сохранения энергии и импульса следует
mvl/2 = mo-/2 4- /И«У2 4- Л1и„/2,
отоцггЛ^Иц, то = Ми^,
где u_j_ и Иц поперечная и продольная составляющие скорости
я^ра. Отсюда вытекает, что Л) > т. Скорости после столкнове-
ния равны
о = о0 [(М тI(М 4- т)]ш, и = (mvo/M) [2М/(М + m)j1/2,
tg <р = [(М - т)/(Л1 4-тIШ-
1.23. Согласно закону сохранения импульса в случае V"Pac"
пада имеем
то г = Wtlc
Здесь т = 226-1,66- Ю7 кг = 3,75-10~25 кг масса ядра 2MRa,
№2 энергия у-кванта, которая практически совпадает с полной
энергией, освобождаемой при ураспаде, с скорость света в ва-
188
кууме. Отсюда для кинетической энергии №К2 ядра отдачи имеем
07к2 = Ц/2/Bтс2) = 0,095 эВ.
В случае а-распада законы сохранения импульса и энергии
запишутся в виде
(т - та) v{ = mava, (m - та) v~/2 + mavl/2 = W{,
где va и и, скорости а-частицы и ядра отдачи, а та масса
а-частицы. Отсюда, исключая va, для кинетической энергии УРК1
ядра отдачи получим
«7к1=('па/т)«7, = 87 кэВ.
Окончательно находим отношение кинетических энергий;
1.24. Максимальная энергия, которая может пойти на иони-
зацию, соответствует кинетической энергии, потерянной в абсо-
лютно неупругом лобовом соударении. Перейдя в систему центра
масс, получим эту потерянную кинетическую энергию:
Д^тах = ^Cs/('«Cs + ™о) = 3.56 эВ,
где mCs и т0 массы атомов l33Cs и 16О. Энергия &Wmax < Wи
т. е. ионизация невозможна.
1.25. ttrK = f-^i^ ^Л«7>3 МэВ. №, = 3,23 МэВ.
V M )
1.26. W = ^^„оДт,^ та) 1,3 МэВ.
1.27. W = Wn (I + mn/mHe) 2\VD = 3,3 МэВ.
1.28. W = A - mD//nJHe) U7D « 1,08 МэВ.
1.29. f(v, /) = d/= const.
1.30. Г = 2я(Д/?I/2=1,4 с.
1.31. Г = 2 т
1.32. r = 2
1.33. © = D/sg/mI/4.
1.34. ДГ/Г » 2/1B3й) fa 10"13, т. е. ход часов ускоряется.
1.35. WK = WJ4, WKon = й70/4.
1.36. Пусть скорость качелей при прохождении положения
равновесия равна vo и связана с начальной амплитудой <р0 соот-
ношением v% « glfl (в предположении, что углы отклонения ка-
челей от положения равновесия малы). Полная энергия качелей
в этот момент равна V^q = гт?й\2, где т масса человека. После
того как человек резко встал, полная энергия равна
Wt = mv\J2 + mgh « mg (I h) 189
где ф1 новая амплитуда. Изменение полной энергии произошло
за счет работы, произведенной человеком против центробежных
еил и сил тяжести: W{ W{) « mgh + (mtig//) ft. Сравнивая это
выражение с разностью энергий Й7| и Wo, найденных ранее, по-
лучаем
ФA+2А/О или ф[ ф0 да Зф(,А/B/),
что представляет собой приращение угловой амплитуды за поло-
вину периода. Следовательно, за период искомое приращение уг-
ловой амплитуды равно
Дф
1.37. ДГ/Г т/[2т A + 103)| = 5 10~4.
1.38. Л = .
1.39. Момент упругих сил Jty = ftp, где ф угол поворота
диска. Момент сил внутреннего трения в газе
R
r\v(r)r-2nr
Л
О
где о "(г) = флскорость точек диска на расстоянии г от центра.
Элементарное интегрирование дает
Лтр = 2?ф, где к = яг1#4/DЛ).
Как видно, при возрастании А момент сил трения Лт? быстро
убывает. Это позволяет в первом приближении не учитывать тре-
ние на верхней поверхности диска.
Уравнение движения диска имеет вид
) = 0.
Здесь S/ = тЩ2 момент инерции диска. Будем искать реше-
ние этого уравнения в виде
Ф = Фо ехр ( vO exp (± ia>t).
Тогда получим
у = kISf, о) =
где Тпериод колебаний. Логарифмический декремент затухания
о = уТ
следовательно,
1.40. Для простоты оценок пренебрежем жесткостью покрыш-
ки и камеры и предположим, что деформацию мяча можно харак-
190
теризовать только одним параметром х (рис. 2), много меньшим
радиуса мяча R (слабый удар). Тогда с хорошим приближением
можно считать, что избыточное давление р в мяче в течение уда-
ра сохраняется постоянным. При этом сила, действующая на мяч
со стороны стенки, F = pS E площадь
поверхности соприкосновения мяча и стен-
ки), может быть представлена в виде
F = рял2 « 2npRx.
Поскольку сила F оказалась пропорцио-
нальной деформации мяча х, уравнение дви-
жения мяча у стенки имеет вид уравнения
колебаний:
х + &2х = 0, а2 = 4кг/Тг = 2KpR/m, Рис. 2
где ш масса мяча. Время столкновения t равно половине пе-
риода колебаний, т. е. / « Bnm/pRI/а. Беря для оценок m =
= 0,5 кг, р= 105 Па, R = 0,1 м, получим t « 2-10-2 с.
1.41. Угол ф поворота маятника удовлетворяет уравнению
Зф + /Ф = °. гДе f я0О4/C2/) модуль кручения нити. Со-
гласно закону сохранения момента импульса начальные условия
имеют вид
ф@)=0, 9tp @) = 2WL/c,
где W энергия, излученная' квантовым генератором. Решение
уравнения движения можно представить в виде
ф = ф0 sin COtf,
где фо = ф(О)/(», со = (f/2?)il2. Для чувствительности r\ = 2q>0/W
получим
т] = 4L/(a>c$).
Отсюда найдем период колебаний;
Т = 2я/ю = ксг\У/BЦ = 19 с.
Далее, поскольку Т = 2яC7/)|/2, имеем
d = 4(я^//2ОГ2I/4 = 22 мкм.
§ 1.2. Реактивное движение. Гравитация
1.42. ц =
1.43. А = (p/pg) (m/MJ, где р плотность воды.
1.44. М = Шй ехр ( gt/u), где m.u = m{-\-m2.
< = 470с.
1.45. Выгоднее сначала включить двигатель с меньшей ско-
ростью газовой струи.
191
1.46. WK = (m0 - ц<) (о2 + vl)/2 = 2,3 МДж, где t =
= Bu/gI/2 = 20c, ов = gt = 200 м/с, or = u In (mo/m) = 275 м/с.
1.47. Д/п/,71 = 1 - exp [gR3t/u (R3 + o<)] = 86,5 %, где #3
радиус Земли.
1.48. Дт/m = 1 - exp [- gR3/Buv)] = 95,7 %.
1.49. До = a In [A + a)/(l + a - k)\ = 3,4 км/с.
1.50. um|n==o2[ln(l +a)/(l +a-fe)(l fe)] = 2,8 км/с.
1.51. |o|=2u.
1.52. Сила, действующая на пробный груз массон т со сторо-
ны Земли, равна
F=[Gm Dя/3) PaRl]/R\ = Dя/3) Gp3R3m,
где G гравитационная постоянная, рзсредняя плотность, а
Rs радиус Земли. Изменение этой силы в связи с приближе-
нием свинцового шара радиусом Re равно
AF = Dя/3) GpcRcm,
где рс = 11-103 кг/и3плотность свинца. Для измерения грави-
тационной постоянной с заданной погрешностью б необходимо,
чтобы
AF/F>tj/6=10-6, или Rc>\Q~6R3p3/pc^3u:
масса свинцового шара должна быть больше 103 т.
1.53. Пусть nil и т2массы компонент двойной звезды, 1\ и
h соответственно расстояния от их центров до центра масс и
«1 и игих скорости. Тогда, предполагая для простоты, что дви-
жение происходит по круговым орбитам, для частоты обращения
о получим
со = о,//, = о2//2 = (о, + v2)/L,
где L = I, + /2, со = 2к/Т.
Из рассмотрения сил, действующих на компоненты звезды,
вытекает, что
Далее легко получить, что G (гп{ + /щ) = 4я L Т
Аналогично для системы Солнце Земля (масса Земли М3
пренебрежимо мала по сравнению с массой Солнца Мс) получим
GMC = 4я2/,|Т^2, где Т3 1 год, а расстояние от Земли до
Солнца равно, по определению, Z-з = 1 а. е. Таким образом,
Л1 = т, + т2 = Мс (Г3/ГJ (L/L:if = (8/9)Мс.
192
1.54. Г = 2л [(L2 - 12K/2GML C/.2 + 12)]Ш = 93 мин.
1.55. ДГ/Г = (И 2h)jDRs) та 8 ¦ К)"15.
1.56. Поскольку период колебаний маятника Г оо g-]'2, то
ДГ/Г = Ag/Bg), где Agполе тяготения, создагаемое грунтом,
вынутым из тоннеля. Считая тоннель достаточно длинным, не-
трудно найти Д§, используя теорему Гаусса. В результате имеем
Д.? = 2яОрАJ/#.
Численная оценка приводит к результату АТ/Т та 10~7.
1.57. р (г) = Bя/3) pV/ (Л^ г2) р @) як 0,2 ТПа.
1.58. а V = [vl 4- 30 (Af + m)//?]1/2.
1.59. Если космонавт и спутник летят по одной и той же
орбите, то сила натяжения шнура F = 0 Эта сила максимальна,
когда космонавт, спутник и центр Земли находятся на одной пря-
мой (рис. 3). Период обраще- ~. ^
ния Т системы спутниккосмо- f У, . I г ,
навт около Земли связан с ра- / \ м\ I _^
диусом R орбиты центра масс V I ^ I J/C Т
этой системы соотношением \^^ \У ' I
= GMjR2, рис з
где М . масса Земли. Для удержания космонавта iuj ч;)оите
радиусом R + Д/? необходима дополнительная сила F, определяе-
мая из условия
4л" (R + hR)IT'i=\GM.iHR + AR)!] + F/m.
Отсюда с точностью до членоп порядка (ARIRO име?м
') 2 1(Г!Н
(здесь учтено, что массы спутника М и космонавта in много мень-
ше М\, и так как М ~> ш, то Д# ~ /) Такая же сила натяже-
ния потребуется для удержания космонавта, расположенного ме-
жду спутником v Землей. В заключение отметим, что гратшта-
ционная сила притяжения космонавта к спугничу на шесть поряд-
ков меньше F.
1.Я0. МЛ11ЛЯ с* (LyjR ,K (Г:!/ГмJ » о.П
где Т j = 2я (/?.;;/ff)l/2, ?.,, = A/2) ARA + а + Ь).
1.61. t = k(R (/яI/2 = 42 мин.
1.62. v ¦-= <и„/2) П -Ь '2 соз A80° ф)].
1.63. 7 = 1,2- П~ ! с
7 Сборник jjaj4 по физике 193
1.64. Уравнение движения ракеты в поле притяжения Луны
имеет вид
т (dv/dt) mgn + (dm/dt) и.
Интегрирование его по времени / дает (?л ускорение свобод-
ного падения на поверхности Луны)
где tn(t\) масса ргкеты после работы двигателя в течение интер-
вала времени t\. Таким обра.чом, искомый запас топлива равен
1.65. Да = »3 {[2^,-.д/(^а + ^-vi)] 1} « 3 км/с, где о3 -
средняя скорость движения Земли по орбите.
1.66. До = (й, А2) g1/2/DJ?!/2) да 47 м/с,
1.67. Fconp = Spv2 = 0,5 мН.
До = 2nN F j(mv) да 0,5 м/с (где а = 8 км/с скорость
спутника),
ДЯ = АпНлИЦртМг) я* 0,4 км.
1.68. Время между столкновениями одной и той же звезды
равно 7= lHnau) = u(ctiy/(8nNRcGMc)=2,2 ¦ 1021 с = 7 ¦ 1013 лет,
где Мс и Rc масса и радиус Солнца, t\ = 1 год, сскорость
света. В одном кубическом спетовом годе одно столкновение про-
исходит за время tcp = 2T/N = 1.4-10'3 лет.
1.69. v = { [о3 + («о - 4У'2]'' ~ 2с'аУП> гДе V3 ~ средняя
скорость движения Земли по орбите, и22-я космическая ско-
рость.
1.70. При движении в гравитационном поле справедливы сле-
дующие соотношения;
72b~3 = const, 6«7= const,
где 7период обращения, Ь большая полуось орбиты, a W
полная энергия. Отсюда имеем PU73 = const или для малых из-
менений периода и скорости а получим
ДГ/Г = - 3 bW/BW) = Зпю До/BП7),
где mмасса спутника. Поэтому, учитывая, что IP отрицатель-
ная величина, для уменьшения периода обращения нужно умень-
шить скорость спутника (Да < 0) Тогда он перейдет на эллипти-
ческую орбиту с меньшим значением Ь и через п. оборотов опе-
редит свое первоначальное положение на круговой орбите на рас-
стояние
L = nv ДГ = 3nmv27 Да/B№) = ЪпТ Да
(здесь мы учли, что для круговых орбит W = та2/2). Увели-
чив затем скорость спутника на До, можно снова перевести его
194
на исходную круговую орбиту, и относительная скорость спут-
ников станет раиной нулю
Определив п и Ло при L = 45 км и Т = 1,5 ч При п = I
|До 1 > 8 км/ч; при п = 2 |Ди| = 5 км/ч Таким образом, nmin =
= 2, Для стыковки нужно сначала уменьшить скорость отстаю-
щего спутника В на 5 км/ч, а через два оборота вновь увеличить
ее до прежнего значения.
1.71. R < 2GM:n /C/гБГ) та 4 1022 см, где kB постоянная
Болышаиа.
1.72. Не сможет, так как
v2 = BGMIR) = 11,5 м/с > опрыжка = Bg3h3I12 = 7 м/с
для Л3 = 2,5 м где g3 и ''ч ускорение свободного падения
и высота прыжка на Земле.
1.73. Ь/а = I - 2 (Ди/цJ = 0,98.
§ 1.3. Законы сохранения энергии, импульса
и момента импульса.
Неинерциальные системы отсчета
1,74. S =
1.75 /1=/2(m2/mlI/2.
1.76. Oa = (gA/3), t>H
1.77. На Землю упадет весь рой.
1.78. N = nR\hn (l + 2gR3/v2) = 7,75 ¦ 10w.
1.79. / я* 2R3(mvlMvO6pJtt\ см. где аорб орбитальная ско-
рость спутника.
1.80. * = я [т^к (m, + m2)]1/2, f" = 2f.
Д/ = 2Fm2IW (mx + tn2)].
1.81. (Я _ Яо)/Яо = (a/0 (Я з/г)''2 = 6.
1.S2. tg a = а^/а,, = 2u\/(\,5vn) » 0,9.
1.83. ,Vf//H < 2A a,/8a) «0,3, где ч0 орбитальная скорость
станции, а о, = B/3)|/2о0.
1.84. ат 1/2
1.85. 71 ^/|||
ДГ/71 = - бя/чр/g-
1.86. r = [3n/(Gp)]1/2.
1.87. Масса корабля должна уменьшиться от Ма до Mi
М = Мп ехр [ (о2 о,)/и] « 0,84 Л10.
Температура горения равна Г = и2/Bср) = 3600 К.
Г* 196
1.88. Уравнения для вертикальней и2 и горизонтальной v, со-
ставляющих скорости ракеты имеют вид
М6г = Ми sin ф gjiM. Mvx = Ми cos ф.
где М масса ракеты в момент времени t. gjj ускорение сво-
бодного падения на поверхности Луны. По условию vz = 0, по-
этому из первого уравнения имеем
М = Mgn/(u sin Ф) = MIT,
где через Т обозначена постоянная величина, имеющая размер-
ность времени и равная Т = и sin ф/#л ~ 235 с. Отсюда находим
М=Моехр( t/T).
Подставляя М и М во второе уравнение, имеем
Время t, необходимое для достижения 1-й космической ско-
рости о, = (#лгде /?л радиус Луны.
Полученное выражение для t справедливо и при ф-»-0. Это
вытекает из условия иг = 0. При ф-»-0 расход массы бесконечно
растет и. следовательно, время разгона до 1-й космической скоро-
сти стремится к нулю.
Относительное изменение массы ракеты за счет сожженного
горючего
[М @) - М (t)]jM @) = 1 - ехр (- t/T) х 0,35.
Перегрузка космонавтов равна
йэф = (йл + ^) ~ «»* ~ ^л/Ф = 1? м/с-
1.89. На круговой орбите радиусом R полная W, потенциаль-
ная Ч7„ и кинетическая W, энергии связаны соотношениями
W = Wn/2 = - WK = - GmM/BR).
После взрыва полная энергия W, оказывается равной
W, = WK + Wn (I -При <7 > 1/2 эта эиер!ич больше нуля и спутник покидает звезду
по гиперболической орбите. При q = 1/2 U7 = 0 и орбита спут-
ника будет параболой. При q < 1/2 спутник будет двигаться по
эллиптической орбите, в одном из фокусов которой будет нахо-
диться остаток центральной звезды, а большая полуось b может
быть определена из известного условия
2W,b = -GmM(l -q).
196
Принимая ro внимание выражение для W,, получим
Л = #A q)l(\ -hi)
1.9Э. ш, = М \2L2/(L, + Li)\=8M т
,П2 = М{\ -[2L2/(L, + L2)]1/!} = 1.34т.
1.91. ml = M{[2Li{Ll + L2)~'}""+ l}/B!'J - l) = 3.8 т.
mo=M{2!/'-[2I2(^ +^2)-'il/VBl/2+l)}= 1.2 т.
1.92. L = [Г20 (m + 4я/?:)р/3)/Dя-)]1/3 = 1.1 ¦ Ю7 км
1.93. R3-Rnx Юкм.
1.94. / =(od?2 sin qj/o = 23,6 м, где ш3 угловая скорость
вращения Земли. Не зависит, если пренебречь влиянием центро-
бежных сил.
1.95. Псо) = 2я/[со0A -m'V;2)]. ' («) = /a/(l - «[email protected]),
где (Og = 2x/m.
Указание. Пренебречь величинами, пропорциональными w (t).
1.98. a = arctg [я1о/A5,сг)].
I 97. При or < 2v.\in уравнение движения имеет вид
х = / cos сс0/,
где ©о = Bм/т (о2I'2; при ш2 = 2к/;;г наступает равновесие;
при (о2 > 2м/hi
* = /ch [(ш2 2^/m)/l.
1.98. о = 2|/2шЛ'.
1.99. У г» me(//e)(o%R3 sin ф г» 5 103 В.
1.100. т/М= Bsin ф 1)/2 = 0,35.
§ 1.4. Движение твердого тела и жидкости
1.101. с - а « т2Ле?,/B5'@з) = (9/2) {тс/М.^лш ,f с. =
= 1,56 ¦ Ю~|7 м/с. U7K C/Uf;, 3 = 2с/(@3/?3) = 1,3 ¦ 10й,
где ш3 угловая скорость вращения Земля.
1.102. v » 5й/Dшег0) s; 4 ¦ 1012 м/с > с.
1.103. а = пщЦЧЗ.
1.104. 1) lga>G/2)fe, 2) lg a > E/2) k.
1.105. а = wgr [r sin a (г + R) « cos ul/fS' ¦-[- mr2).
1.106. а = mgr [r sin a k (R ¦) cos a]/ / I rar2).
[.107. a = 2Й (Л1 + m) sin a/[( I/W + 3m)].
[,[08. / = 3 B It)'2 li/(\&k), где h высота, на которую бьи
поднят центр масс табуретки.
U09. va^3kR [2g/(R - г)\1'2 к Я,Ъ км/ч.
1.110. ф = arclg [2o*/(gR)}-
1.111. 0 = 4/жо^/ sin ф sin и/Л1 = 1,7 10~4 м/с.
197
1.112. /=тах
I.I 13. x^mlkr/ЗГ.
1.114. S? =2от [ша2 а (<ваI; не запиеит.
1) | F | = та2аг sin a cos a/I.
2) F = m (шд) [ш (шя) aco2l/(/(o). Здесь F относится
к верхнему креплению.
1.115. 1.116. U7n = р2/B/п), Гв = 5р2?2/Dт). k = 2/5.
1.117. В задаче слгдует различать два случая: 1) tg a = 2fe
при /г < 1/7 (скольжение), 2) tga=2/7 при /г > 1/7 (чистое ка-
чение).
1.118. Ось наклоняется в плоскости гх в сторону х иа угол
относительно оси г, равный
ф= 2/,т.хг„/Уг « 0.04 рад.
1.П9. Q = n3pnQ (RiR2L d^djKRld, +/f^,) = 62 Дж.
1.120. и = 3o2/C2nftg0 » ' об
1.121. ш = 2mxv/{MI2 + Зтх2). где л: = /
1.122. т, = Зт(///,J= D/3) т. Г = 2я (//gI
1.123. t={Bl/g)[[ +^22/^2/т11'B/,-\-ЗГ2)
1.124. t>= (gh/2)i!'2.
1.125. © = тЛ1/?о/[(т + М) Sf].
1.126. р, = р/2.
1.127. (й,/(о2= 3, vjv2= 5.
1.129. a « 5то sin ф/B/М3#зшз) = 1>27 ' 10~ '? РаД-
1.130. о = Зчо/7 = 6 м/с.
1.131. и = Eото0/7М) A - 1/R).
1.132. о = З^ - 14Мci,/E ¦ 3т).
1.133. и7 = A/2)[(тЛ)^)/(УИ + т)+5'тл2ш5/(^Ч-тг2)|, где
?У = B/5) MR2.
1.134. а = BсооЯ sin ф)/7, (о = (@2 + w2). где шг= Bши sin ф)/7,
Ша = @0 COS ф.
1.135. Г = 4я [3 (к/т + 2g//)]~1/2.
1.136. Г
1.137. Г
1.138. Г )
1.139. Г = 2я B6/Зя sin aI/2,
1.140. Г = Bя/й) {М [2Л2 + я2 (D2 + d2)]/[2 (x, + ^)]}1/2.
1.141. При устойчивом равновесии угол между тросом и про-
должением радиуса планеты равен 9t = 0, а период малых коле-
19S
баний вокруг него Т = 7УЗ'/5 « 0,9 ч; при 0 = я/2 равновесие
неустойчивое.
1.142. Г = 2я[(Зяг4р/ + 8р,а3)/(9#р,а2)]!/2 = 1,6 с
1.143. Скорость упругих волн vQ = (?ю/Р)''2 = 5 км/с. Для
оценки за время соударения / примем время прохождения волны
от одного торца стержня до другого и обратно, т. е. / « 2llv0 =
= 4-10~5 с. Неупругие явления возникнут тогда, когда в каких-
либо точках стержня давление достигнет р, т. е. потенциальная
энергия, отнесенная к единице объема, достигнет величины
р2Д2?ю). Такими точками являются точки на поверхности сопри-
косновения стержней В этих точках в момент удара вся кинети-
ческая энергия полностью переходит в потенциальную энергию
(отнесенную к тому же объему), Таким образом,
0i,2/2 да Р2/B?Ю),
и, следовательно.
v да р (р?ю)-1/2 = pvo/E[Q = 5 м/с.
1.144. W = 2nR3p2/CK).
1.145. Дг = -/=7/Bй2?ю), ДУ=/ЧA-2ц)/B?ю), где ц-
коэффициент Пуассона.
1.146. дг = 4Я A - ц - 2[12)/[тсс12Ею A - [J.)].
1.147. Относительное изменение объема
где AF= m^pa рл)/(рар1) (ра плотность воды, m масса).
Следовательно, &V/V = {рв рл)/рв, а максимальное давление
равно
Р = Ею (Р. - РлИ3 С - 2^) Р.] = 2 ГПа-
1.148. r(t/) = r0 [Л/(/г Ч-
1.149. В четыре раза.
1.150. t = (
1.151. i = S()
1.152. Для гравитационных волн скорость а и расстояние L
связаны соотношением и= (gL/2n)il2. Поэтому волновые карти-
ны будут подобны, если все размеры изменить пропорционально
квадрату скорости движения. Следовательно, скорость модели
должна быть равной 3 6 км/ч I м/с Отметим, что в данной за-
даче безразмерными параметрами подобия язляккся отношения
и\ь (gL){l2lv и Lll. [Де а ско])ость корабля. / его линейный
размер.
199
1.153. Фазовая скорость поверхностных волн может зависеть
от плотности жидкоеih p, ускорения свободного падения g и дли-
ны вол1!Ы X: v оо pngmkp. Сравнивая размерности левой и правой
частей этою уравнения, получим п = 0, т= 1/2, р= 1/2. Таким
образом, v = A(gXI'2, где Анекоторый числовой безразмер-
ный множитель.
II. ТЕРМОДИНАМИКА И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
§ 2.1. Газовые законы. Первое и второе
начала термодинамики.
Термодинамические циклы
2.1. р = (ро/Го) (Vo + V,+ V-2) (Va/T0 + VJTt + V2/T2)-{.
2.2. in = [\.ipaSl/R(T2 7',) | In (Г2/Г|), где R универсальная
газовая постоянная.
2.3. Используя первое начало термодинамики, уравнение Мен-
делеева Клапейрона и уравнение процесса (рис 2.1), получаем
С (V) = R (у - I) [у - (у + 1) V/Vo\ [I - WlVa\~\
В точке C(V) =0 прямая па рис. 2 1 касается адиабаты, а в
точке C(V) = оо изотермы.
2.4. рГ~2/3= const.
2.5. vr'/'V-b exp r_ g7-7B/?)] = const.
2.6. Согласно условию задачи dQ =dil, где Uвнутрен-
няя энергия газа. Поэтому теплоемкость С = dQ/dT = Cv. Ис-
пользуя это соотношение, первое начало термодинамики и урав-
нение Менделеева Клапейрона, находим уравнение процесса:
/T(v-"/2 = const
и выражение для работы внешних сил, затрачиваемой на сжатие
газа от объема Vo до V:
При V=V(,/2 работа равна
2.7. При произвольном уравнении состояния р = p(V, T)
dp = (dp/oV)T dV + (dpldT)v dT.
В изобарическом процессе dp = 0, отношение дифференциалов
dVjdT равно частной прои тодном (дУ/дТ)? и полому
(dp/dVJ
200
Вводя обычным образом
dV \ _ ( др \ _ _ _1_ / дУ
получаем E = у v.~.
2.8. Г=Г0A/2I/4да246К.
2.9. v = 4/3.
2.10. А = (m/ц) RT, [(ТгР\ - 1) - !п (Т2/Т,)] > 0, где ц - мо-
лярная масса газа.
2.11. Г = Го (YBO3/i/YreJ (Игел/Ивозд) « 136 К-
2.12. Обычная формула для скорости адиабатической струи
при истечении в вакуум имеет вид и = BСрГ/ц)'/2, где Цмо-
лярная масса, Срмолярная теплоемкость при постоянном дав-
лении. Используя уравнение состояния р = pRT/p. и формулу для
скорости звука s2 = ур/р. получаем v = s[2/(yl)]'/2.
2.13. Согласно формуле Циолковского mo/m = exp(vjvo), где
«о= BСрГ/(хI/2 скорость истечения газов в системе ракеты
(см. задачу 2 12) Поэтому
malm = ехр {и, [ц (у - 1 )/ByRT)]11'} да 11,3.
2.14. p = /jo[l + Ж2 {у- l)/2f/2.15. А: = 2 C 1п 2)/35 да 13 %.
2.16. А: = 50 %.
2.17. Легко видеть, что первое начало термодинамики можно
представить в виде
dQ = (Ср - Cv) (dT/dV)p dV + Су dT.
Действительно, при V = const правая часть превращается в CvdT,
а при р = const, когда dV = @V/c!T)PdT, в CpdT. Отсюда сле-
дует, что для адиабатического процесса
поэтому
CpjCv да 1 +р1/АГ/Л1/= 1,1.
Переходя в первой формуле от переменных V, Т к переменным
р, Т, с учетом тождества
(dT/dV)p (dv/dp)T (др/ат)у = - 1
получаем
dQ = CpdT- (Cp - Cv) (dTldp)v dp.
Отсюда приращение давления равно
Лр да (др/дТ)у (CpjCv) (Ср/Су - l)-i ЛГ да 1,1 ¦ 10" Па.
201
2.19. A =-- NRT (In 2 - 19/24) « - 40 Дж,
/<¦ = (In 2 19/24)/(ln 2 + 19/4) « 1,8 %, N число молей
газа.
2.20. Принимая для разности температур между тропической
и полярной областями ДГ « 50 К, получаем по теореме Карно
/(max = ДГ/Г « 0,16, где Г средняя температура на поверхно-
сти Земли. Отсюда Р = 0,lKmisJw/DnRl) яа 5 Вт/м2, где R3
радиус Земли.
2.21. Допустим противное. Изобразим участки политроп А и
В Между двумя соседними состояниями / и 2, в которых поли-
тропы встречаются, и составим из них замкнутый цикл, как
Р\
p
p
Рис 4
показано на рис. 4а. Тогда вычисляя интегралы по этому циклу с
учетом того, что на политропах dQ = CdT, получаем
dS = (С А-С в) In (уТ{). A=§dQ = {CA-CB){T2-Tl).
Здесь Т\ и Тг температуры в точках / и 2, а Са и Св тепло-
емкости па политропах Лий. Персый из интегралов аннулирует-
ся, так как энтропия является функцией состояния и поэтому ин-
теграл от нее по замкнутому контуру равен нулю. Непосредст-
венно видно, что при этом автоматически аннулируется и второй
интеграл вне зависимости от того, за счет какого фактора обра-
щается в пуль первый интеграл (Сл = Сн 'или Т\ = Г2). Но так
как работа А равна площади пи pV-диаграмме, ограниченной цик-
лом, то это означает полнок совпадение кривых А и В.
Если функция Г(р, V) неоднозначна, то это доказательстпо
теряет силу, так как возможна ситуация, представленная на
рис. 46 Здесь в точке р', V обеим политропам отвечают различ-
ные температуры, а ® Р dV аннулируется за счет сокращения ин-
тегралов по двум заштрихованным областям. Что же касается ин-
тегралов по контурам, охв;1тыиаюш.им одну и.з заштрихованных
областей, то ф ^S н ф dA отличны от нуля, так как эти кон-
туры не отвечают замкнутым циклам.
202
/a,
2.22. Прежде всего надо покачать, что адиабаты всегда идут
круче, чем изотермы. Вдоль адиабаты CvdT + [(dU!dV)T + p]dV = Q,
где U внутренняя энергия. Согласно известному термодинами-
ческому т'ождесюу выражение п квадратной скобке равно
Г (др/дТ) \ . Подставляя полный дифференциал функции Т =
= T(V,p), учитывая, что выписанное равенство справедливо
вдоль адиабаты 5 = const, и воспользовавшись тождеством из
задачи 2.7, получаем
(dp/dV)s = (dp/dV)T - (TICV) (др/дТJ < (dp/dV)r
т. е. адиабата спускается круче изотермы при произвольном знаке
(dpidT)v. Поэтому в целом никл имеет обычный вид (рис. 5). На-
правление обхода (по часовой стрел-
ке) диктуется исключительно знаком р,
работы А > 0. Из (др/дТ)у< 0 сле-
дует, что «горячая» изотерма Т[ рас-
положена ниже «холодной» 7Y Вдоль
изотермы dS = (dq/dT)idV, и по-
Э|Ому при движении по нижней изо-
терме влево (dV < 0) приращение
теплоты равно dQi = T\dS > 0, т. е.
система получает теплоту. На верх-
ней («холодной») изотерме система
теплоту отдает.
2.23. Элементарная совершаемая работа dA связана с элемен-
тарным количеством теплоты dQ2, передаваемым холодильнику,
выражением dA = (Г1/Г2 О^Ог, следующим из теоремы Карно.
Здесь Г| и Ti температуры нагревателя и холодильника. Теп-
лота С?2 состоит из двух вкладов. Первый связан с плавлением
льда, а второйг, нагреванием воды, образовавшейся при плав-
лении льда, от температуры Гпл до Т. Вычисление работы, отве-
чающей этим обоим вкладам, дает
Лпах = qN (Т/Тал -\) + NCB[T In (Г/Гпл) - (Т - Тпл)\,
где q молярная теплота плавления льда,
2.24. Максимальная работа совершается при изоэнтропиче-
ском процессе. Из равенства энтропии системы в начальном и ко-
нечном состояниях следует
cm, In
V
Рис. 5
где судельная теплоемкость воды; отсюда
Г=Г,ехр l-^m2/(cm,7'2)l
203
Далее, из первого начала термодинамики вытекает, что
¦Vax = с/л, (Т, Т2) qm2 ss 63 кДж.
2.25. Для обратимого изотермического процесса (Т = const)
из второго начала термодинамики следует, что dA = dST, где
SF = UTS свободная энергия. Поэтому Лтах = Ь?Г Так
как для идеального газа в изотермическом процессе U = const,
то Лтах = ГА5. Отсюда непосредственно вытекает, что макси-
мальная работа, совершенная при изотермическом процессе, равна
4,™' = RT[Nl In [Vx + V.2)/Vl + JValn (V, + V2)/V2]*\,8 кДж.
Для обратимою адиабатического процесса (dQ = 0) из пер-
вого начала следует, что Лта* = At/. Этот процесс является
изоэнтропическим, к условие S const приводит к следующему
уравнению для определения конечной температуры Гк:
(Nfivi + NfV2) In (TJT) + а1ГАомХ/Т = 0.
Отсюда Г« « 225 К. Максимальная работа, совершенная при
адиабатическом процессе, раина
^m=ax°nSt -U(T)-U (Тк) = (Nfivi + N.fvi) (Т - Тк) =
= [(Т - Тк)/Т In (Г/Гк)] Л^0-' «
2.26. А5 = (Я/2) In 2.
2.27. AS = Я In [(p, + р2J/Dр,р2I + 2R 1п 2. Если газы оди-
наковые, то второе слагаемое отсутствует,
2.28. Каждый из поршней совершает работу по изотермиче-
скому сжатию того газа, для которого он непрозрачен, от объема
V до объема V\ = V/2; другой газ свободно проходит сквозь
поршень. Полная работа виршних сил в этом процессе равна
А = 2NRT In (V/Vt) = B In 2) NRT.
Непосредственное вычисление изменения полной энтропии
(как суммы изменения энтропии обоих газов) показывает, что
AS = AIT в соответствии с общей теорией (см. задачу 2.25).
2.29. AS Я In 2, Ar = Bv~' - \) То » 0,32Г0.
2.30. t = (CamapVIRTBomP)(\ - Гх/Гво,а)АГ » 75 с, где
Своэд молярная теплоемкость воздуха.
2.31. Записывая
Г dS = dM-V dp = [Umidp)T - V] dp + (д?ё/дТ)р dT,
где 36--энтальпия, и воспользовавшись тем, что dS является
полным дифференциалом, получаем термодинамические тождество
(ал/дРI - v = - т (dv/dr)p.
204
Воспользовавшись им, для адиабатического процесса (dS = 0)
получаем
Для растяжения проволоки совершенно аналогично
(dT/dF)s = - aTI(cpS).
Здесь 5 = ncPlA площадь поперечного сечения проволоки. Окон-
чательно находим
ДГ = - aTF/(cpS) й! -0,03 К.
2.32. AS яй (NR/4) [т#/(яг2р)]2.
2.33. Заключим сосуд объемом V/, содержащий Nt молей ге-
лия, внутрь большого объема V2, содержащего N2 молей гелия
и N молей воздуха при той же температуре Т и полном давле-
нии р (для простоты ие учитываем, что воздух сам является
смесью газов результат от этого не зависит). Тогда энтропия
в исходном состоянии, когда гелий находится в сосуде, равна
S, = RN, 1п AЛ/ЛЛ) + RNi In AЛ/Л/3) + RN In (V2/N),
а в конечном состоянии, когда весь гелий продиффундировал на-
ружу, равна
S2 = Я (ЛЛ + N2) In [(V, + Vi)l(N, + N2)\ + RN In [(V, + V2)/N\.
Изменение энтропии AS = Sj S| нужно вычислить в пре-
деле, когда N, N2, V2 -*¦ оо, причем VilN и V2IN2 сохраняют конеч-
ные значения. Простое вычисление даег
&S = RN, In {NlV2lN2V,) = (pV.irl)\n(nlln2) & ПО Дж/К,
где п\ и «гмолярные концентрации гелия в сосуде и в окру-
жающей атмосфере.
Минимальная изотермическая работа, необходимая для того,
чтобы снова собрать такое количество гелия, равна (ср. задачу
2.25):
| Лт,п | = Т AS = PV, In (/i,/n2) « 32 кДж.
2.34. Г2 = G/9) 7^j. Изменение энтропии AS аддитивно скла-
дывается из ASext и ASint, отвечающих внешним и внутренним
степеням свободы. В изобарическом процессе
т,
l = $ Со (Г)
где Со(Т) колебательная теплоемкость. Но теплоемкость гармо-
ническою осциллятора и квантовой области (т. е, при к^Т <Ц Нш)
экспоненциально мала, и поэтому основной вклад в интеграл [дает
203
область интегрирования Г15Й{о/АБ) в которой Со ~ Я. Следо-
вательно,
и поэтому с той же точностью
AS» Я In (feB7",/to).
Физически преобладание колебательного вклада в Л5 связано с
тем, что в ходе релаксации наибольшее относительное изменение
температуры происходит в колебательной подсистеме.
2.35. Тк = (Л + Г2)/2 = 450 К, А = 0,
+ Л/Л In [(V, + l/2J/DV,V2)] «0,8 Дж/К,
где N = pVJ(RTl).
2.36. Из вывода уравнения Клапейрона К^аузиуса следует,
что Л/Г равно разности удельных энтропии пара и жидкости, По-
этому
Л5 = - Лш/Г = - Лцр Д1//(#Г2) « -0,67 Дж/К,
где m масса конденсирующегося газа, а А У его объем.
2.37. К = 1 - 1п 2.
2.38. Л = щитрг/Bр) яа 1,44 мДж, Q = т$рТ/р да 4,33 Дж.
§ 2.2. Реальные газы. Теплопроводность. Вязкость
2.39. а яа 1,5 Ю ЯГУ « 3,6 мПа-м°/моль2, где R универ-
сальная газовая постоянная.
2.40. Используем уравнение соответственных, состояний для
газа Ван-дер-Ваальса:
и следующее из него соотношение ркр^кр = C/8) ЛГкр. Тогда
Зокр
где Ц молярная масса, а р,.Р плотность в критическом состоя-
нии; очевидно, что рКр = liV«p. Окончательно находим; р яа
яа 90 атм, рид ~ 100 атм.
2.41. Л5 = (Су - R) In (Г2 - Г,).
2.42. Л: = 1 - [(I/, - 6)/(У„ - 6)]Л/С1/.
2.43. Л5 = NCV In (Т1Тй) + NR In [V/(V0 - NVJ3)],
гд- 7" = Г ( - (9/8) (Д/Су) Гкр (A/VKp/VQ), V = NRTIp^. Оконча-
тельно получим
А5 = -25,5 Дж/К.
203
2.44. Используя уравнение газа Ван-дер-Ваальса, находим, что
р = 5ркР, а изотермический коэффициент всестороннего сжатия
и, = Fр„р)-'. Записывая уравнение колебаний поршня массой т,
получаем
Учитывая известное соотношение V = VKp = ЗЬ и условие равно-
весия поршня nig = 5рКр5, находим окончательно
2.45. Адиабатическая (лаплассооская) скорость звука опре-
деляется формулой s2 = (<5р/ф).5. Дифференцируя выражение для
давления газа Ван-дер-Влальса и подставляя в коэффициенты
критические значении параметров (Гкр = 8alB7bR), молярный
объем VKp = ЗЬ), убеждаемся, что коэффициент при dV аннули-
руется и dp = (R/2b)dT. Обращение в нуль коэффициента при dV
означает, что (др/др)г = 0, т. е, в критической точке обращается
в нуль изотермическая (ньютоновская) скорость звука. Диффе-
ренцируя в критической точке энтропию и полагая затем dS = О
(адиабатический процесс), находим
CvdT + Da/27b!)dV = 0.
Поскольку плотность р = \i/V, где р молярная масса, для
адиабатической скорости звука в гпзе получаем окончательно
2.48. / = [mc//BSfeT)] In {[(Г,)„ - GH1/(Г, - Т2)} » 3,2 ч,
где с удельная теплоемкость воды.
2.47. / = [2т,Л/(я1)](Г«- rj)-1 In (i^r,).
2.48. AS = 15/? In 2 » 86.5 Дж/К.
2.49. Д5 = 8Л In 2 i« 46 Дж/К.
2.50. oma, = pg-ftd=/(8dji)»2,3 см/с,
mt = {2/3) d,/pomaxiw0,12 ,\tr/c.
2.51. Мысленно выделим в жидкости цилиндрический слой с
произвольными внутренним и наружным радиусами и осью, сов-
падающей с осью трубы. Так как движение жидкости в нем ста-
ционарно, а давления иа обоих торцах равны, то полные потоки
импульса через его внутреннюю и наружную поверхности также
равны. Поэтому поток импульса II (г) через цилиндрическую по-
верхность радиусом г, взятый в расчете на единицу длины,
П = 2лгц dv/dr = const,
не зависит от г. Здесь v (r) скорость потока жидкости. Инте-
грируя это соотношение, находим
v + (П/2ят]) In r = const
207
и, используя граничные условия о(л,) = v0, v(r2) О, получаем
окончательно
2.52. Выделим в жидкости цилиндр радиусом г, ось которого
совпадает с осью трубки. Условие стационарного движения жид-
кости внутри цилиндраравенство потока импулься через боко-
вую поверхность разности сил, действующих иа торцы:
2nrx\ dv/dr = яг2р//,
где р перепад давления между концами трубки, т] = vp дина-
мическая вязкость, a v(r) скорость потока жидкости. Интегри-
руя это уравнение с граничным условием v(r0) 0, получаем
Интегрируя pv(r) по сечению трубки, находим поток массы
(формула Пуазейля)
dmldt = я
где h(l) высота столба жидкости, а р = pgh перепад давле-
ния. Интегрирование этого уравнения дает
m(t) = m0 fo
что. совместно с начальным условием т0 = яЛд/р, приводит
к / = 8v//(gr0).
2.53. Пусть узкий слой толщиной Аг между двумя плоско-
, стями заполнен жидкостью с ди-
* намической вязкостью т\, а сами
плоскости движутся в направле-
нии оси х со скоростями vx и о*+
vx (рис. 6). Тогда силы вязко-
го трения, действующие на эти
плоскости, соответственно будут
равны г]До*/Д2 и г]До,/Д2 (в рас-
чете на единицу площади). Пол-
ная диссипнруемая мощность в слое определяется соотношением
г] (Днх/Дг) vx + ц (До^/Дг) (vx + До*) =
= ц (Дих/ДгJ Дг & ц (dvx/dzJ Дг.
Поскольку разность давлений на концах капилляра р = pgh, то
распределение скоростей в нем (см. решение задачи 2.52)v(r)
Выделяя ь жидкости тонкие иилинпрмчрские слои и применяя
полученною выше формулу для диссипации, получаем для полной
208
мощности, диссипируемой в капилляре:
о
2.54. Р = 2it3 (if1 + q{) itfV » 0,75 Вт.
§ 2.3. Молекулярно-кинетическая теория.
Явления переноса
2.55. р Я! 4 (Г/Го) Ро л» 5 МПа.
2.56. Г яй (<Л0 + stT) W/(&nf>rlR) л; 108 К,
p^W/Bnr[])ai 1014 Па,
где ^п и -5$гатомные массы дейтерия и трития, # универ-
сальная газовая постоянная
2.57. dp = Dя/3) «я (т/2лйБГK'^ ехр ( mvll2khT) v' dv,
о0 = 2(?БГ/т):)/2.
2.58. dN = яп (т/2яйБГK'2 ехр (- mv2/2knT) oJ do,
2.59. Л/= мб/4. б (8*:в7"/я'п).
2.60. а0 = EА:БГ/лг) = (Зо'/ЗI'2 F,{ = 2ftБГ.
2.61. oHB/(o5)U2 = 2-1/'J.
2.62. Z = n(ftB772nmI/2.
2.63. / (/) = (Nt)rlt<) (т/2яйвГK/2 ехр ( тг211к
t0 = (л/2) (m/kBTf\ vQ = 2 (feBr/m).
2.64. При работающем двигателе прострапствеииое распреде-
ление газа в кабине неоднородно из-за наличия сил инерции в
системе, связанной с ракетой. При выключении двигателя оно по-
степенно переходит к однородному.
1) При квазистатическом переходе к однородному распреде-
лению газ совершает работу против сил инерции. Работа, связан-
ная с перемещением газа при бесконечно малом изменении уско-
рения Да, равна
ДЛ J^Fibxt^Y, пца bxi = Ма ДХ = ma (dX/da) Да,
; i
где суммирование по i распростраиеио на все элементарные объ-
емы, mi их массы, Axi их перемещения, X(а) координата
8 Сборник задач по физике 209
центра тяжести газа. При \iah/(RTt)) < 1 легко получить
„ Л / 1 |мА
Л~ 2 V1 6 Ж
В этом же приближении при вычислении dX/da можно прене-
бречь изменением температуры, которое вносит поправки высшего
порядка малости. Следовательно,
dX/da = \ih2l(\1RTa).
Работа
О
А = М [ a (dX/da) da = M\nh2 a2j B4 RTa)
a
в условиях теплоизоляции (Q = 0) определяет изменение вну-
тренней энергии:
где N число молей. Окончательно находим
т -т - l
V
2? cv [щ;)
Так как процесс протекает обратимо, ти энтропия неизменна;
5, = S».
2) При мгиовеииом изменении ускорения газ за время вы-
ключения двигателя ие успевает переместиться и поэтому не со-
вершает работы против внешних сил. В результате Q = А = 0,
и поэтому энергия, а следовательно и температура, не изменяются.
Энтропия может быть вычислена согласно общей формуле
5 = R ? Nt In
где v(r) молярный объем в точке г. Но проще воспользоваться
тем фактом, что начальные (исходные) состояния газа в обоих
случаях совпадают, а конечные состояния различаются темпера-
турой на 7"о7"i. Поэтому изменение энтропии
S2 - 50 - (NCy/t0) (То - Г,) = A/24) (MR/ii) (pah/RT^,
2.65. /±S = (R/24)(iH?,2r2/2RTJ (см, решение задачи 2,64).
2.66. Из-за малости отверстия можно считать, что его сущест-
вование ие влияет на распределение атомов газа (по объему и по
скоростям) и что поток идет по типу молекулярной эффузии, По-
этому поток частин равен / = Snu/4, где п концентрация, а
С средняя тепловая скорость. Средняя энергия, уносимая каж-
210
дым вылетающим атомом массой т
превышает среднюю тепловую энергию U?' = ЗйБТ/2 на *Бг/2.
Поэтому для того чтобы поддерживать постоянной температуру
газа, надо подводить поток тепла JQ = (kBT/2)J. Уменьшение
концентрации во времени определяется уравнением
d (nV)/dt = / = Snv/4,
откуда n(t) = па exp ( t/x), x = 41//(S6), следовательно,
'q @ = (*б778) -SSra() exp (- t/x).
2.67. Задача очень близка к предыдущей. Записывая законы
сохранения числа частиц и энергии:
d (nV)/dt = J, d CkBTnV/2)/dt = 2kBTJ,
исключаем из них п и dn/dt. Тогда для T(t) получается уравне-
ние
dT/dt = STtS (T)/A2V),
которое с начальным условием Г@) = 7"о дает
Т (t) = То [1 + E/61/) (kBT0/2nmtf2]-\
2.68. Tl = kBT/2.
2.69. F = pS/2.
2.70. p » (v/4nr2) (mkBT/2yI12 л; 10~5 атм,
где m средняя масса молекулы воздуха, г ее радиус, у =
= Cp/Cv.
2.71. Применяя формулу Стокса для силы сопротивления при
вязком движении, получаем
g(p Ро) V Р
где р плотность алюминия. В осадок выпадают частицы, для
которых средняя высота столба, оцененная по барометрической
формуле, А ~ k5T/(mg) ^Z.r (inмасса частиц за вычетом мас-
сы жидкости в том же объеме),
Ро)*]1/4~о>8<1О~4 см-
8* 211
Следовательно, в алюминиевой краске такие частипы выпадут в
осадок.
2.72. (ДлJ = 3?:Б77г/[ял;](рст рж) g]. Критериями являются
условия
h » kBT/(m*g), (m*J a Fw0)-2,
где т* = Dя/3) (рст рж) rfj, т| динамическая вязкость.
2.73. о= pNAr2eE/((i\ipt) а* 7,2 10~2 см/с, где о. элементар-
ный заряд, WA постоянная Авогадро, \i молярная масса.
2.74. оДр = ей/?/(т«2) « 15 м/с, где т масса иона аргона,
V и (У2)!/2 его средняя и среднеквадратичная тепловые скоро-
сти.
2.75. Так как по условию задачи пар у поверхности воды яв-
ляется насыщенным, то темп испарения лимитируется скоростью
диффузии пара по трубке. Уравнение, определяющее баланс мас-
сы при испарении и диффузии, имеет вид
_ dh__ рнас О
dt 2р / - Л '
где h (t) высота столба жидкости в трубке, р плотность воды,
D коэффициет диффузии молекул пара. Интегрируя его с на-
чальным условием Л@) = 1/2 и используя D « (l/3)ufnp, нахо-
дим для времени испарения:
/ = 9#7-р/2/Dб/пррнасц) » 160 сут,
где цмолярная масса воды.
2.76. Так как /пр > d, то при течении газа по трубке роль
длины пробега будет играть диаметр d и поэтому эффективный
коэффициент диффузии D^covd. Поток газа, протекающий по
трубе, равен
/ = (nd2/4) Оэф (dn/dx) со d\
поэтому при уменьшении диаметра трубки вдвое концентрация
газа в сосуде возрастает в 23 = 8 раз.
2.77. При давлении р = 10-* мм рт. ст. длина свободного
пробега /пР ~ 1 м s> г, т. е. течение будет киудсеновским. В этих
условиях поток частиц равен
У= B/3) шЧ (и-и,)/Л
где пконцентрация в объеме, п\ концентрация на выходе из
трубопровода, a v средняя тепловая скорость. Этот поток свя-
зан с производительностью насоса, работающего на выходе из
трубопровода, соотношением У = щ]/^\ Производительность Vt,
которая обеспечивает протекание того же потока при откачке не-
212
посредственно из объема, удовлетворяет условию N = nVi. Ис-
ключая из полученных трех уравнений п и п\, находим
з
2.78. J = vKpHac/DkBT), где v средняя тепловая скорость.
2.79. / == Л2рв/BОрнас) « 257 сут, где ра плотность воды.
2.80. х = (rf-t/st,I12 / да 5,7 см. Z, = Z2.
2.81. /диф ~ 10"/турб.
§ 2.4. Флуктуации. Фазовые переходы.
Поверхностное натяжение
2.82.-^ 4J-=Л/
Л/
/2=2(- I
V pvSt )
N \ pvSt
w (N = 0) = ехр (IV) « ехр ( 1012),
где 5 средняя тепловая скорость.
2.83. Используя определение средних и распределение Больц-
мапа, получаем
1)
U
- 11/2
(U(l)-U)>exp(-U(l)/kBT)dt\
J
A) ехр (- U
где U (|) = х?72;
К~Киу\ш
U
для молекул с линейным и нелинейным расположением атомов;
[п *1 1/2 г* Q -| 1
CiV - 5) J " L 3 (ЛЛ 1) J
2.84. Так как температура остается неизменной, то флуктуа-
ция давления целиком связана с флуктуацией числа частиц. Вос-
пользуемся связью между вероятностью и энтропией. Энтропия на-
чального и конечного состояний равна
S0 = 2/?AMn(V7A/),
5 = R (N + ЛЛА) In ., ^' , + R (N АЛ/) In ., V, .
213
где N число молей газа в каждом из сосудов, a AJV =
= 1/Др/(#Г) число молей, перешедших из одного сосуда в
другой при флуктуации, Rуниверсальная газовая постоянная.
При |ДЛ?| <§; N получаем
Д5 = - R (ДЛ07ЛГ, w/w0 = ехр {- nV (Др/рJ},
где лравновесная концентрация молекул газа. Окончательно
находим
V = (kBT/p) (р/ДрJ In (wQ/w) « 4 см3.
2.85. Поместим объем V\ внутрь резервуара с объемом
также находящегося при нормальных условиях. Рассматри-
вая флуктуации температуры, считаем число молей в объеме 1Л
и вне его (Nt и Ni соответственно) фиксированными. Вначале бу-
дем считать резервуар полностью изолированным, так что Q =
= А = 0, тогда постоянство внутренней энергии выражается
формулой
Изменение энтропии, связанное с флуктуацией температуры,
Д5 = Nfv In (I + ДГ./Г) + Nfv In A + Д7уГ)
при №|<^ в области малых флуктуации приводится к
AS = -A/2)^^7-,/ГJ.
Таким образом, распределение вероятностей является гауссов-
скимг
w (ДГ,) со ехр {- A/2) JV, (Су/къ) (АГ,/ГJ}.
Но для гауссовского распределения tu(|)coexp(?2/2Я,2) средне-
квадратичная флуктуация произвольной величины | равна
I- ехр (- g
[ ехр (- |2/2Л2) dl
оо
Поэтому применительно к нашей задаче (ДГ(J = 1
Так как еще pVi^NiRT, то окончательно находим
V{ = (R/Cv) (къТ/р) (Г/ДГJ « 2,5 Ю-8 см3.
Размер резервуара 1Л> из последних формул выпадает. Отсюда
легко понять, что условие изолированности резервуара является
несущественным; процессы, протекающие на очень больших рас-
стояниях, не могут влиять на местные флуктуации.
2.86. ; = (рй/4/гБГ)(лл7/2) «3 109 с,
2.87. m
2.88. Энергия, связанная с возникновением изотермической
флуктуации объема, определяется работой против квазиупругой
силы (dpldV)ThV. Поэтому энергия равна
а вероятность флуктуации в соответствии с распределением
Больцмана равна
w
т. е. распределение вероятностей является гауссовским. Средне-
квадратичная флуктуация (ср. задачу 2.85) равна
= *БГ| (dV/dp)r\.
Вычисляя (dpldV)i для газа Ван-дер-Ваальса и полагая за-
тем в производной молярный объем равным критическому, нахо-
дим
(Kvf/V2 = Db/ZNAV) T/(T - Гкр),
где Л/а постоянная Авогадро. Видно, что флуктуации резко на-
растают при приближении к критической точке. Если Т я* Гкр, то
Л/aV я* 36iV, где N число молекул газа в объеме V. Тогда
(Kvf/V2 « D/9ЛП Т/(Т - Гкр).
2.89. Длительности времени пребывания системы в однородном
и разделенном состояниях (/о и ?0 относятся как соответствую-
щие вероятности, которые в свою очередь могут быть выражены
через разность энтропии этих состояний S, 5( = 2Nk^ In 2:
t0 _ wa _ ¦So S, _ 2N
Время <| разрушения разделенного состояния по порядку вели-
чины равно времени разлетаиия молекул: t\ ~ l/v ~ 10~4 с
(I ~ 10 см размер сосуда) Время <0 имеет смысл времени ожи-
дания для образования разделенного состояния: ta ~ 1010 лет ~
~ Ю17 с- Отсюда находим
215
2.90. (To - Т)/Т3
где (Хвозд и Мп молярные массы воздуха и водяного пара.
2.91. 11,6 г/м3.
2.92. ДЛ = 2,3 кДж/кг.
2.93. рнас = 1 атм, /нв = 26,3 г, /ивозд = 42,3 г.
2.94. -3,2 %
2.95. Т = 2 "С.
2.96. В соответствии с известной формулой для температур-
ной зависимости давления насыщенного пара запишем
где Л = ЛудЦ молярная теплота испарения. Условие открыва-
ния клапана: F = (яA2/4) (р(Т) р0) яа 18 Н.
2.97. Давление в подземном резервуаре р = ро + pgh, где
Роатмосферное давление. Кипение наступит при р(Т) = р, где
давление насыщенных паров равно
Кипение прекратится, когда температура воды, понижающаяся за
счет кипения, сравняется с Го. Это произойдет после того, как вы-
кипит масса воды
Дт » (ntC/A) (Т То),
где С молярная теплоемкость воды. Определяя из первого урав-
нения Т, затем из второго находим hm/m яа 0,14.
2.98. Согласно уравнению Клапейрона Клаузиуса, вдоль
кривой плавления выполняются соотношения
dp/dT = qj(T AV). q = T(Sm-STB),
где Д1/ изменение молярного объема при плавлении. Минимуму
давления dp/dT = 0 соответствует q = 0. Из данных по энтро-
пии обеих фаз следует, что соответствующая температура
rm]n = Го 1п 2^0,15 К.
Теплота плавления q = RT^/To RT In 2 описывается параболой,
которая проходит через нуль при Tmin. При более низких темпе-
ратурах q уникальным фактом и называется эффектом Померанчука. Отри-
цательному q отвечает падающий участок на кривой р(Т). Под-
черкнем, что для гелия-3 он возникает в условиях Д1/ > 0 (в ог-
Личие от обычной ситуации, когда он возникает вследствие Д1/<0,
как это имеет место для системы вода лед).
216
Интегрирование уравнения Клапейрона Клаузиуса дает
Р (Г) = рт1„ + (RT0/2AV) (T/TQ - In 2J.
Отсюда р@) яг 32,5 атм.
2.99. Уравнение механического равновесия, определяющее
распределение давления внутри ядра:
dp/dr = - pg (r) = -4nGp2r/3,
где G гравитационная постоянная, a g(r)ускорение свобод-
ного падения. Согласно уравнению Клапейрона Клаузиуса, для
кривой равновесия фаз можно записать
dp/dT = ql(T Д1/) = - p*q/(T Др),
где ДУ изменение удельного объема при плавлении, Разделив
эти уравнения друг на друга (в точке г = Rr, где они справед-
ливы одновременно), находим
= Dя/3) (Y Др/Это уравнение связывает радиус R^ твердой части с температурой
Т. Учитывая также, что
dRT dRr/dt I dRT
~W= dT/dt ^~~u~dT~'
находим
Д#т = C/4я) {qailG bpRT) & 35 км.
2.100. Внутренняя энергия системы
U = mnUn + тжиж,
где Un и 11Ж удельные внутренние энергии пара и жидкости.
Дифференцируя U по Т с учетом сохранения полной массы тп +
4- тж = const, получаем
(тп + гаж) сс = (Un иж) diria/dT + CRmn/n + свтж).
В первом члене Un 1)ж = Луд RT/p (Луд = Л/(х удельная
теплота парообразования, т. е. разность энтальпий в расчете на
единицу массы), и в соответствии с уравнением Клапейрона
Клаузиуса находим
Окончательно получим
да 104 Дж/(кг«К).
2,101. Ответ получается из решения предыдущей задачи пре-
дельным переходом |->-ос!
су = ЗЯ/р, + (И/ДИ (Л/ц #Г/цJ да 7 104 Дж/(кг ¦ К)-
217
2.102. После открытия крана больший пузырь увеличится
в него перейдет воздух из меньшего пузыря, который превратится
в пленку, закрывающую выход из трубки. Полное приращение эн-
тропии газа равно
AS=A6jiln2)ar;;/C7").
2.103. Полное приращение энтропии складывается из прира-
щения объемной и поверхностной энтропии. Приращение объем-
ной энтропии
(AS)o6 = JV* In (V'/V) = Dя In 2) por3/T,
N число молей газа, V и V его конечный и начальный объ-
ем. В принятом приближении давление внутри пузыря равно ро.
Удельная поверхностная энтропия SyR = qT, где q теплота изо-
термического образования единицы поверхности, что следует из
обычного определения dQ = TdS. Поэтому
(AS>noB = 2 ¦ 4lt t(r'J - r2l 4/T = Мяг24/Т-
Окончательно получим
AS= B4nr2/T) \q + A/6) por In 2].
2.104. ДГ = (RT2/A) In [I + 2а/(р„г)] « 3,5 К.
2.105. V< (RT^f [2лгУв/(орна(,)] « 8 см3,
рв плотность воды, ц ее молярная масса.
Указание. Имеется в виду устойчивость по отношению к
испарению капли с усилением пересыщения пара.
2.106. Т = Г, [1 + 2а/(фвЛуД)] да 10,16 "С, где рв плотность
воды.
III. ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
§ 3.1. Электростатика
3.2. р (г) = -t^V = const, v = ~ Д /-:^=2,5 1015 Гц,
¦ v ' 4яг3 2it V 4ne0r3me
где me масса электрона. Найденное значение частоты v отно-
сится к оптическому диапазону.
0 2
qi q2
33^^ F
16я
218
3.6. а- ?\l . h 1 =-2,6. 10-" Кл/см2.
3.7. На электроны, вылетевшие из отрицательно заряженной
пластины, действуют сила со стороны электрического поля в кон-
денсаторе F\ = еЕ и сила электрического изображения F2 =
= е2/Dяео'4х2). Полная сила, действующая па электроны, есть
е2
Из этого выражения следует, что электроны замедляются до тех
пор, пока х < Ve/U6jieo?) . Скорость электронов минимальна на
расстоянии от пластины, равном
(Отметим, что приведенное решение ие учитывает пространствен,
ного заряда, который может образоваться вблизи заряженной
пластины.)
3.8. На внутренней поверхности сферы ot = q/(l8nr2), на
внешней о% = qRAnr2). После заземления a[=ai, a2 = О
3.10. Для изолированной сферы
-S-) -3 Г = 2'9; ("F-1. -3 + -V-3.1.
Для заземленной сферы
3.11 Поле на поверхности шара Е = ЗЕ0cos 6;
1) Е = Е0 при cos 9= 1/3;
2) ? = 2?п при cos 9 = 2/3.
3.12. 1) Е = 2Я0 в точках, лежащих па расстоянии / =
= ± -^2 г от центра шара по направлению поля;
2) Е = ?0/3 в точках окружности радиусом г, = -^3/2 г,
плоскость которой перпендикулярна ?о и проходит через целтр
шара.
3.13. На оси кольца на расстояниях / = ± r/V2" равновесие
устойчиво, в центре кольца неустойчиво.
3.14. У вершины бугорка напряженность поля равна ?| =
= 3?0, У основания ?2 = 0. Пробоя ие будет.
219
3.15. F :
2пваг A - г2//2) "
3.16. а (9) =-^i-cos 0.
24ло^
3.17. У7 = -р (притяжение).
0^
3.18. F = ji (отталкивание)
3.19. Изображение состоит из диполя /j, = рэ/8 и заряда <7] =
рэ/Dг), расположенных па расстоянии г/2 от центра сферы.
f =
2Р2,
27яе0г4 '
3.20. При Or в центре сферы будет располагаться диполь-
изображение с моментом рэ = 2r3qlP.
3.21. Е = р//Cео)> где /вектор, направленный от центра
шара к центру полости
3.22. сг(б) = Зео? cos 9 Вне сферы поле диполя с электри-
ческим момеитом рэ = 4лепг3Е.
3.23. о = г V2/(mea) == 2,2 ¦ 10 см/с, где е и те заряд и
масса электрона.
3.24. v = cт;; „ .-, . Нерелятпвнстское приолижа-
A + тсс2а/е2)
ине справедливо при а > е2/(/нес2) = 2.8 10~13 см.
3.28, r = 4-^Y=l,7.10-n см.
5 mee2
3.27. Для жесткого диполя U7 = (рэ.?), для упругого ди-
поля W = (РъЕ) = 1.
/ f
3.28. Я = -^-^=17 ед. СГС=5,1 кВ/см,
3 ед. СГС = 1,3 кВ, где тр масса
протона.
3.29. pmin- qH д/^ = 240 см/с.
(/ + r,J v m
220
2 .
3.30. U = -4-^--т « 14 мкВ.
3.31. U= EfRn =10~4 ед. СГС = 0,03В.
zn
8.32. а
4лг2 V е2 6i )'
п
3.33. ф =
3.34.
4ле0ег
1 8 1 GL s I
F=*-. '",, = Г2 ;р -7т- притяжение).
4ле0 4/2 16пе0 е + 1 I2 v
8.35. Механическое напряжение перед пробоем а =,
-5?-г ж 240 Па; так как а < ар, произойдет пробой.
е)' а2 = еа'
(ст/4ео8) C + 2x2/d2), 0 < х < d,
8,37. Е(х)=-< а/Dв0), х < 0,
I а/D80), х > d.
Г (ст/
I +
8.38. ?2«=--^l--?-J, Dt = D
Е =? + =
3.39. Е^ = Р/Bе0), fi^/йд = (Цг)\
3.40. ?„ = ? 2A/D = 12 В/см.
3.41. Е =
ha
3.42. ?„ =
* ' Jt8.44. Напряженность поля в пластине пьезодиэлектрика раина
Р
вне пластины Е2 = 0.
Разность потенциалов между боковыми гранями пластины
221
3.45. Проводящий шарик радиусом г приобретает во внеш-
нем однородном поле Е электрический дипольный момент
р9 = 4пеог3Е.
Здесь вследствие малости концентрации шариков пренебрегаем их
взаимодействием. Единица объема идеального газа, состоящего
из проводящих шариков, приобретает во внешнем поле электри-
ческий момент Р, равный
Р = reps = 4ле„гег3Е.
Теперь можно записать
D = ео? + Р = е0 A + 4лгег3) Е = еое?.
Отсюда следует
е = 1 + 4ппг3,
3.46. Дипольный момент рэ атома аргона во внешнем поле
напряженностью Е можно записать в виде
рэ = Zxe = е.оаЕ,
где х смещение электронной оболочки, Z число электронов
в атоме, а. атомная поляризуемость:
<х= Zxe/(e,0E).
Диэлектрическая проницаемость е связана с атомноР поляризуе-
мостью а соотношением
е = 1 + геоа,
где по = 2,69'1025 м~3концентрация атомов при нормальных
условиях (постоянная Лошмидта). Следовательно,
1Я 2.10~16 см.
Обратим внимание, что атомы имеют размер порядка Ю-8 см,
что значительно превышает их деформации в электрических по-
лях,
3.47. В электрическом поле молекулы газа приобретают дн-
польный момент р, = во<х? и энергию W = рэ?/2 = е0а?2/2.
В силовом поле молекулы имеют больцмановское распределение:
п = п0 ехр ( W/kfiT) = п0 exp (e0aE2/2kbT),
где Поконцентрация молекул вне конденсатора, feB постоян-
ная Больцмана, Подстановка числовых значений показывает, что
показатель экспоненты мал по сравнению с единицей. Поэтому
можно записать
Па Z Kg
Концентрация молекул (а следовательно, и давление) в кон-
денсаторе выше, чем в остальной части сосуда. Физической при-
222
чиной увеличения давления в конденсаторе является втягивание
молекул, обладающих дипольным моментом, в область сильного
поля.
3.48. U = , , . 8t/' . . = 500 В.
1 + (е 1) a/d
3.49. S2= e~? -^- = 200 см2.
е 1 п
3.50. а = е~" = 0,2 мм.
6 1 п
3.51. р = 2яеге2 (те/е) = 6 1(Г13 ед. СГС,
q = BлK er2hn2 (mje) = 2,35 10~8 ед. СГС
3 52. W2*=bW,.
3.53. Применим закон сохранения энергии к процессу пере-
зарядки конденсатора после сближения пластин:
Q = А6 - ДГЭ.
Здесь Q джоулево тепло, выделившееся на сопротивлении, Лд
работа сторонних сил в батарее, ДИ^э изменение электриче-
ской энергии конденсатора. Обозначая через Д<7 изменение заряда
конденсатора в процессе перезарядки, можно записать
Д<7 = ДС<Г = BС С) 8 = Сё, А6 = Д?^ = С^2.
При написании вырал(ения для AW, следует учесть, что по-
сле сближения пластин емкость конденсатора стала равной 1С
и, следовательно, разность потенциалов при неизменном заряде
равной &I1. После окончания процесса перезарядки разность по-
тенциалов вновь будет равна ё. Поэтому
Таким образом,
Для того чтобы за время h.t сближения пластин заряд кон-
денсатора практически не изменился, необходимо выполнить ус-
ловие
или Я » Д^/С = 10е Ом.
F + IJ 2nd
3.5S. /« iLLI-^io-11 H = I0~6 дин.
Здесь г\ = г + I = 3- 10~а м расстояние от атома до центра
кривизны острия; а я> а3, где а ж К)-10 и размер атома
223
_
n- 3u/4nr2 / m
, 7= ^- Д/
3.57. Г 2л л/2/я/к-
§ 3.2. Постоянный электрический ток
3.59. R = RlR2/(Rl + R2)- IR = 0 при условии SX\S% = /?,//?2.
3.61. Поскольку Я[ ~3> Я, можно с хорошим приближением счи-
тать, что цилиндрические проводники по всей своей длине имеют
постоянные потенциалы, и для определения поля рассматривать
электростатическую задачу Пусть линейная плотность зарядов на
проводниках есть ±р. Применяя теорему Гаусса к одному из
стержней, найдем, что напряженность поля стержня на расстоя-
нии г от его оси равна
? = ± р/Bле0г).
Разность потенциалов между стержнями получим путем ин-
тегрирования напряженности поля:
ь-п
п Р
2яе0 J \ г b г ) яе0 г„ Л8о г0 '
Га
Полный ток / легко найти, если принять во внимание, что
вблизи каждого из стержней поле практически не зависит от за-
ряда другого стержня F 3> г0). Полагая, что плотность тока по-
стоянна по толщине листа, получим для полного тока, вытекаю-
щего из цилиндрического проводника:
/ = 2пг0а) = 2лг0аЯ? = .
во
Следовательно,
R "»**-
I пка га
3.62. R = -t-j-t^ -р~ 1п Ц-.
Я6 (D d) d
224
3.64. Л = \/R = 4лХС/е. Результат справедлив для конденса-
тора любой формы, заполненного однородной проводящей средой.
3.65. Я (г) ~ 1/г4.
3.66. Я (г) ~ 1/г.
3.68. р = 4лТ|Т2/[е(т| т2)].
3.69. С Г2~Г' 4яГ|Гг '
4яе0 г,гг ' м C(r2-rt) In 2"
3.70. В стационарном режиме ток нагрузки равен току, пере-
носимому лентой:
/ = а/и,
где аповерхностная плотность заряда. Максимальное значение
тока определяется электрической прочностью газа:
СТшах «= 2е0Ь'пр. /max = ОЪах '° = 1гаЕпр1и « 10~3 А = 1 мА.
Максимальный потенциал сферы также определяется электриче-
ской прочностью газа. Для сферического электрода
Ф = гЕ,
где Е напряженность поля вблизи электрода. Поэтому
Фтах = '-?пр = 4,5.106 В.
3.71. В случае 1) при увеличении напряжения ток не изме-
нится. Поэтому мощность, выделяемая на аноде, возрастает в дпа
раза. В стационарном состоянии эта мощность при достаточно
высокой температуре анода рассеивается главным образом в виде
излучения, и поэтому W<=<> Г4, где Т термодинамическая темпе-
ратура (мы будем пренебрегать при оценках теплоотдачей через
проводники и другие конструктивные элементы кенотрона). Та-
ким образом, в этом случае температура (по абсолютной шкале)
возрастает в 21'4 яь 1,2 раза, т.е. достигнет значения около
1014 °С. В случае 2) ток увеличится в 23/а раза (закон «3/2»),
так что мощность возрастает в 2-23'2 раза и температура подни-
мется в Bs''2)|/4 = 25/8 раза, т. е. достигнет приблизительно
1400°С.
3.72. ?
§ 3.3. Магнитное поле
3.73. В = 2п1а/(сЬ2) = 0,33 Гс
3.74. В = 2я//(са) = 0,13 Гс.
3.75. В (г) = (цо/г/яа2) A - г2/2а2) при г < а,
В (г) = цо//Bяг) при г>а.
3.76. В,/й2 = Л//я«3.103.
225
3.77. ф = |
8.78. F = BIxI2/c2) (//LJ = 2.10~3 дин.
3.79. атах = 2ео?пр = 3,5-1О~5 Кл/м2,
smax = (Uo/2) <ТтахО = е0ц0?прО » 3,3 100 Тл =
¦ 3,3-1O~ 6 Гс.
3.80. f = цо/иа/2 = 6 10~13 Н/м.
^_(Г)=-^;В(Г)=С VwMtJ-Здесь 0=
: д/2е?//те скорость электронов в пучке.
3.82. 1) В =I5L = 6,7. 10"8 Гс в металле, В = 0 в воздухе;
2) В = -=^- -^ !i = 4,4 10" 8 Гс в диэлектрике, В= 0
С 8
в воздухе.
3.83. Растягивающее напряжение в стенках вращающейся
трубки может быть определено из условия равновесия упругих
сил н центробежных сил инерции. Оно оказывается равным f =
= pv2, где р плотность материала трубки, v скорость враще-
ния. Предельная скорость вращения umax = Vfmax/P = 4,7 102 м/с.
При вращении трубки возникает ток переноса, поверхностная
плотность которого /' дается формулой j = av, где <*¦поверх-
ностная плотность заряда. По теореме Гаусса напряженность
электрического поля на поверхности равна ? = сг/бо, так что -для
плотности тока имеем / = 80?с, По конфигурации токов вращаю-
щаяся трубка напоминает соленоид, поэтому индукция магнитного
поля вне трубки равно нулю, а внутри трубки В = ц0/. Подстав-
ляя /' = SoEwmax и учитывая, что 8оЦо = с~2, получаем
„2
- ^= „л п /^ ^.** " И
3 84 Q=-2fL Обратите внимание, что угловая скорость чре-
2тс
цессии не зависит от скорости вращения кольца и от угла между
направлениями В и <о.
„ „ 3 nNBq _,
3.85. со = « 0,1 с '.
i m
3.86. Магнитный момент равномерно заряженного шара ра-
диусом R, вращающегося с частотой со, равен
Я2
22в
где <7поЛн полный заряд шара. Действительно, магнитный мо-
мент кольца с током / равен /S, где S площадь кольца. Вводя
сферические координаты г, 6, ф, получим, что магнитный момент
кольца, имеющего координаты г, 9, равен
dpM = яршг4 sin3 9 dr dQ,
где робъемная плотность заряда. Интегрируя по г от 0 до R
и по Q от 0 до я, придем к написанной выше формуле для ри.
Введем величину у = (qfатома в виде Z(qf qs) = y7.qv. Если Земля состоит из атомов
с атомным номером 7. и относительной атомной массой S4-, то от-
ношение ее полного заряда qnan» к массе М$ равно
где тамасса нуклона. С помощью этого соотношения выраже-
ние для магнитного момента Земли можно представить в виде
где р3 средняя плотность Земли, (о3 угловая скорость ее
вращения. Если бы Земля обладала таким магнитным моментом,
то индукцию магнитного поля на полюсе можно было бы опреде-
лить из выражения В = 2ц0рм/Dя^|). Отсюда

10
Таким образом, высказанная в условии задачи гипотеза о проис-
хождении магнитного поля Земли противоречит эксперименталь-
ным данным.
3.87. Ятах = j^ ВтаЕт„ = 1,4 10" эрг/с = 1.4 10» Вт
при D/d = Vei где е = 2,72,
О DO D
О.ОО, D T==i
3.89, Bjw-
3.90, /У=-7В-('- + <Л=3.10'. С/= -^-^=25 В
nINDp
3.91. В = 4лл(-^-1)[1 + (-^)]'/2 = 5,4 кГс. Здесь
(г,+г2)/2.
-4.92. 1Г = - Bfc « 1,2 Ю« А/м,
й A Р)пс + рВа
227
3.93. /0 = (LHa + tJ0).
^-(/ - /о)]
при
3.94. / = I In.
8.95. Влg-.
вл
ур
3.96. Вс = В„^- = 100 Гс.
3.97. Внутри пластины В = 0, ff = 4л/. вне пластины
д = о.
3.98. Внутри пластины В = 4л/, Я = 0, вне пластины
д = 0.
3.99. /min » 14л
3.100. /тах«2.10-2г.
3.102. Фтах=^: -^-р- «0,1 рад « 6°.
3.103. T = 2л/
dJ04- °- В2/2 A+ г/Л) ¦
3.105. vmix= ^§ф- « 1,5 см/с.
I l-(V'i)' ,
3.107.
3.108. p
exp (-
262/2 In A+ a/b)
I + alb
3.109. L_?,
3.111. Z. =
3.113. Ф =
ЗЛ15>
= 20 см.
228
Rbe
3Л,7.со = ^-
2mc
3,119. x = u!&= 1.5 - 10~3,
3,120. 1=-r \l := 1.6 104 a, e., где Ес солнечная
о V С
постоянная.
3.121. Z. = Щ?- = 107 см = 10" 2 Ги.
3.122. Z. =-i^~ = 10а см = Ю-3 Гн.
ЗЛ2И. ,@ =
3.124. f = -!Ц=1 SB2,
3.125, AA-^^r0
Pff
3.126. Работа, соиершаемяя магнитными силами при переме-
щении контура с током / в магнитном поле, выражается соотно-
шением
А = /АФ,
где ДФизменение магнитного потока. В нашем случае ДФ =»
= ДФ21 изменение потока, пронизывающего контур прямого
тока. В силу теоремы взаимности ДФ21 = ДФ12, если Л = /2. По-
скольку ДФ12 = 2Ф12, задача сводится к определению магнит-
ного потока, пронизывающего рамку в поле прямого тока:
а+Ь
W Л / а
Знак мичус определяется выбором положительных напраплений
токов на рис. 3.42. Окончательно получим
-J-) =2,72- 1Э-7 ДЖ = 2,72 эрг.
3 128 P^
V 4 ./
dl .//-const [(/ц) 1
где. Wuмагнитная энергия катушки. Знак минус указывает, что
обе половинки тороидальной катушки притягиваются друг к другу.
229
При / = 0 получим
"- Fl ~ 4
3.130. Сила, действующая на образец в неоднородном магнит-
ном поле, определяется выражением
dr
где р« магнитный момент образца, рм = %BV. Эта сила прини-
мает максимальное значение при г=1/Bд/а) = 5 см- Макси-
мальное значение силы Fmit есть
Fmix = уУВ^ д/° в~ я* 0,1 дин.
3.131. Z. = 2/ln(//r) при /»г.
3.132. Индукция магнитного поля внутри ннлиндра равна
В = 0; вне цилиндра вблизи поверхности В = Мо^/2яг. Давление,
которое испытывает плазменным цилиндр в магнитном поле,
В2 _ И°/2 ,
2цо 2.д2г2
Подставляя числовые значения, получим рмаг яй 6,4-104 Па. В на-
шем случае рМаг < Р и, следовательно, плазменный цилиндр бу-
дет расширяться. Легко подсчитать, что условие р = рМаг будет
выполнено при токе / = 1,25-10R А.
3.133. При сжатии трубы магнитный поток сохраняется:
Увеличение магнитной индукции в трубе обусловлено появле-
нием тока в ее стенках. Таким образом, труба ведет себя по-
добно соленоиду. Давление магнитного поля определяется соот-
ношением
Рмпг = В2/Bц0).
Подставляя числовые значения, получим
В = У2Иормаг = 5 102 Тл, г = гй V^o/S = 5 10~ 3 м = 0,5 см.
Ц0г
3.135. Т « -=-г5" = 6 106 К, где ftR постоянная Боль-
4nc2nkBr2 ь
цмана.
3.136. t = 4с2р/(ЯВ3) « 7,2 с
230
3.137. / = 2лс2 -Try , ' = 2я-=- -~, где те и е масса
и заряд электрона.
: 0,14 И. где тр и (/р масса и за-
чр
ряд протона.
3.139. При v < с можно пренебречь магнитной составляю-
щей силы Лоренца, действующей на заряды в пучке, по сравне-
нию с электрической составляющей. Напряженность электрическо-
го поля на границе пучка равна
Р пв /
~ 2е0 ~~ 2еои '
где п число электронов, приходящихся на единицу площади
плоского потока, v скорость электронов. Время, за которое ши-
рина пучка увеличится в два раза, есть
Здесь апоперечное ускорение электронов под действием куло-
новских сил. Окончательно получим
/ 2117 \з
V. т. )
/ 2117 \з/4/ 4e0d /ne у ,_
I г I «17 см,
V ) \ I )
3.140. Раскручивание будет происходить при условии, что
частота переменного электрического поля совпадает с частотой
вращения ионов Nt в магнитном поле (условие синхронизма):
170 кГц.
В этом выражении т = 28 1,67 10~27 кг масса иона Nif.
Для оценки изменения частоты необходимо найти сначала
шаг спирали. Изменение скорости на соседних витках может быть
оценено из второго закона Ньютона
где Тпериод обращения. Принимая во внимание, что г= (Т/2п) о,
получим
Дг = (Г/2л) Ди fu (Г2/4л) (eF/m).
Условие синхронизма будет нарушено, если Av/v0 ^3 Дг/r. Отсю-
да следует
Av ж Е/BгВ)!Ы 15 кГц.
3.141. В @ = ЩТ)/2.
8.142. t = -^ ' J 2У « 5 10" 4 с.
281
3.143. S< -Д/-3 «1,3-10-2Тл=130Гс,
где s&\ и s&2 атомные массы изотопов урана, mp и q$ масса
и заряд протона; время, необходимое для полного разделения
изотопов урана, равно
t = т J. = 8 107 с » 2,5 год.
3.144. Оценку легко выполнить для частиц, покидающих
столб газового разряда со среднеквадратичной скоростью о =
перпендикулярно поверхности стол-
ба. Магнитное поле вблизи поверхности столба есть
В = цо//Bяг).
В этом поле вылетевшая из столба частица будет двигаться по
окружности, радиус которой определяется выражением
теиг/1 = evB.
В итоге получим
: 2 10s А.
3.145. При отклонении частиц от горизонтальной плоскости
возникает возвращающая (квазиупругая) сила, зависящая от
компоненты магнитного поля S-. Поскольку в зазоре магнита
Boo Я и rot Я = 0, имеем
дВг/дг = дВг1дг,
откуда при малых z получим, что
В = дВг z =
г~дг г0
Составляющая силы Лоренца F2 запишется в виде
Fz = evBr г= ea>QnBzz = Wtfimz,
где v линейная скорость частицы на орбите, ш0 = еВг(г0)/т
круговая (циклотронная) частота. Из уравнения вертикальных ко-
лебаний
mi = пШдГП2
следует
сог = соо л/я = еВг (г0) л/я /т.
3.146. Равновесная орбита устойчива по отношению к малым
радиальным отклонениям частицы, если сила Лоренца изменяется
с изменением радиуса г медленнее, чем центробежная сила. При
232
малых отклонениях р = г г0 можно записать
Вг (г) = Bz (го) + Щт- (г - го) = В2 (го) ~^-Bz (го) р.
иг го
Радиальная составляющая силы Лоренца имеет вид
F = evB2 (г) = ешВ2 (г) = ещ -^- В2 (г0) A - -^- р) =
При написании этого выражения использован закон сохранения мо-
мента импульса: Мог;- = сог2 где (оп = еВг(гаIт круговая (цик-
лотронная) частота вращения частицы на равновесной ороите.
Запишем теперь выражение для центробежной силы
о р "\
1 ~ 3 77Г
Уравнение радиальных колебаний чястицы примет пид
rap = ma>J5 B п) р.
Видно, что колебательный режим (устойчивость стационарной ор-
биты) возможен при п < 2. В этом случае
3.147. wa=- pBvB/2f.
4e0Smn / 2117 \з/2
З.Н8. ymax » /2Р l^-^-J « 40 А/м2 = 4 мА/см2, где тр
и (?р масса и заряд протона.
Зй /niT ,
3.149. В < ==- Д/ ^ я; 10~3 Тл = 10 Гс.
3.150. n.//ie = 1 v2/c*.
3.151. or = -^- = 3 ¦ 10~8 ед. СГС.
4л с
8.152. Ф (*) = ф@) cmr2\ t -| I exp j -f-
3.153. U=-
ЗЛ54' P=[d/(XS) + Rr
3.155. При включении однородного магнитного поля частота
вращения шарика изменяется на величину Дм = ±Se/Bmc). Ки-
нетическая энергия шарика уменьшается на
233
если <а и В параллельны, и возрастает на ту же величину, если
w и В антипараллельны При включении и выключении поля В
возникает вихревое электрическое поле, тормозящее, (или уско-
ряющее) движение шарика.
3.158. Уравнение радиального движения протона в поле элек-
тронного пучка записывается в виде (если пренебречь действием
магнитного поля)
Здесь Е, радиальняя составляющая электрического поля пучка,
определяемая из теоремы Гаусса: 2пггаЕ, = Q, где Q еппг2
заряд на единицу длины трубки радиусом г (« концентрация
электронов в пучке). Таким образом, Е, = пег/Bво). Принимая
во внимание, что / = envnR2, где для релятивистского пучка
а я с, выражение для Е, может быть записано в виде
ЕL
г
Уравнение движения протона принимает вид
qj
m.r,r + -ъЧи- г = °.
откуда для частоты собственных колебаний ш находим
/
= 3,9 10е Гц
3.159. Газодинамическое давление в плазме уравновешивается
магнитным давлением:
откуда
В = ^2y.QnkBT да 6 Тл = 6 10* Гс.
3,160. / = /0
3.162./ = -^.
3 163 " ^ ' ' ^3 ^ " 313 ^°г^ г т-. - 3^о sin 9
j0 , ^
3,164. В магнитном поле В каждый шарик приобретает маг-
нитный момент
ри = -
234
Магнитный момент единицы объема (намагниченность) газа, со-
стоящего из сверхпроводящих шариков, есть
1=пр» 2rniR3H.
Отсюда следует, что магнитная восприимчивость х. определяемая
в СИ выражением / = %\^Н. равна
Л = ПГ .
Таким образом,
Идеальный газ из сверхпроводящих шариков обладает диамагнит-
ными свойствами. Условие «г3 < 1 означает, что шарики нахо-
дятся далеко друг от друга и их взаимодействием можно прене-
бречь.
cdBK
3.165. /max = 7 « 240 А. Предельный ток определяет-
л
ся разрушением сверхпроводимости
3.166. А -^-
3.167. j (9) = ~- sin 9.
3.168. puarS* = const, где pvar В2/Bц0) магнитное дав-
ление на стенки соленоида.
3.169.
3.170.
3.171. /=//Bяг), рмаг =/2/BяЛ2), где г = г,, г2.
3-172" 'max~3SKp/(8W)=l.7 CM.
3.173. Без сверхпроводящею шарика индукиия равна Вь =
= 2п11(сг\) и перпендикулярна плоскости тора При вчесепии ша-
рика появляется дополнительная составляющая в плоскости тора:
3.174. / = (l- r?/rg)/0- C/4) /0.
3.175. omax = гВ -y/rlBm).
3.176. На диполь, находящийся в магнитном поле, действует
сила
2лВг' ей.
235
= - \
J
Работа против этой силы
о о ва
2яг г
Fx dx = \
оо О
равна начальной кинетической энергии шарика
от куда
Таким образом, при начальной скорости v3 ^ 20 м/с шарик вле-
ти г в соленоид,
3.177. При / = г/-у7 сила отталкивания максимальна.
3.178. Т = п -\/T[g = 0,3 с.
3.179. Внутри сверхпроводника магнитное поле равно нулю.
Из граничных условий следует, что иа его поверхности обращает-
ся в нуль нормальная составляющая индукции магнитного поля.
Для определения магнитного поля, создаваемого плоскостью,
можно воспользоваться методом изображений мысленно поме-
стить под плоскостью па таком же расстоянии прямой ток, теку-
щий в обратном направлении. Сила, действующая на единицу
длины тока со стороны изображения, есть f = IB, где Вмаг-
нитная индукция поля, создаваемого изображением. Эта сила
направлена вверх. Условие, при котором проводник будет сво-
бодно висеть иад плоскостью на высоте h, запишется в виде
f = ptq, или цо/2/DяД) = Plg.
Отсюда следует, что
Отметим, что решение может быть легко обобщено иа слу-
чай плоского витка любой формы, если только радиус кривизны
витка во всех точках существенно превышает к
3.180. рМаг = В7Bм.о). f =0,
§ 3.4. Электромагнитные поля
3.181. / = 2y2adR Ua соз at.
3.182. 1) Е = ^г п ~ <=¦¦ 10"" ед. СГС = 3 10~4 В/и.
2) -Е, =?, D, =-2D.
236
3.183. h = -z r = 50° cM-
3.184. S' = -^-r2B = 8-10~3 г-см2/с.
3.185. Капля движется по окружности радиусом г/2 с по-
стоянной скоростью v = (qr/2c)(B/E).
3.186. 5(r,0=^_^-exp(--i). где
3.187. 5,=
za'R CU2 га2и
2 га2и2
id ' " ~ 2 2rf
1 /2# _ /2fl«
2ji H In (r2/ri) ' * с In
«7 = [ S* ¦ Члг dr = PR.
ЗЛ88. P = Xnk ( Я^2 J = 1.1 Ю5 эрг/с « 0,01 Вт.
3.189. Q =
8.190. «7 = 57^^=_
3.191. Др= = 10-6г-см/с.
3.192. t/ (x, 1) = ?/
cos[(m + 1/2) n kl\
A-
Uo
cos [(m+ 1/2) n ft/] '
где k = со/с волновое число, б определяется из условия kl-\-b=
= (m+ 1/2) я при m = 0, 1, 2, ... (узел напряжения па конце
линии).
3.193. К = A + р)/A - р) = 3. Здесь р2 = (/>„ - />н)//>0 - ко-
эффициент отражения по мощности.
i5= 1,9 коэффициент отражения по мощности.
3.195. Средняя энергия электрического поля эа период Т рав-
на
т
о
потери за период
Т
аЕ2 dV.
237
Отсюда для добротности получим выражение
Л Шхр ~ 2Та'
Для минимальной резонансной частоты закороченного с од-
ного конца отрезка коаксиального кабеля имеем
к = 4/ д/ё" = 80 м, vmln= 1/7" = с/к = 3,75 МГц.
_, 8
2Гог
102.
3.196. Наинизшая резонансная частота отрезка прямоуголь-
ного волновода может быть найдена из дисперсионного соотно-
шения для Яю-моды. Имеем для пустого волновода
к = 1а = 2/
/1 (Я/2йJ
где X и Хо длина волны в волноводе и в свободном простран-
стве. Отсюда с учетом диэлектрической проницаемости среды по-
лучим
V = = ¦=¦ = ![ )=-* fts ;=- = 5 ГГц.
Т к0 Vе 2й д/е 2й д/е
Для добротности Q имеем (см. решение задачи 3.195)
§ 3.5. Квазистационарные токи. Колебания
в электрических цепях
3.197. /@=|еХ
3.198. Q = 3-200. / (о «=.,. . , '^ ..;о/,ч13
3.202.
21?
IПах c
3.204. Q=-^г
233
3.205. Q, =Q2,
3.207.
мкФ.
3.208. ш0 = 2n/t = 2 ¦ 103 с ' (да 320 Гц).
3.209. A/2 = (V,/2.
3.210. / (t) = (Фо/Ц cos (Oat, где co0 = 1/Vz.C.
3.211. t = ^LC = 1014c, /max = Л/Т =0.37A.
С у Li
Здесь е = 2,72,
3.212. ?/ @ = Ua exp ( 6/) [cos at + E/@ 1/aRc) sin to/], где
6 = R/BL), a2 = \I(LC) - R2/(iL2).
3.213. I2=Un.
3.214. 1) Г, = л -2я д/?С. где л = 1, 2, 3 ....
2) Г2 = Bл + 1)
3.215. B=(clnr) ^2nfmR да 800 Гс.
?/ ПГ
3.216. ?/„ =
3.218.
V2 ?/9ф
100 В.
3.219. Вольтметр измеряет ?/эф = V ?/2 При включении через
диод вольтметр покажет U = 1/эф/-\/2 » 155 В.
¦1Ь
3.220.
3.221.
Z.=3,2rH, C = 3,14X
X Ю~2 мкФ, #= 100 Ом
^ = 1 кОм, С =
32 мкФ, Z, = 3,14 мГи,
2)
R = 1 кОм,С=13мкФ.
L = 30 мГи.
3.222. С
= 8,4 мкФ. ф = 60°.
239
3.223. e = 21ЛL = 2,5. Здесь / = 50 Гц частота пере-
2jife0p
менного тока.
3.224. ts ф = ¦
3.225. L =
3.226. @рез ¦
4n.fi
1.2 Гн.
1
г, где Z-зкв = L, M2/L2 эквивалент-
иая индуктивность контура с учетом влияния короткозамкнутои
катушки.
М =
С
1
1
3.230. U,
f,K ?/0 = Ю мВ.
3.231. Я = -^ = 10 Ом, Z.=-

и
= 0,1 Ги,
= 0,1 мкФ.
3.232.
3.233.
3.234. Л<*=
3.235. L/R = RC
3.236. С
3.237.
3.238.
A +Z./Cr«)~1;«0,08.
4.5-10"°
¦ Ю~7 см.
+ @2Z.2) = 220 мкФ.
3.239. co2LC = 1. ?/„, = ?/0
2R^LC
L+CR2'
3.240. to = l/(RC). U„, = ?/0/3.
3.24J. Um = Uo Bm2 + 2т + 5)~1/2.
3.242. wi =
3.243. х = RC = RXC\. Достаточное условие баланса: R, = R,
3.244.
240
3-245- t"a
3.246. (O2Z.C = 1.
3.247. Z = д/-^- ^-j~ При
3.248. 2KOHT +2 = 0. .в2 = - - -5-, А = -=-.
3.249. / =-^р cos 23.250. 1) f(t) = A cos2 (O0< = -j- + -? cos 2(o0<;
2) f (f) = ^4 A+m cos Q0 cos a>ot яа Л cos a>at +
¦ -^ cos (co0^) < H5- cos (a>0 + Q) <;
3) f (<) = Л cos [(O0< + m cos Ж] яа Л cos (Oo< +
3.251. 1) g @ ~ Л2 A + /n cos ШJ,
при m < 1 g @ ~ Л2 A + 1m cos Й/);
2) g (t) ~ Л2 = const;
3) g (t) ~ ('«ЛJ + (тА)г cos 2Ш;
4) §@~Л2A+2тсозЯ0.
3.252. Можно. Это электрический аналог опыта Мандельшта-
ма. Амплитуда колебаний в контуре максимальна прн Й = | «>о
-со|.
3.253. 1) f

оо
2) F(ч\ р (,,\ _л! sin [((о а>о) т/21 i л _i sin [(jr^M' пЧ [(со - со») т/2] ^л2 [(и - (Оо) т/2] Ф
3.254. U, = f/o cos (V (оС0« У (оС0/?
Спектр выходного напряжения содержит три компоненты на
частотах (о, со Q и (о+Йс амплитудами f/o, mUo/(i>CoR,
и фазами 0, я/2 и я/2 соответственно.
3.255. С/, = 0„ cos ((о< + 2'"^° cos Й^+a), где г=^
9 Сборник чадам по физике 241
Спектр выходного напряжения содержит три компоненты на
частотах о, со Q и w + Q с амплитудами Uo, moiLoUa/R,-
mmLUo/R и фазами 0, я/2 и л/2 соответственно.
3.256. Спектр выходного напряжения содержит три компо-
ненты на частотах со, го П и а> + п с амплитудами Ua/2,
уЗ oU0/4 и д/3 (i(J0/4 соответственно. Боковые компоненты сдви-
нуты по фазе на E/6)л относительно основной частоты.
3.257. Спектр выходного напряжения содержит компоненту ос-
новной частота о с амплитудой (JJ-y/2 и две боковые компо-
ненты на частотах ы ± Q с амплитудами aU0/i, сдвинутые по фа-
зе на я/4 относительно основном частоты.
3.258. ,Ml_J
3.259. Резонанс наступает на частотах а>0 и а>о ± О. т =
¦= 2/и = 0,5.
3.260. Спектр тока имеет две компоненты: на частоте со с аи-
плитудой A/с) 5Ссо2//о (ц( \i.2HlJi) и на частоте Зсо с амплитудой
C/4с) SCafii.//;*, ""Де Яо = 2NI/(cr).
3.261. /?тах = 5л/П^/С = 8Ом.
При /? = 2/?тах= 16 0м, Q = 15"v"C" *2 ^бе3 обРаТН01'1
связи). При наличии обратной связи Qf = 25 (положительная
связь), Q*2 = 8 (отрицательная связь).
3.262. С = 4то2/(я%Н Ю-9 Ф. RmM = AZ-/4t0 = 10 Ом.
3.263. Д/т1п ю д/~ = 1.7 -Ю-" А.
3.264. /2= ti^/TJTa ж 8 км. Здесь 7\ комнатная темпе-
ратура.
IV. ОПТИКА
§ 4.1. Геометрическая оптика
и элементы фотометрии
4.1. Ащ!!! = a [sin ф cos q>(l/-\/«f sin2 ffl/ynlsiii' 4.2. / = 10 см.
4.3. a = 2 arcsin л}п.% 1 прн и <
a = Я прн я ^ V2.
М2
4.4. M « 1,1 -Ю 7 с.
4.5. L2 « 14 м.
4.6. 37,5 см < L < 38 см.
47 D -D±- Я- ( ° V
4.7. DK-D F. L- 4 ^-p-j
4.8. Ф/Фо== 1/[1 + (S S,)fcn/S,]= 1/3.
4.9. В линзу, а следовательно, и на шарик направляется мощ-
ность излучения, равная EcnD2/i, где О диаметр объектива.
Радиус шарика равен радиусу изображения Солнца acf/2, где
F фокусное расстояние линзы. Шарик излучает мощность, рав-
ную Осб^4 ' 4яас-/7 /4 (^св постоянная Стефана Больцмана).
Установившуюся температуру Т можно найти из уравнения
баланса энергий
Отсюда
¦=v:
D
) 103 к-
§ 4.2. Интерференция
4.10. Для горизонтальной поляризации oti = X/Dh) = ]J20',
для вертикальной поляризации а^ = 0, <х2 = XjBh) = 2° 40'.
4.11. J = 2^
т 2яф(АД) Л J-
При ф = /п (/п=1, 2, 3 ...) 21 = 221 а, где З^ интенсив-
ность принимаемого сигнала в отсутствие отражения
. .„ ,, . . 2я/. sin a ,
4.12. ?/0eol-}-cos г , где о=анг- угол отклонения ис-
точника над горизонтом, (О-. угловая скорость вращения Земли.
При малых значениях а период изменения амплитуды напряже-
ния равен Т = KTa/BnL) = 1,15 мин.
4.13. .Р = гУ[10М<г 1I = 1,1 м
4.14. З'та./З'тт = [(я2+ 1)/BяIа = 1,17. Интерференцион-
ная картина имеет достаточный контраст, так что ее можно уви-
деть глазом
4.15. т = АД «400 (где Д = 2А V»3 sin2ер »2,2-10~2 см
разность хода),
Д/ « Л/о» = 2,8 см (где о» = (h/L) tg \\i cos2 ф = 2 10~J угол
схождения интерферирующих лучей на экране, ф угол прелом-
ления).
9* 243
Ь да Л/ = 2,8 см, ДЛ- « Я/от ^ 1.4 нм.
4.16. /птахж1000, тт1„ «720. ДЯ^0,5 им. Источник света
может иметь любые размеры.
4.17. Ширина полос уменьшится a L/F = b раз.
4.18. Др = - Др1 = 200 мм рт. ст.
До
4.19. Д6<Я/О = 2".
4.20. Ь < F дД/Г«= 1.25 мм.
4.21.
4.23. А/« С(!~Р) =4,8 МГц, Av = -^- = 1500 МГц.
4.24 &=»2rfj/rf2 = 0,l см.
4.25. Излучение источника белого света занимает широкий
спектральный диапазон. Максимумы интенсивности при интерфе-
ренции будут давать спектральные компоненты, для которых вы-
полнено условие Д = тХ, минимумы дпя которых выполнено
условие Д = (т + 1/2) X, где т целое число.
Таким образом, в результате интерференции на вход спек-
трального прибора будет поступать излучение, спектр которого
имеет чередующиеся максимумы и минимумы. Расстояние между
соседними спектральными максимумами может быть найдено из
соотношения
(т + 1) лт+1 = тКт, т (Кт ^m+i)
М = Хт Кт+1 = К/т -= Я2/Д.
Спектральный прибор должен иметь разрешающую способ-
ность R, достаточную для обнаружения двух максимумов на рас-
стоянии ДЯ:
15108
4.26. A = c/(Av) = 30 м.
4.27. ДА. « к/т « 40 нм, т « 12 максимальный порядок
наблюдаемых интерференционных полос. При малых m видность
интерференционной картины
Г - (Утт - 5'т1п)/E'тах + З'тт) « 0,65.
Из соотношения Г = S'" "^/Qm" = о,65, где Птах « Х/Ь
яУ/У
максимально допустимая апертура интерференции при заданном
размере источника, получаем
244 b « 0.5VQ = 2,5 10~2 см.
4.28. Решение аналогично решению задачи 4.27,
ДА, « К/т да 100 нм, Q = O,bK/i> = Ю~3 рад.
gm» ~ <Ут1п sin (nbd/XL)
4 2Q
З'тах +
4.30. Утах » 4а при 2 = («Я/2) Acos а), Гт,п = 0 при
z = (п 1/2 ± А./4) A cos а) ~".
л п, *,* sin (n&f/c) А л
4.31. У=-!. t. . дi где Д разность хода.
§ 4.3. Дифракция. Элементы голографии
фурье-оптики
4.32. 3 = 0.
4.33. h = B2|" + ^ X. (т = 0, 1, 2). ^max = 93V
4.34. З' = 0 (а), 3 = ЗУ4 F).
4.35. Р = г'>/Bт\) (т=1. 2, 3, ...).
4.36. У = &У0.
4.37. Интенсивность света увеличится в два раза.
4.38. 3? 1 = 42f0, Sfi = 2fa, где Зйинтенсивность каждой из
спектральных компонент.
4.39. Fmax = r,/a. = 8,u. ft =.-?2L±iI Я. (,„ = 0, 1. 2 ...).
4.41. Фокусное расстояние пластинки F = r2Jk = 50 см. Пол-
ное число зон Френеля от = D2/(AkF) = 100.
, , 2\F 2r^
m2 = Ю4. 6 « -g- = -^- = 5 10~J см.
4.42. 3 со ( j (т, + т2 + 2 -\JxiXi cos Дф), гле и =
ka sin 9 . . Г, а . i
^ 2 , Дф = k in (га,, n2) + -к- sin 0 , /г = ?я'Л волновое
число.
В центре получится темная полоса при условии kh(niп2) =
= Bт + 1) л (/п = 0, 1, 2, ..,).
Г sin (kNb sin 6/2) f [ sin (feA/2) f ._
4.43. ./ - Л [ sin (й/; Sin 6/2) J L (АД/2) J ' ГДе " ~
= 2яД, Д = [h (n 1) a sin 8]. Направления на главные макси-
мумы определяются формулой a sin 6m = niK.
4.44. Lm-m > D2/(AK) да 10 м.
245
4.45. L = d2l[A Am + I) A,] (m = 0, 1, 2 ...);
при in = 0 Z.max = 0,5 M.
4.46. 2l/3'2 = nV-\.
4.47. m я* A,22J -Tj- « 70, где / = 20 см ралпость длин
плеч интерферометра.
4.48. L « Id/X » !0 км. гль !я I м р^'стояние между фа-
раки, d « 5 мм диаметр зрачка глаза.
4.4Э. F (и) = 6 (и) + ^- S (и Q) + 41 6 (" + й)- гДе б Де-"ь-
та-фуш;ция, и = k sin G. Спектр состоит из трех плоских волн,
распространяющихся в направлениях k sin 6 = 0, ±Q с амплиту-
дами I, a/2 и а/2 соответственно.
4.50. F, iu) a''L , где u^=k sin 0, k волновое число.
('in/2)
sin (bul'2) sin (Ndu/2)
l"(u)~
l"i(u)~ (hu/2) sin(du/2) '
4.51. Комплексная амплитуда волны за решеткой равна
л л JU* i ^o p"Qx 0/, „-«ах /1о ~-Шх _ А-<
А = /10е + е 2Лое 2~ е f1
За решеткой распространяются пять плоских воли в направле-
ниях ft sin 6= 0, ±Q и ±2Я. Здесь Q = Чп/й = 2л-103 см.
4.52. Комплексная амплитуда волны за решеткой раина
За решеткой распространяются четыре плоские волны в направ-
лениях k sin 6 = ±П и ±2Q.
. .„ . 4nfe . 4it& / , 1 Л
4.53. Дгтаз, = -Qj- /n, Дгт,п = -^- ^/п + у J
(т= 1, 2, 3, ...).
Углах =3V16, ^mfn = 0.
4.54. и = О2о/BЙ). З'тах/З'тт = 9.
4.55. З' (х) со 12т cos Qx (для пластинки я/2),
У (х) по 1 +2тсозйл (для пластинки Зя/2).
Для поглощающей пластинки контраст возрастет в l/ka раз.
4.56. d = ^WKT. [ = [l + 2bLm = (\ + 2m)&L (m=l, 2, 3 ...).
4.57. Изображение подобно предмету при условии 2it/D< nD/{XF), или 2XF/D < d < D, где rf = 2n/Q период решетки.
4.58. Д/ = о/B/) = 37,5 мкм, Z.max = Dv/B\f) = 3 м.
4.59. dmax «2^,F/A = 0,l мм, rfmIn « 2^F/?> = 0,01 мм.
246
4.60.
4.61. т (*) оо 1 + cos [kL + kX*/AL)].
Положение изображении при записи с нормально падающей
плоской волной.
5 - мнимое,
S - действитель-
ное изображения
-^^
L
1

--=-
Положение изображений при записи с наклонной пол-юй:
Г
S'-twuMoe,
5 действи-
тельное
изображения
Минимальный pa3N?ep голограммы атт « nXL. Размер вос-
становленного изображения равен Ь « 1/я.
4.62. M<2LX2/r2=*0,2 им.
4.63. D > XL/b = 2,5 см; ДЯ < Sb2/L = 1,6 нм.
§ 4.4. Дифракционный предел разрешения
оптических инструментов и спектральных приборов
4.64. /тщ « 1 м.
4.65. Разрешуюишя способность объектива полностью исполь-
зуется при нормальном увеличении:
247
следовательно,
Угловое разрешение телескопа при визуальном наблюдении в
Yh раз выше, чем у невооруженного глаза. Минимальное расстоя-
ние, на котором с помощью телескопа можно читать книгу, опре-
деляется условием
JL> А
Отсюда вытекает, что
L S^-г- b «600 м.
А
4.66. Предельному разрешению 5-метрового телескопа соот-
ветствует площадь поверхности Луны 5Л « я (XL/DJ, где L «
« 4-Ю5 км расстояние от Земли до Луны. Это означает, что
освещенность любой точки изображения Луны в фокальной пло-
скости объектива телескопа создается за счет излучения всех эле-
ментов поверхности Луны, лежащих в пределах площади 5Л.
Если часть этой площади будет закрыта черным (неотражающим)
тентом, то освещенность изображения точки прилунения в фокусе
телескопа изменится на величину, пропорциональную 5Л S, где
5 площадь круга. По условию EЛ 5)у5л^0,99. Отсюда
0,01 О-
/ ho л
4.67. D я* л I -j « 6,5 м, где ?л среднее расстояние
от Земли до Луны.
4.69. U = 12f4 '"У?-"* в, 600 В.
A sin ОЭл
4.70. Диаметр пятна в фокусе системы равен
Ускорение электрона обусловлено электрическим полем напря-
женностью Е. Конечная скорость электрона найдется из условия
° = 9.таг2, откуда Р2= (о/сJ = 3/4. Таким образом,
VI Р2
средняя скорость электрона близка к с/2. Поскольку ускорение
происходит в течение времени порядка Т/4, пройденный путь бу-
дет порядка (с/2) (Т/4) = )./8, т. е. меньше размера фокуса.
248
Оценим теперь ускоряющее поле Е:
Ас 4с2 ^ еЕ _, ^ Атас2
Т К ~ гпц ' ~ Яе
Мощность лазера Р есть
16enm2c5
Р « (ео?2) сА,2 = ^ as 10'° Вт.
4.71. В первом случае в объектив телескопа попадет излуче-
ние мощностью
Эта мощность распределяется по площади Si дифракционного
пятна (^г»о"'7!) и создает освец;енность. равную
Р Пл
F ~ ° '
~"/2 ,2р2
Освещенность фона в фокальной плоскости пропорциональна све-
тосиле объектива:
где а некоторый коэффициент. Таким образом, контраст изо-
бражения
F 4- F0 Р n4F2 Р п2
1 ill I
При наблюдении в телескоп с объективом диаметром D2
Y2 = 2 0 2 = 1 Л ^4
Следовательно, Yi = Y2 при условии
L\ L\ D2
т-=-, откуда L2 = L, = 5-104км.
4.72. Угловая расходимость пучка света равна X/D. Поэтому
мощность излучения, рассеиваемого спутником,
4(IL/D)* 4
249
Так как спутник равномерно рассеивает оптическую мощность Р'
а телесный угол 2л, то принимаемая мощность будет равна
, я (DVi) __ Р' ( D у
2nL2 & \L J
Записывая теперь условие обнаружения рассеянного сигнала, по-
лучим
( D у рР ( d\> ( D \*D
\ L. / о? V Л / ч L, /
» 70 км.
Р'
D 4 / pPd
'"9 \ Тр
4.73. Z-^-кт- Л/7» 5-107 км. Здесь Л=6,6. Ю-34 Дж-с
2Я V tihv
постоянная Планка.
4.74. Изменения фототока заметны при условии 2/i sin a S^
^ c/Af. Отсюда sin a <0,05.
4.75. d = m (d(f/dX) ~f = 2 10~3 см.
4.76. Разрешающая способность /? ишерферометра Фабри
Перо может быть оценена из следующих соображений. Мини-
мальная разность хода между лучами, участвующими в обрззо-
вании интерференционной картины в интерферометре Фабри
Перо, равна 1L Следовательно, порядок интерференции m =
= 2L/X. Эффективное число лучей на выходе интерферометра
есть N « 1/Aр). Проводя аналогию с дифракционной решет-
кой, запишем
„со 1L 1 mZ.
Асо "" ~ К A-р) ~" с (I р)
Отсюда
Так как » = сои« + сол, где а„ = const частота лазерного излу-
чения, Шик частота исследуемого источника в ПК-диапазоне,
можно записать Дсо = ДсоИк. Следовательно,
_ <Оик _ «>нк _ Мик п „ тик/- 2?tL 5
Кш ~ Д(оик ~ Дсо ~ со К~ с A-р) - /Ud-P) ~^'1U-
4.77. Радиус пространственной когерентности в плоскости ре-
шетки
XL
гког « -Д--
Эффективно работающее число щелей Л'зф « rKOr/d, где dпе-
риод решетки. Разрешающая способность решетки равна
R = Х/Ы = шЫаф, mmax » d/Я,.
2S0
Отсюда максимальная разрешающая способность равна
-vmax ~ x d D
4.78. Lmin^ D~ = IO см.

4.79. /?1пахя# 1 /-ф = 103.
4.80. ^ Xi~Xl =4-10-4рад.
Л,
4.81 Д71 < (Nina.) = 1 "С.
4.82. Дсо2/А<В| ж ст/Д = 3 10~3.
4.83. бф2/6ф, да JV/(vt} = 15.
4.84. Условие синхронизма: d(c/o sin G) = trik (m = 1, 2,
3...).
4.85. Зеемановское расщепление Д^. = Х2еВ/Dлт^с) =
= 0,016 нм. Для бездефектной решетки &Х = X/(mN) =
= 0,006 нм < АХ. Для решетки с дефектом максимум 1-го по-
рядка размыт и имеет угловую полуширину
Дф Ad
где Ad/d = Ю-2 относительное изменение периода решетки.
Принимая во внимание, что при малых дифракционных углах уг-
ловая дисперсия в 1-м порядке есть dq/dX = l/d, получим
6Х,деф « d = X = 0,3 нм > АХ.
Таким образом, зеемановское расщепление обнаружить нельзя,
4.86. DmIn»-l JL«1 см.
4.87. Условие максимума в интерферометре Фабрн Перо с
воздушным промежутком имеет вид 2Ln cos ф = тХ, где ф
угол наклона лучей, Lбаза интерферометра. Для выбранного
кольца т = const, поэтому при изменении температуры будем
иметь
«| COS ф| =fl2COS ф2, ИЛИ
Поскольку давление р = const, имеем
( ф
A,1 1 9
Постоянная А найдется по значению разности п 1 при Т} =
= 293 К- Это дает А = 0,08497. Таким образом,
п\ 0 Ф?/2) = п2 1 + ^/Г2 = 1.00024.
251
Отсюда
Г., = 354 К.
4.88. Дисперсионная область интерферометра Фабри Перо
где m = 2L/Xпорядок интерференции, L база интерферомет-
ра. Отсюда следует
Разрешающая способность интерферометра раина
_ X 2nL пХ
ЬХ Х(\ р) ДЯ,A р) ¦
Таким образом, максимальное значение коэффициента пропуска-
ния есть
ЬХ
х = 1 р « я -дт- » 1,5 %.
4.89. Серия затухающих импульсов длительностью т =
= 10~" с, следующих через интервалы At = Il.jc = 3-10-" с.
Импульсы затухают но экспоненциальному закону со временем за-
тухания /=У?Л/с= 1.6-10-° с.
4.90. Условие автоколлимацпи (обратного отражения на ди-
фракционной решетке) в 1-м порядке 2d sin ф = X, где d= 1/Af,
Ф угол наклона решетки. Отсюда получаем
sin ф = XN/2, cos ф = Vl (XNI2J.
Относительное расстояние между модами в интерферометре
Для выделения одной моды в 1-м порядке необходимо выполне-
ние условия
где Nt =DN/cos q> число освещенных штрихов решетки. Отсюда
2L , [1 - (XN/2J]112 . .
§ 4.5. Поляризация. Оптические явления
в кристаллах
.4.91. rf = Bm+ 1) Л/[2(и 1)] (/и=1, 2, 3 ...).
4.92. J = 2J0. Свет поляризован линейно.
4.93. J = 3J0.
4.94. J = 5J0.
4.95. J = 5J0.
252
4.96. Интенсивность света возрастет в 25 раз A), интенсив-
ность вета возрастет в 9 раз B).
4.97. d > №1[&К(пвпо)] = 1 мм, падающий crpt должен
быть поляризован под углом 45° к оптической оси пластинки.
4.98. Зг = <Э'0/4. Свет поляризован по кругу.
4.99. d = mK/(n \) (m = 1, 2, 3 ...).
^ma* = E/8) Уо-
4.100. J = (l/2) Jo.
4.101. ф = 45°.
4.102. &2/&s =0,5.
4.103. Оптическая ось пластинки должна быть ориентирована
под углом 45° к разрешенным направлениям поляроидов. Для од-
ной из линий дублета натрия пластинка должна быть пластинкой
в полволны К/2, а для другой в целую длину волны >.. Мини-
мальная толщина пластинки dmin = 5,06 мм.
4.104. а/6 = Уз~, ф = 53°.
4.105. 3 =-^р [1 - cos kax (ne ио)],
где k = 2лД волновое число, координата х отсчитывается от
ребра клина.
При установке линзы будут наблюдаться два светлых пятна
на расстоянии L = а(пв no)F, где F фокусное расстояние
линзы.
sin B%/2)
4.106. Л=^-
2N
sin (ф/2)
где ф = BяД) d (ne по). Такая система является интерферен-
ционно-поляризационным фильтром.
4.107. яо= Д/ J+rf ' rte =
Ось z является оптической осью.
л/
4.108. Г = 2ял А / ^F- = 5 мин.
4.109. Л = SfSKl{2nc) = 0,95-10-' дин-см. От распределе-
ния интенсивности в пучке Jf не зависит.
Для пластинки в К/4 вращающий момент такой же, как и для
поглощающей пластинки. Вращающий момент удвоится, если
взять пластинку в К/2.
4.110. Л^Ж-^. = 0,76-10-6 дин. см.
4.111. Свет будет поляризован по левому кругу.
Ж/S = ЗХКпс) = 7,7 10"9 дин/см.
253
4.112. Максимальный вращающий момент возникает, когда
главные направления пластинки ориентированы под углом 4Г>° к
плоскости поляризации света.
Ж = РХ/с = 6,3-10-' дин-см.
4.113. Из условия ^nWS'rain = 3 следует, что линейно поля-
ризованным свет переносит половину всей мощности.
JUS = &\/Dпс) = 1,9- Ю-9 дин/см.
4.114. Падающую волну можно представить как сумму двух
линейно поляризованных компонент одинаковой амплитуды. Ком-
понента, поляризованная в плоскости падения, отражается от 1-й
решетки; компонента, поляризованная перпендикулярно плоско-
сти падения, отражяется ог 2-й решетки. Фазовый сдвиг между
ними после отражения
Дф = BлД) 21 sin a = я/2.
Таким образом, отраженная волна будет поляризована по кругу.
§ 4.6. Дисперсия и распространение света
4.115. ЛЯ = -^-6Я = 50 им.
4.116. Диэлектрическая проницаемость е плазмы определяет-
ся выражением
е = п2 ¦¦= 1 5",
еотесо
где е и те заряд и масса электрона, N концентрация элек-
тронов. Отсюда
Найдем теперь фазовую скорость радиоволн:
о = с/п » 3,3- 10а м/с.
Для определения групповой скорости а нужно знать зависи-
мость v{\). Эта зависимость может быть легко установлена из
выражения для п2, если принять во внимание, что п = с/о, со =.
= 2лоД:
°=лА
Используя соотношение Рэлея
254
получим
u = = c««2,7-108 м/с.
о
4.117. d, = с In 10/Dnv*) = 13,5 м, di=2dl = 27 м
Здесь /и = V' Ne2l(nmey2).
4.118. «= 22ЯС 2 -^?-^4.10"
Я2 А,| Г,-)
Ar = -i? f *L« 4- Ю-1 см~3. Здесь л„ =
2ят„с Д< v, vf
4.119. L = ^5 ,, ' «7. 102° см «700 св. лег
Nel vjVg
4.120. До/о = Ne2/Bnmev2) = 2,5 10~4.
4.121. Поправки, обусловленные теорией относительности, со-
ставляют (vieJ часть от измеряемых величин. Показатель пре-
ломления п = л/е, для плазмы отличен от единицы на величину
e2N
An = Vе
2еотесо2 '
где е и те заряд и масса электрона. Поскольку состояние ионо-
сферы (плотность электронов) меняется неконтролируемым обра-
зом, для надежного обнаружения эффектов, предсказываемых тео-
рией относительности, ошибка измерения параметров орбиты на
должна превышать Д«. Таким образом,
С»\2. . e2N
Отсюда
Vm[n = ^-^ JS- л/-JL- «0,8-10" Гц.
2я 2яо V 2е0ше
4.122. Фотону с энергией W = 5 эВ соответствует длина вол-
ны Я= 3-10-6 см. Граница прозрачности определится из услопггя
Отсюда
_ е0те(о2 4я2е0сгте 2з м-з
/V = т = т-„; й! 1U М .
«2 Ve2
Концентрация атомов в серебре
я = Ядр/^ » 6 1028 м~3.
25S
Здесь NAпостоянная Авогадро. Таким образом,
N/n яз 1/6.
Z(>NAeWd
4.123. ф = - г-ж4,5'10~' рад; дифракционная рас-
ходимость Лф я* K/d « 10~9 рад < ф.
4.124. Электрический пробой наступит в том случае, когда
электрон в результате действия на него электрического ноля све-
товой волны приобретет энергию 10 эВ = i,610~18 Дж. Эта энер-
гия значительно меньше энергии покоя электрона «ос2 я*
« 10~13 Дж, т.е. скорость электрона о при пробое много меньшее.
За один период колебания электрон смещается на расстояние
порядка v/v, где v частота света. Это значительно меньше дли-
ны волны света Л « 5 10~5 см и длины свободного пробега элек-
трона /пр « Ю-4 СМ.
Таким образом, целесообразно рассмотреть действие световой
волны на свободный электрон:
тЯ = еЕа cos mt,
где Еаамплитуда световой волны. Интегрируя, получаем выра-
жение для скорости электрона: о = (eEa/ma)s\n mt. Макси-
мальная кинетическая энергия электрона равна
( _
2 VTH^J
Отсюда
El = 2f/meco2/e.
Плотность потока энергии лазерного луча равна
PIS = съаЁ\
где S = (n/4)d2, Е2 = ?д/2. Окончательно получаем
Вт.
4.125. Принимая во внимание, что при скользящих углах па-
дения ф ж 4а, получим из условия полного внутреннего отраже-
ния
cos a = cos (ф/4) = и = 1 ф2/32.
Показатель преломления есть
е0тесо2 280тесо2
Отсюда находим
Ф « Ду4 е2 ^ «5-10 2 рад ж 2,9 !
256
4.126. Показатель преломления гача определяется соотноше-
нием
п = VI + 4яа/У ,
где аполяризуемость молекул газа (в гауссовой системе), а
Nих концентрация. Принимая во внимание, что
V
где Pol(k^T)концентрация молекул при h = О, получим
яз I + 2nd ° f ! 'I j.
Радиус кривизны луча, пущенного горизонтально вблизи по-
верхности планеты, есть
Г = -; ТГ" ** 7Г^ ~ Ю2 Км-
ап/ап 2я<хр(|ш?в
Так как г < 0, центр кривизны располагается при Л < 0. Таким
образом, горизонтальные и близкие к ним лучи не могут выйти
за пределы атмосферы Венеры (\г\ <гв).
В атмосфере Венеры возможна круговая рефракция, при ко-
торой луч света огибает планету на некоторой высоте.
4.127, Радиус кривизны горизонтального луча в атмосфере
Земли равен г = 1/(«о 1) (kBT/mg) « 2,9' 104 км. Для кру-
говой рефракции давление (и плотность) должно быть в 4,5 раза
больше,
4.128. Интерференционное отражение света происходит толь-
ко от тех звуковых волн, для которых выполнено условие Брэг-
га Вульфа. Доплеровской сдвиг частоты рассеянного света оп-
ределяется соотношением
где 6 угол рассеяния.
Условие разрешения R = mN 5s v/Av. Отсюда при m = 1
получим
»1210'
4.129. N^i-^yJ «2,5.105,
257
4.130. Дифракционная решетка должна обладать разрешающей
способностью R J3 (cl'2)^Jт^къ'Г « Ю&, где mNe масса атома
неона. При работе в 1-м порядке /. = Rd #3 10 см
4.131. При т = 10 cyi Л'^103. При т=10 лет расщепление
спектральных линий значительно меньше их ширины.
4.132. Для надежного обнаружения движения космического
корабля по доплеровскому сдвигу спектральных линий необхо-
димо, чтобы этот сдвиг был больше ширины спектральной линии,
обусловленной тепловым движением молекул на поверхности
Солнца (т е. чтобы линейная скорость корабля превосходила
среднеквадратичную скорость молекул водорода, равную при тем-
пературе Т 6000 К о, « I01 м/с). Отсюда следует, что
v^.vT « Ю4 м/с
Минимальное число штрихов дифракционной решетки опре-
деляется соотношением
R mN^{a
При m = 2 получим Af#3l,5'IO4, Приведенная оценка не учиты-
вает доплеровскнй сдвиг, обусловленный вращением Солнца.
4.133. Эффект обусловлен изменением оптических длин путей
для встречных волн: Av = v
4.134. По формуле для релятивистского доплер-эффекта най-
дем
где р = v/c = 0,8, Д^ = 1 с.
4.135. Решение аналогично решению задачи 4,134, Стрелка
совершит два оборота.
4.136. Д^ = 3 10~5 с, 6 (Д/)/Д* да 0,06 %.
4.137. о = C/5) с.
4.138. Перейдем в систему, в которой спутник покоится. Ча-
стота приходящего на спутник сигнала равна
VI и2/с
v, =-
I + (v/c) cos a I + p cos а '
Такую же частоту в системе, связанной со спутником, будет иметь
отраженный сигнал. Перейдя теперь снова к системе, связанной
с Землей, обнаружим в точке В сигнал с частотой
V0
1 -
1 Р cos 9 ° A + р cos а) (I р cos 9) '
258
Релятивистская попраака к частоте есть
pe/l
Отсюда следует, что разрешающая способность R спектрального
прибора должна быть
рел
V. АТОМНАЯ ФИЗИКА
§ 5.1. Кванты света. Фотоэффект.
Эффект Комптона
5.1. ф яа 20МсД/?сс2) & 50 мкрад, где Мс и Rcмасса и
радиус Солнца, G гравитационная постоянная.
5.2. а = (Р/5.3. W = А (со + S) Wu =. 0,25 эВ.
5.4. а = arccos [Ц7К/(Ц7К + 2тес2)]'/2. где тое масса покоя
электрона.
55. Wv = 2трс2 « 1,9 ГэВ, где тр масса покоя проюна.
5.6. а = 90°.
5.7. emax = 60°.
5.8. е12 = 90°, е13 « 127°, в2|, = п - arct? C/4) « 143°.
5.9. v c[l +('Пе?.с/АJГ=1,54-1010 см/с.
5.10. П^Л, « 411сЪ71/(ктУ) « 7,2 МэВ.
5.11. Wy » mec2/2 « 0,25 МэВ.
5.12. А. = 2,4 пм.
5.13. Обозначим начальную энергию фотона Аса, конечную
Йсо', угол рассеяния фотона 9, кинетическую энергию электрона
№к, импульс р, угол вылета электрона ф. Запишем законы сохра-
нения энергии и импульса:
Асо = Асо' + Wk. sin 6 = р sin ф,
ftco ftco' n ,
= cos U + p cos ф;
С С
отсюда найдем
Асо' \2 / fico \2 , , 2Асо
р2с2 + Wl 2pcWK cos ф
Лео' =
2 (рс cos ф WK) '
259
если (рс cos ф IFK) > 0. Окончательно получим
со5Ф > WK/(pc) - [l + ^c4/(pV)]'/2- m/Kpc).
5.14. 11^/11% = (l + 2В%/тес2)"' =0,05.
5.15. my < (A/cA,,) Dб;/?лI/2 да 10~44кг.
§ 5.2. Волны де Бройля. Волновые функции
5.16. п = [(WK + eU^/W^1'2 = 1,17. U2 = - 75 В, где в - за-
ряд электрона.
5.17. W = 150 (L/RJ сГ2 « 12 кэВ.
5.18. Условие отражения m-ro порядка в системе, связанной
с кристаллом, запишется в виде
2d sin Ф = ink = mli/(mnv),
где ftпостоянная Планка, тп масса покоя нейтрона, у ско-
рость нейтронов относительно кристалла. В первом случае источ-
ник нейтронов неподвижен, а во втором движется со скоростью
и. Поэтому
sin Фо/sin ф = | о + и | / | о |.
В дальнейшем будем полагать, что и < у. В атом случае имеем
приближенно
|в + о|/|о|«1+ («/у) sin ф0,
и, следовательно,
sin ф да [1 + («/о) sin ф0] sin ф0.
5.19. k = hq>l(m.nLn) = 0,6 нм. Ак/к = 6/(#ф) = 0,2.
5.20. «7 = Дф/ш0/(?/0 « 10~13е.
5.21. sin (ф/2) = mll/k BmeWKI/2 (m = 1, 2, 3 ...),
5.22. rf = 2 {hL/BmkBTI/2} « 2 мкм, где т атомная масса
ееребра.
5.23. Энергия электрона на n-и уровне равна
На каждом уровне находятся два электрона. Поэтому полная
энергия всех электронов равна
N12
W = Bn2h2/2m&b2) ? я2,
п = 1
в сила давления на стенки ямы
JV/2
260
дЬ &
n-i
5.24. WK > H2/Bmprl) « 0,2 МэВ.
5.25. Дг = hc/(mnc2) = 2 103 См.
5.26. Угол <р между направлением полета частиц и направле-
нием излучения определяется из раненслва
cos ф = cl(iw).
Электрон, находясь в слое вешестпа толщиной d, имеет неопре-
деленность импульса Др яз hid н неопределенность скорости Да =
_«= hl(dmt), Связанная с этим неопределенность угла ф равна
Дф rj ch/(me dnv' sin ф).
5.27. хж4Н2(е.+ \)/[тее2{е 1I = 7- 10-' смд
Ц7св«.-пее4(е lJ/[32/i2(e + 1 J] = 7,5-10~4 эВ.
5.28. WK « h2/{8ma2), точное решение: WK = fi2/Bma2).
Wn (x) = h'/ixma), W = - K1lBmd').
5.29. Wn = Wa + {K2h2/2med2)n' (n = 0, 1, 2 ...),
5.30. U7n = W/sm2[d {2meW)ll2/ti] = 1,64 эВ,
D = exp {- 2/Г1 [2me (\Vn - W)]U2 ¦ 9rf} = 3,5 10~5.
t = In 2/(nD) = 0,16 пс, где n число ударов о стенку.
5.31. Е = 2mN+ До/(/ Д/) « 280 В/см.
§ 5.3. Атомы и их излучение
5.32. Ч7И = 2,6 кэВ.
тпре4A/32-1/42)
5.33. ДЧ7 = z-r, « 125 эВ,
где тПр = т^/ИрДту, + тр) приведенная масса мезоатома.
V = (me/mn)rB = 2,8-10-" см.
5.34. Среднее значение потенциальной энергии электрона
в момент распада мюона найдем из соотношения
Средняя кинетическая энергия раина
WK=W- Vn = - й2/(8гБ) + e'/(ArR) = fi*/DrB) к 4 эВ.
5.35. Вероятность найти мюон па расстоянии г от центра
ядра равна
w (г) = (Аяг2Ыг\) ехр (- 2г/;Б) dr.
261
Поправка к энергии будет
ехр ( ) dr
г гъ v гъ)
?[-(¦+^
Поскольку гя = 1,3 Ю3^13 да 3,5 10~13 см, гъ = ^/
« 2,5 Ю2 см, то гБ > гя и
Так как W = 2Wn = 2Ze2/rri, где И?п потенциальная энер-
гия, то окончательно получим
AW/W да 2 (rjrbf да 4 10~2.
5.36. Для оценки положим, что начальный импульс ра элек-
трона был направлен перпендикулярно линии полета фотона. Ве-
личину ра найдем из условия
РдГоаП. A)
Продольный импульс pi электрона после соударения с фотоном
найдем из закона сохранения импульса:
ftco/f = hot'/с + pt, B)
а Аоо из формулы Комптона:
ДЛ = Л2 Я, =2яЛе A cos(p), C)
где Ле комптоновская длина волны электрона. Окончательно
получим
tge = po/p;«O,14, 9 да 10°.
5.37. Z,min = сх = 3 см.
5.38. Г » трХ2 (Д/J/(ЗйБ) « 44 К-
5.39. Д/«т-' = 10МГц, где т = Д*/[оД !n
5.40. Г = (ДЛДJ Me2 D/?) = 7,8 105 К, где М - масса ато-
ма l2C, R универсальная газовая постоянная.
5.41. щ = И72т/Bяс2А)да1,6-10~иг, Ь (Зт/4яр)|/3л;0,У мкм,
5.42. Н = 10 Лс2/(ЯТ«7) да 400 м.
5.43. г=0, 1, 2, / = 6,3.10-39г.см2.
5.44. У = с/г/(еДЛ) = 15 к В.
5.45. Ь » 3?с/A6я0(;рреМс) « 0,4 мкм, где Lc светимость
Солнца.
5.48. Д/yf = feB TX/(mNeDc) = 3,6 Ю13.
262
5.47. Расщепление пучка нейтронов в однородном магнитном
поле обусловлено переориентацией спиноп нейтроноа по полю и
против него. Изменение энергии нейтрона при пересечении границы
магнитного поля равно &WK = rfcjxB, где знак плюс соответствует
случаю, когда спин нейтрона параллелен полю, минус когда
спин антипараллелен, а Ц проекция магнитного момента на на-
правление поля, равная магнетону Бора ЦБ. Кинетическая энер-
гия связана с длиной волны де Бройля X соотношением №к =
= 2n2liil(mrlX2). Показатель преломления ранен
Для углов преломления на границе можно записать
sin 60 °/sin cp = 1/п±.
Для малою угла расщепления 0 = ([+ф_ окончательно имеем
6 л; (sin 60 °/ cos ф) (п+ я_) = цВ tg 60 °/Ц7к =
= л/3~"^21'Я/Bя2/г2) яз 80 мкрад
(фсредний угол преломления, 7. е. около 00°).
5.48. Атомы Na при заданной температуре находятся в ос-
новном 2Si/2 состоянии, Проекция магнитного момента атома на
направление поля
Ни = '"йИб = ^Б.
так как т=±1/2, я = 2 фактор Ланде, цБ магнетон Бора.
Сила, расщепляющая пучок атомов, летящих вдоль оси у,
/^ = =Ь ЦБ dB/dx
за время t = l/v сообщит атомам скорость
dE I
приводящую к смещению пучков на детекторе
, dB ЦЦ2 + Ц
Х ~ =*= ^В 13J ^1
Кинетическая энергия атомов равна
/Ш12/2=C/2)*Б7\
Окончательно находим расстояние между пятпямп на экране:
о - г, dB l С/2 + L)
5.ГH. Lmax = 2nm(,ci/(eB) = 1,1 см.
283
5.51. Зеемановское расщепление должно быть больше допле-
ровского ушмрения за счет теплового движения атомов (в ос-
новном водорода) и вращения звезды, т.е.
Дсо/со = 2|хБВ/(/ги()) > (Дсй/и)тепл + (Асй/и)в[1а|ц =
= VTenJc + Ивращ/с та О-гепл/с .
Окончательно получим
В > (Й(й/2цБе) BfeBr/mp) « 0,13 Тл.
5.52. Четыре компоненты с т, = +3/2; +1/2; 1/2; 3/2
для терма 2Оз/2 и две компоненты с т, = +1/2 и 1/2 для тер-
ма 2Ру2. В расщепленной линии шесть компонент, так как gi ф
ф g% Окончательно находим
Дш= {±13/15; ±11/15; ±1/15} еВЦ2тес).
5.53. Терм Рз/2 расщепится на четыре, a Si/2на два под-
уровня. В расщепленной линии Рци -*¦ S[/2 шесть компонент, а для
Л/а-*-Si/2четыре компонента. Расщепление в магнитном поле
равно АЛ, та Д W№/Bnhc) та 0,03 нм. Эффект аномальный.
5.54. В ш = 5 « 0,3 Тл.
2|XR 2Л2цБ
5.55. ДЦ7 х 10~8 эВ. Обнаружить это расщепление нельзя.
5.56. Изменение энергии при переориентации спина равно
Д\*7 « 2ц.рце/гБ ш 1 мкэВ.
Окончательно находим
Л = Ле/ДЦ7 та 1 м
5.57. Рат = 2я/ге/(Л?) « 4,3- 10~18 ед. СГСЕ,
' = Рат/е *** Ю НМ.
VI. ИЗЛУЧЕНИЕ
6.2. Так как свойства равнопесного излучения не зависят от
объема системы, то«7(^, Г) = Ур„зЛ(Г) и S(V, T) = Vs(T). Из
термодинамических тождеств
(aS/dVJj, = (dpldT)v, T (dS/dT)v =Cy = (dW/dT)y
в сочетании с уравнением состояния получаем
s = A/3) dpmJdT, ds/dT = T~ldpil3Jl/dT.
Решение этой системы уравнений дает
Риал СП = %Т\ S (Т) = D/3) ?Г3.
264
Так как интегральная плотность энергии излучения рНзл(^) свя"
зана с интегральной плотностью потока Oq^T4 соотношением
0СБГ4 = срнзл (Г)/4, аналогичным газокинетической формуле для
молекулярного потока, то сгСБ = е?/4. Здесь сгсв постоянная
Стефана Больцмана. Из вывода видно, что константа § не мо-
жет быть найдена термодинамически, используя результаты ре-
шения задачи 6,1, мы выразили ее через экспериментально изме-
ряемую постоянную сгСБ.
6.3. Мэ = срИЗл/4.
6.4. Г = (Зср/4аСБI/4«1,4-105К.
6.5. ге= 4аСБГ3/(ЗейБ) яа 1,8-107 см13, где йБ постоянная
Больцмана.
6.6. rV)=r0
6.7. rV)=r0W/
6-8- Ыкор/Ыэм = п К + "'«) ^7BаС^СБ^) « 6 ¦ Ю-8,
тр и те массы протона и электрона.
6-9- ^д = (?c/6.10. ДГ = Г3 Р/DР) « 7 10~3К, где Г3 средняя темпера-
тура поверхности Земли.
6.П. гш = гс(
6.12. Теплообмен падает в N + 1 раз.
6.13. |0=4аСБ/CС).
cv=\Q6.14. р = 32аСБГ4/(Зс) « 1,26- 10~э дин/см2 « 1(Г° Торр.
6.15. ср=оо, IT3 = const.
6.16. < = <1Г1/Г0~ 10' лет.
6.17.
cSt ДА,
6.18. Приблизительно на 38 %
6.19. E/я4) (Ч7/ЙБГK « 0,2 %.
6.20. A5/я4) («7/йБ7'K ехр ( W/kBT) яа 0,8 10~6.
6.21. шиид/шсп = «(«/)= {ехр (Ч7/^БГ) - 1}-', где Л - сред-
ние планковские числа заполнения для осцилляторов. Для атома
и
265
а для спина W <СйБГ и
wKRJwcn~kBT!W « кБТ/BрБВ) а* 2,2- 10».
6.22. со> (AigT*//!) In KVsw 1,8.10й с
6.23. fen (Г) = ^ th
2) ftn (Г) =*„[' -2е
6.24. Спонтанное излучение возникает из-за возмущающего
влияния на молекулу нулевых колебаний электромагнитного поля.
Поэтому вероятность спонтанного излучения пропорциональна
произведению площади S пол спектральной кривой поглощения
молекулы (которая является мерой связи «внутримолекулярного
осциллятора» с электромагнитным полем) на среднюю спектраль-
ную плотность ро(о>) энергии нулевых колебаний электромагнит-
ною поля из частоте, отвечающей переходу в молекуле, и в той
точке пространства, где находится молекула В вакууме подсчет
числа нормальных осцилляторов па интервал частоты произво-
дится точно так же, как при выводе формулы Рэлея Джинса,
П в итоге получаем
ш. „ ~ ASP,-, (ел) = AS (йа>3/2я:2с3),
где Анекоторая константа.
D резонаторе в актуальной области частот имеется одно
нормальное колебание с шириной порядка (o/Q. Поэтому если
ширина молекулярных уровнен Г < co/Q, спектральная плот-
ность ра имеет порядок (/ш/2) (V'co/Q). Из-за изменения спон-
танного времени жизни ширина уровней Г в резонаторе может
значительно отличаться от ширины в вакууме, однако существен-
но, что, как и для обычного осциллятора с затуханием, амплитуда
в резонансе и ширина меняются одновременно так, что площадь
под кривом поглощения остяетея неизменной. Поэтому
ш,Г1 со AS (HQ/2V), wjw\n со nW(Va>3).
6.25. -?-22L = I Г, _ iHn=JLL1
Л'полн 2 L 2knl J
0,505.
VII. ТВЕРДОЕ ТЕЛО
§ 7.1. Свойства кристаллических решеток.
Фононы. Теплопроводность
7.1. Простая я/6, гранецентрированная 2''2д/6, объемно-
центрированная 31'2я/8.
7.2. Согласно условию задачи волновые векторы падающего
и рассеянною лучей равны k = k{\, 0, 0) и k' = (l/3)/e(l, 2. 2)
266
соответственно; здесь k = 2nv/c. Поэтому изменение волнового
вектора при рассеянии равно
к' fe = B/3)fe(1, 1, 1).
С другой стороны, при брэгговском рассеянии
к' к = 2яЬ.
где b целочисленный вектор обратной решетки. В кубической
гранецентрированной решетке базисные векторы прямой решетки
выбираются в виде Я[ = 2~"*оA, 1, 0) и аналогично а2 и а3;
здесь а межатомное расстояние, При этом базисные векторы
обратной решетки построены по типу Ь, = 2-1/2а~'A, 1, 1). От-
сюда видно, что в интерференции 1-го порядка вектор Ь должен
быть просто отождествлен с одним из минимальных векторов bi
И поэтому
2я/Bа).
Окончательно находим, что
а = 3c/23/2v «2,9-1 (Г8 см
7.3. Уравнение колебаний ангармонического осциллятора с по-
тенциальной энергией W*(x) имеет вид
тх = "лк /и]х'г.
Коэффициенты в нем можно оценить, учитывая, что Wn(x) возни-
кает вследствие взаимодействия электронных оболочек, имеющих
атомный порядок величины а, и само взаимодействие имеет атом-
ный ПОрЯДОК И?аг. ПоЭТОМу
х со Гат/а2. х, «3 Way/al
Усредняя уравнение движения по периоду колебаний т @ <' ( <
¦< т), имеем по определению среднего и с учетом периодичности
движения
i = l[;*(T)-* @I=0
Поэтому ]с = х,л2/х. При слабом энгармонизме1 моч«!!о ¦>'¦ г.зять
в гармоническом приближении: кх'г/'2 = k^i'j2. Почгому
где feB постоянная Болышана.
Если принять War 10 эВ, то температурныГ] коэффиц
линейного расширения
bR/Wai ~ Ю-3 К.
Он не зависит от температуры во всей классическом области
Йсо (со лг (х/mI^2 круговая частота колебаний).
207
7.4. N продольных колебаний и IN поперечных.
7.5. a>(fe)=2(x/m)| sin (/га/2) |, s = а (х/т)т.
7.6. со = (я/20) (я/в) ж 1,05- 10ia с-'.
7.7. Решая уравнения собственных колебаний цепочки, полу-
чаем две ветви частот:
a?: (k)= l±(l , ) . |/га|<я/2.
Здесь mnp = mlm2/(ml + m2) приведенная масса. На нижней
ветви при | ka | -С 1 частота <в, со fe, и поэтому эта ветвь назы-
вается акустической. На верхней ветви и^ (k = 0) = 2x/mnp, она
называется оптической. Между ветвями существует щель, так
как я>2 (я/2а) > со, (я/2а). При т( = /га2 частоты равны:
и щель при fe = я/2а исчезает; период цепочки уменьшается
вдпое, и поэтому можно рассматривать одну ветвь
<в2 = (х/тпр)[1 -cos(fea)!
в удвоенной области волновых чисел \ka\ ^ я.
7.8. Решая уравнения вынужденных колебаний цепочки и вы-
числяя днпольный момент, находим поляризуемость:
а (и) = (е2/тпр) Bх/тпр со2).
Поляризуемость расходится на частоте длинноволновых оптиче-
ских колебаний ш= Bн/тпр).
7.9. Запишем законы сохранения энергии и импульса при рас-
сеямни нейтрона:
hW/Bm) = h2 (fe'J/Bm) ± Аса (q), k = к' ± q + 2я6;
здесь знак плюс отвечает за испускание, а минус 9а поглощение
фонона. Во втором равенстве Ь произвольный вектор обратной
решетки. Экспериментально измеряя k и ft', можно из первого ра-
венства непосредственно получить а>(я), а из второго q; при
этом вектор Ь определяется из того условия, что q принадлежит
первой бриллюэновской зоне. Это позволяет восстановить зави-
симость a>(q).
7.10. Теплоемкость единицы объема:
cv = Bя2/15) кБ {21 s] + l/sf) {kbT/hf.
7.11. С, со Г, С2 со Г2.
7.12. cv = Bn2/lb)kE(kET/hsym3Q эрг/(см3 К).
7.13. s да {2n2kE/5cvI13 (kBT/h) « 5,3 10s см/с,
TD да Fя2I/3 (As/ftва) ж 520 К.
268
7.14. Используя результат решения задачи 7.10, можно полу-
чить приближенное выражение для удельной теплоемкости:
Суд со (ps) ¦ °°а (здесь а постоянная решетки, з& атомная масса. Отсюда выте-
кает отношение масс гелия, необходимых для охллждения свинца
и кремния:
mPb/mSi = Ирь/^Si) [TD (РЬ)/Гд (Si)]3 » 42.
7.15. У к аз а н и е. Воспользоваться аргументами, использо-
ванными в решении задачи 7.3.
7.16. S = R In B/ + 1), SHe = R In 2, SAr = 2/? In 2, где R
универсальная газовая постоянная. Энтропия полностью упорядо-
ченного состояния принята равной нулю.
§ 7.2. Электроны в металлах
7.17. rF«9,8 3B, pFto 1,5-10~19 г см/с, vp » 2,1 . 10е см/с.
7.18. W = 3Wp/5.
7.19. tt7K« 1.93 эВ.
7.20. За время жизни позитрона в кристалле до его анниги-
ляции с одним из электронов позитрон успевает ртстерять свою
исходную энергию Поэтому его скорость является тепловой н ею
можно пренебречь в сравнении со скоростями электронов порядка
фермиевской скорости. Следовательно, при написании закона со-
хранения импульса достаточно учесть в начальном состоянии
только импульс электрона ре:
Ре = Pvi + Ру2>
где pVI, pv2 импульсы фотонов ("у-кваитов) Так как энергия,
выделяющаяся при аннигиляции электрон-позитронной пары, в
расчете на один у-квант равна тс2 as 0,5 МэВ (т масса покоя
электрона), что намного превышает фермиевскую энергию элек-
трона WpS?\Q эВ, то импульс каждого уквапта с высокой точ-
ностью равен тс. Так как тс 3> Р/>, то угол между разлетаю-
щимися уквантами будет близок к я. Отклонение <р от этого угла
будет тем больше, чем больше импульс аннигилирующего элек-
трона, а он максимален, когда импульс электрона равен pp. Из
закона сохранения импульса следует
рр = тар » 10~19 г см/с.
,2\2'3 fc2..5/3/ о о irv5
7.21. р = A/5) (Зя2) ftV/3/m » 3,8 105 атм,
К~[ = d (In n)/dp = 3/Eр) = 1,5 ¦ 10~б атм.
269
7.22. ф ~ ЬБТ/(ярр) <С 1 рад, так как в типичном металле с
одним электроном на ячейку pF ~ h/a, а поэтому sPf ~ kbTD
Здес bpF импульс Ферми, амежатомное расстояние, s ско-
рость звука.
7.23. Нтях = (Zchled) (Зя^ге)13 « 179 Э.
7.24. dmax = Bc/i/eH) (Зя2/У)13« 1 мм.
7.25. sin ф|/я1П фа = (re^i/rai) =2, (фа)по = 30°,
7.26. Решая уравнения движения
получаем
7.2S. vp = (А/и«е) Bяа/У! » 1.05 108 см/с,
шс == (еНlmoc) cos ф,
7,29. Из ря = й? следует
= (еЕ/Н) (I - t0).
отсюда с учетом x vx и vx = dWldpx получаем
х ({) = хо + AХ\/еЕ) cos [eEa (t to)/A].
Таким образом, элскт()Он осциллирует около равновесного поло-
жения хо с частотой ш = efiajh, и средний ток равен нулю. При-
чина этого состоит н том, чго кинетическая энергия И^, cos(fe*a)
является ограниченной функцией &*¦ В результате движение элек-
трона с потенциальной энергией ^(л:) =еЕх ограничено конеч-
ной областью (вследствие закона сохранения энергии),
7.30. vx => W0a/2h, uy = vz =- 0;
vy = (еН/cft) (Wa'/llr), vx = iiz = 0.
7.31. \Vp= Wn- Рр[\Щ = 2[1'2лй/{За! & l,48A/a,
pF [111' = ;3,IW Й/а) arccos B/3) « 1,46Й/а.
vp [100| «= i^na/A, 3 
7.32, Используя формулу для электронной теплоемкости
cbn = iiik\TnlBWp) в расчете на единицу объема и формулу
для решеточной теплоемкости, вытекающую из решения зада-
чи 7,10, получаем
270
Пользуясь оценкой для S, следующей из решения задачи 7.5, и
полагая Wp ~ U7at, получаем
*ВГ ~ (т/МK/%ат,
чго дает Т* ~ 10 К. Здесь m и М электронная и атомная мас-
сы, WaT ~ ю эВ.
7.33. В расчете на один атом:
йРеш О К) « 6 1<Г V Среш C00 К)
c9J) C К) «2,3 10~4йБ, са!1 C00 К) » 2,3 10~2*Б.
7.34. стэф ~ 10э Ом см.
7.35. (/гт)эф ~ (k%T/Wp) nvp d ~ 102 Вт/(см К), где п кон-
центрация электронов.
7.36. Ър1рр = ЦБЯ/Ч7р, бге/ге = (Зя/2) (цБЯ/«7р),
W) (Зя2ге)13. XNa « 3,8 Ю-7.
7.37, Согласно уравнениям Максвелла из условия Н = В = 0
следует
rot ? = 0. Ь + 4я/ = 0.
Из первого соотношения вытекает, чго электрическое поле такой
волны является продольным, т. е. в уравнении
Е (г, /) = Еа ехр {< (йг «/)}
амплитуда Ел || й. Величины D и / связаны с Е материальными
уравнениями
D= eE j = aE,
где е статическая диэлектрическая проницаемость, а сг удель-
ная проводимость. Для зонных электронов mv = еЕ, где о
средняя скорость потока электронои во внешнем поле. Отсюда
;'о = envo = i (e*nlma) Eo;
подстановка в D + 4я/= 0 определяет частоту собственных про-
дольных колебаний электронов:
Ш = 4яе
Для металлов шр ~ 2 1016с""'.
7.38. hap « 9,2 эВ.
7.39. Чтобы ввести комплексную диэлектрическую проницае-
мость е(ш), надо следующим образом переписать уравнение
271
Максвелла:
Тогда в соответствии с материальными уравнениями
8 (со) = е + I 4ясг/со,
8 статическая диэлектрическая проницаемость (см. задачу 7,37).
Вводя в уравнение движения электрона «трение», описываемое
временем свободного пробега т,
mv = (mix) v + еЕ,
получаем
сг (со)!
т A г'сот) '
Исходя из экспериментальных значений статической электриче-
ской проводимости металлов легко оценить, что в оптическом диа-
пазоне частот сох » 1, и поэтому комплексная диэлектрическая
проницаемость
е (со) да 8 (l сОр/со2),
При со < сол е(со) < 0, т.е. имеет место полное («металли-
ческое») отражение. В ультрафиолетовой области при со > сол
(см. задачу 7.37) е(со) > 0 и пропускание резко возрастает.
7,40, Распределение потенциала внутри проводника описы-
вается уравнением Пуассона
Дф = 4яе (ге па)/в, A)
Wi
где е диэлектрическая проницаемость, возникающая за счет
электронов заполненных зон (т, е,
всех электронов, за исключением
электронов проводимости), В со-
стоянии термодинамического рав-
новесия уровень химического по-
тенциала ? электронов постоянен
**~Х во всем кристалле. Однако из-
за электрического поля дно зоны
проводимости, отвечающее про-
сто потенциальной энергии элек-
трона, меняется от точки к точке
= VCp(x), Если изгиб зон мал в
г
Ано зоны
проводимости
Рис. 7
(рис. 7); в результате
сравнении с Wr, то
= (dn/dWF)t
Объединяя уравнения A) и B), получаем
Дф = (Ane2/e)/(dn/dWF) ф,
272
B)
Решая это уравнение, находим
X \
При квадратичном закоие дисперсии Wpoop'p, псарр, и поэтому
следовательно,
Для указанных значений параметров 1тг « 4-10~9 см для ме-
таллов и 1,5-10в см для полуметаллов В первом случае полу-
ченное значение 1тг показывает, что внешнее поле практически
полностью экранируется уже на одной постоянной решетки и
внутрь металла не проникает.
7.41, При не слишком высоких частотах (шт. -С 1) удельная
проводимость сг вещественна, причем ток проводимости значи-
тельно превышает ток смещения (при ш^т/ш>1 ср, за-
дачу 7.39). Тогда комплексное волновое число равно
где б = е/Bясгш) скииовая глубина проникновения (толщина
скии-слоя). Для меди б « 2-10~4 см.
7.42, сг (со) = сго/[1 + (со сосJт2], сг0 = е2гет/т*, где сос
циклотронная частота, п концентрация электронов,
7.43, В L-верхпроводниках В л* Н и током смещения можно
пренебречь по сравнению с током сверхпроводящих электронов.
Поэтому уравнения Максвелла принимают вид
rot Я = Я/с, A)
rot Н = Anj/c. B)
Уравнение движения электронов mil = еЕ в сочетании с / = etvo
дает
C)
Подставляя C) в A), получаем rot/ = (е2п/тс)Н. Исключая
отсюда / с помощью B), находим уравнение для Я:
rot rot Н = Я/Я д, Хл (тс'/4яе2ге) ' = е/ш„.
Преобразуя левую часть с учетом div H = 0, получаем оконча-
тельно
Для плоской поверхности металла последнее уравнение имеет ре-
шения Н ео ехр (± х/Хл), т. е. магнитное поле экспоненциально
Ю Сборник задач по физике 273
зятухает в глубь сперхпроводника. Поскольку частота внешнего
поля не входит в Я,_,|, результат в полной мере относится к по-
стоянному магнитному полю. Искомая глубина Хд ~ 10
10~6 см.
7.44. / (Г) = (em'klT2/2si2h3) exp (- A/kBT).
7.45 А (?) = А - e3/2?I/2, j (Т, Е) = / (Г) ехр (е3'2Е1'2/кБГ).
7.46. Уравнение движения электрона:
m'v = еЕ + (е/с) [даЯ] (m'/тг) да,
Я||г, ?lfl.
Ищем только среднюю скорость дрейфа да, опуская вращение
вокруг направления Я, не дающее вклада в средний поток; для
этого полагаем да = 0. Тогда
Ех ~f* (йс^Еу Еу №стЕх
где сг e2nxlm* удельная проводимость при Н = 0, ш.. =
= еН/(гп*с) циклотронная частота.
При Еу = 0 продольная состлляющая плотности тока равна
' а Е
Уменьшение тока в этом направлении с ростом Н определяет маг-
нитосопротивление. Составляющая плотности тока в перпендику-
лярном направлении равна
у 1 + (ш<;тJ
и является холловской Наблюдения в этих условиях произво-
дятся в диске Корбино.
В пластине ток вдоль нормали отсутствует (/„ = 0), поэтому
холловское поле Еу = шст?* и }% = сг?« Надо подчеркнуть пол-
ное отсутствие магнитосопротивления; причина состоит в том, что
ток течет не только под действием внешнего поля Ех, но и под
действием холловского поля Еу. В сильных полях (шст » 1) до-
минирует второй вклад.
7.47. Растекание заряда описывается уравнением непрерывно-
сти p+div/ = 0 и материальным уравнением / = аЕ. В хоро-
ших проводниках изменение проводимости, связанное с избыточ-
ными носителями, образующими объемный заряд, ничтожно мало
по сравнению с равновесной проводимостью, поэтому а = const.
Используя соотношения D еЕ, где е диэлектрическая прони-
цаемость, связанная с электронами заполненных зон, и div D =.
= 4яр, получаем окончательно
р + Dяст/е) р = 0.
274
Решение этого уравнения есть
р (г, t) = ро (г) ехр ( //тм),
где Хм = е/Dясг), а Ро(') распределение заряда в начальной
момент t = 0. Из решения видно, что плотность р, не деформи-
руясь, экспоненциально падяет во времени, гак что в тех обла-
стях пространства, где заряд при /=0 отсутствует, постоянно
сохраняется нейтральность При этом ток, естественно, течет во
всем пространстве. Для германия тм ~ 10~10 с.
§ 7.3. Электроны в полупроводниках
7.48. В отличие от задачи 7.40, здесь равновесное распределе-
ние электронов определяется формулой
где WB(r) = еф(г), <р (г) электростатический потенциал, а
п0 концентрация электронов вне области объемного заряда.
Слабость внешнего поля означает выполнение условия |еф| -С
Дф = Dяе2я0/е/гБГ) ф.
Его решение имеет вид
Ф оо ехр (- x/lDH), где IDH = (еАБГ/4яв2«0).
При указанных значениях параметров /Dff«5-10~5 см.
7.49. Wcn = ,п*е4/Bе2Н2) = (т'/ет) R^ « 0,7 мэВ яа 8К, где
RM постоянная Ридберга
г = Й2е/(т*е2) = (ет/т*) гБ « 65 нм.
7.50. W79K=AfnpeVB8^2), г9К=еЙ2/(ЛТпре2), М,к = т\ + /п*_
где Afnp = m+tn_l(m*+ + ml) приведенная масса.
7.51. В объеме V в обычном г-пространстве и объеме V» в
пространстве волновых векторов содержится l/Vt/Bn)8 состояний.
Так как для невырожденных электронов числа заполнения равны
п (W) = ехр [ (W + WpykftT], то концентрация электронов в
зоне проводимости равна
= B/Аа) Bят*/гБГK/2 ехр (- Vp/kBT)^Q ехр (- ^^г.
Величина Q называется статистическим фактором зоны, h
10*
27S
7.52. я+я_=я?, n.f^=Q_Q+enp(-Wa/kbT), Q_ и Q+
статистические факторы электронной и дырочной зон (см. за-
дачу 7.51), tii концентрация носителей в полупроводнике без
примесей (собственном полупроводнике).
7.53. При не слишком нысоких температурах обмен электро-
нами осуществляется только между донорами и электронной зо-
ной. При этом условие электрической нейтральности имеет вид
Q_ ехр (?/feBr) + nR [ехр (- W? + ? ) + '] '-«д.
где плконцентрация доноров; дли его получения достаточно за-
писать число электронов в зоне и на донорах. Здесь ? < 0
уровень химического потенциала (уровень Ферми). Таким обра-
зом, для ехр (?/&БГ) получается квадратное уравнение, которое
легко решается.
При низких температурах, таких, что я_ -С гед, имеем
а при более высоких п- я: гед (область истощения примесей).
Концентрация дырок ге+ выражается через ге- с помощью соотно-
шения п+п_ = nf (см. задачу 7 52). При высоких температурах
доминирует возбуждение электронов из
заполненной зоны, и тогда
1пп_
^ Это имеет место при т(Т) 3> гед.
Схематически температурная зависи-
мость концентрации электронов ге_(Г) и
дырок ге+(Г) показана на рис. 8.
7.54. п_ « JV, я+ « «f/JV.
7.55. Ток насышения в полупроводниковом диоде с р ге-пе-
реходом определяется в первую очередь равновесной концентра-
цией неосновных носителей по обе стороны р re-перехода. Кон-
центрация неосновных носителей зависит от температуры по за-
кону
"несен ~ехР(-И70/*БГ),
как это следует из задач 7.52 и 7.54. Поэтому изменение тока на-
сыщения определяется соотношением
/нас (Т - 6Г)//Нас (Г) « ехр (- WQtTlkbT») « 0,4.
Ток насыщения возникает за счет тепловой генерации неос-
новных носителей вблизи р re-перехода, где из-за запирающегй
276
Напряжения, приложенного к переходу, концентрация носителей
меньше равновесной. Темп этой генерации, стремящейся восстано-
вить нарушенное равновесие, пропорционален равновесной кон-
центрации неосновных носителей.
Выпрямление значительно падает с ростом температуры, ког-
да концентрации основных носителей, существующих из-за при-
сутствия примесей, и неосновных носителей, возникающих вслед-
ствие теплового возбуждения через запрещенную зону, сближают-
ся между собой. При п\(Т) ~ ге„р запорный слой заполняется но-
сителями и выпрямление исчезает. Это происходит при
т' ~ (^ A)ln {Q (П/*пр) « 400 К.
7.66. Фермиевские импульсы рр~ = pf = Bm WQ)l№, где
тпр = т+т_1(т+ + т_). Остальные величины вычисляются
через импульсы по стандартным формулам. В результате полу-
чаем ге = 9,3-1016 см"13, Wp =0,015 эВ, 1^ = 0,025 эВ.
7.57. Согласно условию задачи электрон является медленным,
т. е. ka, к'а -С 1, где к и к' волновой вектор электрона до и
после рассеяния, а а постоянная решетки. Аналогично для длин-
новолновых фононов также да -С 1. Поэтому закон сохранения
импульса можно записать в виде к = к' ± q (ср. решение за-
дачи 7.9 из-за малости k, k' и q следует положить 6 = 0).
Угол ф между р и q определяется формулой
соз ф = s/v ± q/Bk),
где верхний знак отвечает испусканию, а нижний поглощению
фонона.
7.58. Удельная проводимость сг выражается через подвиж-
ность |х соотношением сг = е|М. Подвижность в свою очередь свя-
зана с коэффициентом диффузии D соотношением Эйнштейна:
eD = feB7"|x. Оценивая D как D ~ a2v, получаем
7.59. /Эф~^Б^т/е)'/2«0,2 си.
7.60. В уравнении движения электрона
рх = hk'x = еЕ kvx = е.Е + kaWa sin (kxa)
переменные разделяются, и оно непосредственно интегрируется в
элементарных функциях. Вид решения различен в занисимости от
значения параметра Г = kaW0/(eE).
1) Г > 1. Решение имеет вид
(Г") @ < ф < я/2).
277
При <->оо оно переходит в Т sin k,a = 1, что отвечает стацио-
нарным значениям ft» и vx. Его можно непосредственно получить,
положив в исходном уравнении k, = 0, что дает в« = eE/k и про-
водимость сг = еЩк. При Г > 1 справедливо неравенство feт. е. электрон остается вблизи дна зоны; поэтому мож-
но, как обычно (ср., например, задачу 7.46), положить k = mix,
и тогда сг принимает стандартную форму:
2) Г < 1. Решение имеет вид
tg (kxa/2) = A - Г2) t|j [(I - Г2)'/2 еЕа (t - /0)/BАI - Г.
Из этого выражении следует, что с ростом t волновое число k%
также неограниченно растет, причем на этот рост накладывают-
ся осцилляции. Тангенс справп обращается в бесконечность через
интервалы времени Д/= 2vft/[eEa(lГг)|/2]. За каждый такой
промежуток времени фаза аргумента тангенса, стоящего слева,
возрастает на я и, следовательно, k% возрастает на Ak, = 2я/а.
Интегрируя исходное уравнение движения за промежуток времени
At, находим
h Mix = еЕ М k \ vx dt = eF. M k Дх,
k [ vx dt = <
где Ах смещение электрона за время Д<. Отношение Дк/Д? яв-
ляется средней скоростью дрейфа, а средняя плотность тока равна
В сильных полях, когда Г< 1, получаем
/ « e2nT2E/Bk) eo k/E,
т. е. ток возникает только благодаря наличию силы «трения»; он
возрастает по мере уменьшения времени свободного пробоя.
7.61. Пользуясь формулами для вырожденного ферми-газа,
для молярной теплоемкости получаем
C(T)=n2RT/BWp),
где энергия Ферми
здесь тмасса атома, a JVa постоянная Апогадро. Определяя
Го так, чтобы С = RT/To, находим Го ~ 1К.
278
VIII. ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА
§ 8.1. Элементарные частицы
8.1. Протон состоит из кваркон и, a, d, нейтрон и, d, d,
Q-гиперон s, s, s.
8.2. я+ «-- и, 3., K+ «-» u, s.
8.3. К0 *-> d, s.
8.4. 5° -*->¦ а, .ч, s, Л° *-* и, d s.
8.5. я", К~
8.6. Л-гиперон нли ?°-гиперон.
8.7. 1) Нет, так как AS = 2;
2) нет, так как AS = 2;
3) нет, так как (тп тр) < т„;
4) нет, не сохраняется лептонный заряд;
5) нет, не сохраняется барионный заряд;
6) нет, не сохраняется лептонный заряд.
8.8. тРе = /Vtj^/(//Va) яа 103 т, где /Уд постоянная Аво-
гадро, S& атомная масса железа.
8.9. На неподвижной мишени j^ltlax = 38, на УНК лю-
бые Jt.
8.10. (тс2) = 2W sin 0 = 84 ГэВ.
8.11. /п2ай2«90 ГэВ, р = 0,9.
8.12. т4с2= 8,3 ГэВ, р = W^(п^с1 Wу) « 0,14.
8.13. Для нахождения массы чармония воспользуемся реля-
тивистской инвариантностью квадрата четырехимпульса:
По условию задачи W, = W2=W и, следовательно, р, = р?= р,
a cos (p,p2) = cos 8= 1/2. Поскольку е+ и е~ ультрарелятивист-
ские (о я* с), то W « рс и т//Ч)с2 = 3,1 ГэВ.
Скорость найдем из значений импульса чармония р^;ч =
= 2р cos 30° и массы: Р = 0,9.
8.14. U7K=mj-c2 m.oc2 3mn±c2 = 714 МэВ.
8.15. Wmln > 2твс2 = 10,6 ГэВ.
8.16. Ч7пор = 4т2с2 + 3трс2 = 7,7 ГэВ.
8.17. М = (Ц7ц м 2трс2)/(тяс2)=11, где П7ц м энергия
в системе центра масс.
8.18. Л = 1/(рЛГАст) = 14 м.
8.19. И7,пах = (ш^с4 - 4m*c4)/Bm/) = 52 МэВ.
8.20. lPmin = 0,25 МэВ, Гтах = 10,5 ГэВ.
279
8.21. Найдем энергию мюона из законов сохранения энергии
и импульса:
Отсюда найдем искомое время жизни мюона:
т = W^Km^c2) = 5,4 мкс,
где т0 собственное время жизни мюона.
8.22. tgB = mItoc:!/(ll71U72)I/i = 0,06.
8.23. W = mK^8.24. %с* = (%+ + Wn_y - (рк+ + в_
8.25. «fl-'"
= 1,8 ГэВ, Р = 0.9, т=/./A=0,1 пс.
%. +!%-)'""("л +PK-)V=1,7 Г.В
8.26. т0 = L/o лг 2 10 с, где v скорость я°-мезона нахо-
дится из законов сохранения энергии и импульса.
8.27. L = ст0й7ЛДтЛс2) = 45 см.
8.28. L = cxaWn/(mnc2) = 600 м.
8.29. 1^ = (В7я/шпс2)[Кс4-/^с4)]/B«/) = 330 МэВ.
8.30. N IN = 1 exp ( Ljx .cy\ ~ 0,4, где \ =
w К \ К1 /
= Wl(m^).
8.31. Число пионов, достигших детектора.
где JVn число всех генерированных пионов, Й = S/L2 телес-
ный угол, под которым виден детектор из точки генерации мезо-
нов, / время пролета пионом пути L, твремя жизни пиона в
лабораторной системе, равное
т = r0Wa/(mnc2) « то A + «7к/т„с2),
где Ц7К кинетическая энергия. Окончательно получим
Nn = (nL2IS) exp {Lm^/t^o (^ + ^Лс2)Ф\) « 1,4 10° с.
8.32. JV^JVk = (я„/як) exp [- / (LK - La)/(LKLa)] « 1800,
где LK = TK-p/mKc, /-я = тяр//геяс пробеги каона и пиона до
распада.
8.33. Ц7пор=1,8 МэВ.
8.34. 0 ~ 180° - 120° (Pp/Prf) « 150°.
8.35. tg 0 = 4тяшрс7[(т2р + '4) с4] ~ 0,3.
8.36. Число взаимодействий в объеме dV за время dt
dr| = оиl2pip2 dV dt,
280
где «12= | «i «21, плотности частиц Oi = P2 = n/c (nпоток,
с скорость света). В нашем случае разность скоростей частиц
«12 = 2с, так как щ = «2 и |сгj| = |ц2| же. Число отсчетов (с
учетом эффективности их регистрации е = 0,1)
К = е dr\/dt = Isan2 dV/c.
Учитывая, что dV = SI, найдем
/i = (/Cc/2e/aSI/2
и, окончательно, ток в кольце
/ = enS = (KSce2/2ela)l/2 «2A.
8.37. В 1,26 раза.
§ 8.2. Структура ядра и ядерные реакции
8.38. Энергия связи ядра, т. е. формула Вайцзекк^ра:
U = 14,0^! 13,0^2М 0,584Z2/.s?1/3 малые члены.
Известно, что радиус ядра гя = rus?[n, где г0 « 1,25-10~1а см.
Поэтому
U (МэВ)
где S поверхность ядра. Поверхностное натяжение равно
dU
dS
13,0
4пг,
МэВ/см2 » 10" Н/м.
8.39. 20 = (лг/2)A+7,5-10-3лг2/3)~. 27Mg испускает элек-
троны.
8.40. Z2ls4- > 18.
8.4t. / = 0,44 10144 г см2.
8.42. п=»40.
8.43. S/JS/, оо ехр {(8та/ЛгI/2 [{W - ЧГ,) - (W - W2)i'i] }«
ж 2-Ю3, где Wвысота потенциального барьера ядра радона:
W = 2е2/гя.
8.44. Зависимость периода полураспада от энергии (в МэВ)
определяется приближенным законом ГейгераНэттола
lgV« C + D/Wf.
Константы С vi D определим из условий задачи: D = 149 и С =
= 57. ИскомыЛ период полураспада равен ту; = 10м лет.
8.45. Момент импульса, получаемый диском d 1 секунду, ра-
вен суммарному моменту поглощенных частиц:
„_d? _ I Nh
м~ dt ~ 4 ~-
281
Коэффициент 1/4 возникает вследствие учета углов падения элек-
тронов на диск:
nfl л/?
4- = А- [ cos й dQ. = - 4" [ cos dd cos 9.
4 4я J 2 J
(I О
Угол поворота диска равен
(f = ЖЦ = Nh/(Sf) « 50 прад.
8.46. Пусть при намагничивании число спинов ядер фтора,
направленных по полю, равно Л/], против поля Л/2, их разница
AN равна
AN = Л/, [1 - ехр (- 2цВ/1гБТ)] = JV, ¦ 2iiB/(kBT)^NniiB/kET < 1,
где цмагнитный момен1 ядер фтора, kti постоянная Больц-
мана, Л/о число ядер фтора. При выключении поля половина из-
бытка ядер ДЛ//2 изменит ориентацию и образец получит момент
импульса
2 = A/2) AN (А/2) = \iBhNQ/(kbT), No = 2Nк,
где Л/Апостоянная Авогадро. Отсюда
и. = а? 2kBT/(NxhB) = 1,3 103 Дж/Тл = 2,62ця,
где [хя ядерный магнетон.
8.47. a{W) = AcW/n.
8.48. Поскольку энергия связи нуклона мала, для оценки
можно считать, что продольный импульс нуклонов рг оо W /с. По-
перечный импульс нуклонов в ядре обусловлен фермиевским дви-
жением нуклонов Ферми-импульс оценим из соотношения неоп-
ределенности
Рр « Др ~ Щгй « 100 МэВ/с.
Оценку для угла рассеяния нуклонов получим из соотношения
Ф *" Pp/Pt х °-4 РаД-
8.49. v = Ze (mr)~]l2 « 3,5 ¦ Ю7 м/с, где Z, га, г порядконый
номер, масса и радиус урана.
8.50. Wn =6 МэВ; №я = 1 МэВ.
8.51. WK = (M2d-2ml+2mpmn-m2n)c2/[2 (тр-тя)]=1,25 ГэВ,
8.52. Найдем сначала пробег а-частицы в алюминии /ai. Так
как потери энергии на ионизацию пропорциональны NZ, где N
число атомов в 1 см3, Z заряд ядра, то
282
Число ядерных реакций, происходящих в тонком слое dx, равно
dv = naNAla dx = np, a dx « /A1. Окончательно получим
в = 40 мб-
8.53. a « яг^ = 3,4 6.
8.54. У - = /i/7Dji?2Q) « Ю12 см-2 с. т) = ntP"-/Q = 0,05,
где энергия, выделяемая при делении ядра урана, равна Q =
= 200 МэВ
8.55. В 1-м случае с вылетом протона (d + d->-1 + p) энер-
гоныделение па 0.7 МэВ больше, чем во 2-м случае с вылетом
нейтрона (d + d-»-3Не + п).
8.56 W = 17,6 МэВ Q = 3,4 10" кДж,
8.57. ti = 0.20
8.58. Wmm = 19 МэВ.
8.59. Р = (//2) Q = 57 Вт/см3, где Q = 3,65 МэВ энергия,
выделяемая при реакции d + d.
J = E/4) /ijcradd « 2 1014 см~3 c.
8.60. R = ZaCfT*IP « 3 108 км, где Р мощность, выделяе-
мая в 1 см3 плазмы (см. задачу 8.59), a^g постоянная Сте-
фана Больцмана.
8.61. lmin&BnnkET)l'2R = 0,7 мА.
8.62. W = 3 ¦ 10' кДж.
8.63. *= 1,9- 104 лет.
8.64. т= l/(nav) « 0,17 мс, где п концентрация ядер ато-
мов водорода.
8.65. 2Гй/Э = exp (dpJVAa/J#) = 2,1
8.66. WK/WU = (A2/l6mn) (de2 + di2) B^7-)-' = 34, где
T = 300 К.
8.67. W ,/?а = 2kET/W2 « 0,06, где ~W{ средняя гаэокине-
тическая, №2 = 3,6 МэВ средняя термодинамическая энергия.
8.68. Убыль протонов (в г/см2) вследствие взаимодействия в
слое азота толщиной dx равна
- fiW0 = N dx/l,
где /средний свободный пробег до взаимодействия. Обозначим
ха толщину атмосферы Земли (*о ** Ю00 г/см2). Из решения ура-
внения получим (л = *о)
JV = ЛГ0 ехр (- хо/1).
Здесь l = sll(aNk), где о = яД2, Л радиус ядра азота. От-
сюда окончательно находим
N (х = *0)/ЛГ0 (х = 0) = 7 10~6.
283
8.69. /N л* 0,3 м.
8.70. Число атомов ^Аг
и = JvotN
где<=1 год=3,2-107 с, JVC(число атомов хлора,/v=JVv/DnR|)
поток нейтрино, падающий в единицу времени на единицу пло-
щади поверхности Земли. Отсюда находим
Окончательно получим, что в эксперименте необходимо исполь-
зовать массу СС14, равную
560 т,
где |х молярная масса СС14,
8.71. rv = (mp/2R3P3)-1038«23 ТэВ, где R3, p3 радиус
и плотность Земли.
8.72. Ослабление потока нейтрино AN/NxiaNAp-2R3/^xi К)-4.
8.73. Свечение Вавилова Черенкова начинается при скоро-
сти частицы v = с/и. Соответствующая кинетическая энергия про-
тона равна
WK = m0c2 [(I - v2/c2)-]/2 - l] = moe2 [и/(и2 - lI/2-l] «4,8 ГэВ.
Показатель преломления п найдем из следующего соотно-
шения: пг = 1 + AnaN, где Nчисло атомов в единице объема,
а аполяризуемость молекул азота. Поскольку при постоянной
температуре №° р, где рдавление, art21 »2(n1), то
(rt l)/(fto 1) « Р/Ро,
где ро = 0,1 МПа.
8.74. v = WlBtnc) « 104 см/с.
8.75. t « A/2) Ra [In (R/r)} (fxf/) « 0,7 мс.
8.76. F = 12 м.
8.77. JVp = /n[l exp ( a/xnv)) « 1,5-10 см-с"', где
Tn время жизни нейтрона.
8.78. ДМ/М = Ws4-U tnp/n0MWQ = 0,6, где ^ц = 235.
8.79. t-x, 1,7- 109 лет.
8.80. пРа/пи = 3,2-10-"'.
8.81. pQt mo,c Д1Г/BГ) « 1 ГэВ, а « po,/p « 0,1 рад.
8.82. Для УХН mv*/2и поэтому их спектр, т. е. распределение по скоростям, есть
dN (z>) oo [exp ( mv2/2kBT)] v* dv ~ v2 dv.
284
Спектр потока нейтронов будет
dl со v dN (о) cav3 dvaoW dW,
где W энергия нейтронов. Максимальная энергия УХН:
№гр = marp/2. До детектора дойдут лишь те нейтроны, энергия
которых
Таким образом, скорость счета детектора равна суммарному по-
току:
/ = \ dl оо W т^Л2.
mgh
Окончательно при / = О получим высоту, на которой поток ней-
тронов исчезает;
„2
= Vrp/{mS) « v%/Bg) « 5 м.
ПРИЛОЖЕНИЯ
I. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ КОНСТАНТЫ
Скорость света в вакууме
с = 2,998 ¦ 108 м/с = 2,998 ¦ 101° см/с
Постоянная Планка
Й=й/2я=1,05 10~34 Дж с=1.05 ¦ 10? эрг с=6,58 10~22 МэВ с
Постоянная Больцмана
кБ = 1,38 КГ23 Дж/К = 1,38 ¦ КГ16 эрг/К = 8,62 ИГ11 МэВ/К
Молярная газовая постоянная
R = 8,31 Дж/(К ¦ моль) = 8,31 107 эрг/(К ¦ моль)
Объем моля идеального газа при нормальных условиях G"и =
= 273,15 К, Ра = 101325 Па)
Va = 22,4 10~3 м3/моль = 22,4 103 см3/моль
Элементарный заряд
е = 1,60 10~19 Кл = 4,80 . 10~10 ед. СГС
Масса покоя электрона
те = 9,11 10~31 кг = 9,11 -108 г
Отношение заряда электрона к его массе
e/me=l,76- 10й Кл/кг = 5,28- 10" ед. СГС
Масса покоя протона
щ = 1,67 10~27 кг = 1,67 10~24 г
Отношение заряда протона к его массе
= 0,959 108 Кл/кг = 2,87 Ю14 ед. СГС
Гравитационная постоянная
G = 6,67 10"" Н ¦ м2/кг2 = 6,67 10~8 дин ¦ см2/г*
286
Постоянная Авогадро
NK = 6,025-1023 моль
Постоянная Лошмидта
п0 = 2,69 1026 м-3 = 2,69 1019 см13
Постоянная Фарадея
F = 9,65 104 Кл/моль = 2,90 1014 ед. СГС
Постоянная СтефанаБолышана
ась = 5,67 . 10~8 Вт/(м2 К4) = 5,67 . 10~5 эрг/(с. см* К4)
Постоянная Вина
* = ^шахТ" = 0,29 10~2 м ¦ К = 0,29 см К
Постоянная Рндберга
R^ = 1,0973732 107 м = 1,0973732 106 см
Постоянная электрическая
ео = 8,85.1О~12 Ф/м
Постоянная магнитная
цо= 1,26- 10~6 Гн/м
Постоянная тонкой структуры
а = e2j(hc) = 7,297 10~3 « 1/137
Радиус 1-й Соровской орбиты
гБ = 0,53 100 м = 0,53 Ю"8 см
Классический радиус электрона
г, =«2/(тес2) = 2,82 105 м = 2.82 103
Магнетон Бора
см
еЩ2тес) = 9,27 104 Дж/Тл = 9,27 101 эрг/Гс
= 0,579-10" 14МэВ/Гс
Ядерный магнетон
ця = еЛ/Bтрс) 5,05 10~27 Дж/Тл = 5,05 10 24 эрг/Гс =
= 3,15-1<Г18МэВ/Гс
Комптоновская длина волны электроиа
Ле = Н/(тес) = 3,86 10~13 м = 3,86 10~" см
287
Энергия покоя электрона
тес2 = 0,511 МэВ
Энергия покоя протона
ШрС* = 938 МэВ
Энергия, соответствующая 1 а. е. м.,
A а. е. м.)с* = 931,5 МэВ
Температура, соответствующая энергии 1 эВ,
Г, = 11 606 К
II. НЕКОТОРЫЕ АСТРОФИЗИЧЕСКИЕ ПОСТОЯННЫЕ
Масса Солнца
Мс = 1,99 103° кг = 1,99 1033 г
Энергия, испускаемая Солнцем в 1 секунду, или светимость
Lc = 3,86 102а Вт = 3,86 1033 эрг/с
Солнечная постоянная
Ес = 1,35- 103 Вт/м2 = 1,35 10е эрг/(с см2)
Радиус Солнца
Rc = 6,96 105 км = 6,96 10а м
Угловой диаметр Солнца на среднем расстоянии от Земли
ас = 0,92-10~2 рад
Температура Солнца вблизи поверхности
Гс = 5,9.103 К
Масса Земли
М3 = 5,98 1024 кг = 6,98 \0" г
Средняя плотность Земли
р3 = 5,52 103 кг/м3 = 5,52 г/см3
288
Радиус Земли (на экваторе)
Яз = 6,38 103 км = 6,38 10° м
Среднее расстояние от Земли до Солнца
L3 = 1 а. е. = 1,5 108 км = 1,5 10" м
Среднее расстояние от Земли до Луны
/,л = 4-105 км
Средняя температура поверхности Земли
Г3 = 300 К
Средняя скорость движения Земли по орбите
а3 = 30 км/с = 3 104 м/с
Угловая скорость вращения Земли
ш3 = 0,727 10~4 рад/с
Космические скорости A-я и 2-я) на поверхности Земли
о, = ^/GM3/R3 = 7,9 км/с = 7,9.103 м/с,
tJ = V2~a, = ll,2 км/с= 11,2- 103 м/с
Масса Венеры
М,л = 0,82М3 == 4,87 НJ4 кг = 4,87 10" г
Среднее расстояние от Венеры до Солнца
LB=l,08-108 км= 1,08- 1011 м
Период обращения Венеры вокруг Солнца
Тв = 225 сут
Радиус Венеры
Яв = 0,99/?3 = 6,3 103 км = 6,3 10е м
Средняя плотность Венеры
рв = 4,7 103 кг/м3 = 4,7 г/см3
Ускорение свободного падения на поверхности Венеры
Ва = °.84^3 = 8.2 м/с2
Масса Марса
Мм = 0,1 Ш3 = 0,66 10^4 кг = о,66 10» г
2
Расстояние от Марса до Оолнпа
Ln = B,06 -г- 2,49) 10» км
Расстояние от Марса до Земли
JLM3 = @,55 -г- 4,0) 108 км
Средняя плотность Марса
ру = 4 ¦ Ю3 кг/мл = 4 г/см3
Ускорение свободного падения на поверхности Марса
йм = 0,37^з = 3,6 м/с2
Масса Луны
Мл = 7,4 10^ кг = 7,4 1СИ5 г
Диаметр Луны
Ол = 3,48 103 км = 3,48 10е м
Среднее расстояние между Луной и Землей
JLj, = 3,84 10° км = 3,84 10" м
Средняя плотность Луны
рл = 3,3 103 кг/мл = 3,3 г/см3
Ускорение свободного падения на поверхности Луны
5л =1.64 м/с2
ill. НЕКОТОРЫЕ ВНЕСИСТЕМНЫЕ ЕДИНИЦЫ
Единица длины;
световой год
1 св. год = 9,5 10'5 м = 9,5 10" см,
парсек
1 пк = 3,Ы016 м = 3,Ь 1018 см,
астрономическая единица
1 а. е.= 1,5-10" м= 1,5-1013 см,
ангстрем
lA=100 м=10"асм,
290
ферми
105 м=10 |3 см
Единица площади:
барн
1 б = 108 м2 = 104 см2
Единица времени:
год
Оптическая сила:
диоптрия
1 год = 3,1б> 10' с
1 дптр = 1 м~1
Единица массы:
атомная единица массы
1 а. е. м. = 1,66 ¦ 10? кг = 1,66 10~24 г
Единица энергии:
электрон-вольт
1 эВ=1,6- 10
~19
эрг
IV. ПРИСТАВКИ И МНОЖИТЕЛИ ДЛЯ ОБРАЗОВАНИЯ
ДЕСЯТИЧНЫХ КРАТНЫХ И ДОЛЬНЫХ ЕДИНИЦ
Наимено-
вание
тер а
гига
мега
кило
гекто
дека
деци
Обозна-
чение
Т
Г
м
к
г
Да
Д
Множи-
тель
101а
109
108
103
10а
10'
ю-1
Наимено-
вание
саяти
МИЛЛИ
микро
нано
пико
фемто
атто
Обозна-
чение
С
м
мк
н
п
ф
а
Множи-
тель
10-2
ю-3
10-8
ш-9
Ю-12
Ю-15
Ю-18
291
V. ЕДИНИЦЫ НЕКОТОРЫХ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН В СИСТЕМАХ СИ" И СГС
И СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ НИМИ
Физическая
величина
Частота
Плотность
Скорость
Ускорение
Угловая скорость
Угловое ускорение
Сила
Работа, энергия, ко-
личество теплоты
Мощность
Система СИ
Единица
Наименование
герц
килограмм
на кубиче-
ский метр
метр
в секунду
метр
на секунду
в квадрате
радиан
в секунду
радиан
на секунду
в квадрате
ньютон
джоуль
ватт
Обозна-
чение
Гц
кг/кг'
м/с
м/с2
рад/с
рад/с2
Н
Дж
Вт
Размер-
ность
т-1
L~3M
LT-1
LT
T-i
J 2
LMT-2
L2MT
L2MT-5
Гауссова
Единица
Наименование
герц
грамм
на кубический
сантиметр
сантиметр
в секунду
сантиметр
на секунду
в квадрате
радиан
в секунду
радиан
на секунду
в квадрате
дина
эрг
эрг в секунду
система
Обозна-
чение
Гц
г/см'
см/с
см/с2
рад/с
рад/с2
дин
эрг
эрг/с
(СГС)
Размер-
ность
т-1
L~3M
LT-1
LT-2
T-i
T-i.
LMT
L2MT~2
L2MT-a
1
1
1
1
1
1
Соотношение
между единицами
кг/м:
м/с =
м/с2
н =
Дж =
Вт =
1
103 г/см3
= 102 см/с
= 102 см/с2
1
1
10& дин
= 107 эрг
¦ 10' эрг/с
Количество электри-
чества, электричес-
кий заряд
Сила электрического
тока
Электрическое напря-
жение, разность по-
тенциалов, электро-
движущая сила
Напряженность
электрического
поля
Электрическое
сопротивление
Индуктивность
Электрическая
емкость
Магнитный поток
Магнитная индукция
Напряженность
магнитного поля
Световой поток
Яркость
Освещенность
кулон
ампер
вольт
вольт
на метр
ом
генри
фарад
вебер
тесла
ампер
на метр
люмен
кандела на
квадратный
метр
люкс
Кл
А
В
В/м
Ом
Гн
Ф
Вб
Тл
А/м
лм
кд/м2
лк
TI
I
L2MT-3I-'
LMT-3I-'
L2MT13I-2
L2MT-2j-2
L-2M-1T4I2
L2MT-2J-1
mt-2i->
L-'I
J
L-2J
L~2J
единица
заряда СГС
единица силы
тока СГС
единица
напряжения
СГС
единица
напряженности
СГС
единица
сопротивления
СГС
единица
индуктивности
ГГГ
сантиметр
максвелл
гаусс
эрстед
люмен
кандела на
квадратный
сантиметр
фот
ед. СГС
ед. СГС
ед. СГС
ед. СГС
ед. СГС
ед. СГС
см
Мкс
Гс
Э
лм
кд/см2
фот
L3>*M"*T-
L3/zM'/2x-2
[^'/гдл'/гт-!
L ''2м''2Т '
L-'T
L
L
L 3^2М*^2Т~^
l~i/2m'/2t~'
J
L~2J
L~2J
1 Кл =
= 3- 109 ед. СГС
1 А = 3-10вед. СГС
т> ггг
. о ^^ ед. ^_л vj
1 R/м pit ГГГ
1 D/M 4 ед. V-.1 V-
1 r\.. I „„ ггг
9-10"
1 Г ' сп ггг
11 -9.10" Д
1 Ф=9- 10" см
1 Вб = 10е Мкс
1 Тл=Ю4 Гс
1 А/м = 4 ге- 10~3 Э
1
1 кд/м2=10~4 кд/см2
1 лк = 10~4 фот
VI. ТАБЛИЦА ЛЕПТОНОВ (спин
Название частицы
Электронное нейтрино
Мюонное нейтрино
Тау-нейтрино
Электрон
Позитрон
Мюон
Тау
Символ
частицы
Ve
vT
е~
V~
т-
анти-
частицы
ve
vT
е+
М.+
т+
Масса,
МэВ
0
0
0
0,51
0,51
105,7
105,7
1782
1782
Электри-
ческий за-
ряд, ед.е~
0
0
0
1
+1
1
+1
1
+1
Лептонный заряд
+ 1
0
0
+1
1
0
0
0
0
^ 1 ч
0
+ 1
0
0
0
+ 1
1
0
0
0
0
+ 1
0
0
0
0
+ 1
1
Время жизнн,
с
ОС
оо
оо
оо
оо
2,1 10~6
2,2 10~6
3,5- Ю-12
3,5-Ю-12
Преобладающая
схема распада




e~vevn
e+vsv|t
fi~vuvT e~vevt
VII. ТАБЛИЦА КВАРКОВ (спин Л/2)
Название кварка
Верхний
Нижний
Странный
Очарованный
Красивый
Правдивый
Символ
и
d
S
С
ь
t
Масса, МэВ
336
338
540
1500
>2000
>2000
Электрический
заряд, ед.е~
+2/3
-1/3
-1/3
+ 2/3
-1/3
+ 2/3
Заряд
барионный В
1/3
1/3
1/3
1/3
1/3
1/3
странность S
0
0
+ 1
0
0
0
очарование С
j
0
0
+1
0
0
Примечания, 1. Первые пять кварков составляют всю совокупность известных а чроноз. шестой введен
метрик лептонных и кварковых пар. Кварковым i парами являются ud), (se) и bt).
'i. У антнкварков все приведенные в
таблице числа
красота b
0
0
0
0
+ 1
0
правда t
0
0
0
0
0
+1
из соображений сим-
характеризующие аромат, изменяют знак на противоположный.
3. Каждый из кваркос помимо квантовых чисел, составляющих аромат, имеет еще оино квантовое число цвет: желтый, красный
нлн синий- Сумма этих цветов дает белый цвет-
VIII. ТАБЛИЦА НЕКОТОРЫХ АДРОНОВ
Название частицы
Мезоны
Пион
Каон
заряженный
Каон
нейтральный
Эта
Фи
Барнояы
Протон
Нейтрон
Лямбда
Сигма-плюс
Сигма-минус
Сигма-нуль
Кси-минус
Кси-нуль
Омега-гиперон
Символ
Я*
ге°
к-}
К°\
К"}
ч
ф
р
п
Л
2+
2-
°
Е-

Q-
Масса.
МэВ
139,6
135,0
493,7
лГ\*7 *7
497,7
548,8
1019
938,3
939,6
1115,6
1189,4
1197,4
1198,5
1321,3
1314,9
1672
Спин,
ед. й
0
0
0
0
0
1
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
3/2
Электри-
ческий
заряд.
ед-?
±1
0
+ 1
1
0
0
0
0
+1
0
0
+ 1
1
0
1
0
1
Зарял
барион-
ный В
0
0
л
0
0
0
0
0
+1
+ 1
+ 1
+ 1
+1
+ 1
+1
+1
+ 1
стран-
ность
S
0
0
+ 1
1
+1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
2
2
3
очаро-
вание
С
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
красо-
та b
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
правда
(
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Время жизни.
2,6. 10-"
8- 10-"
1,23- 10-°
0,9-10-'°
5,8- 10-"
2,5- 10-'"
~ ю-'"
> 103' лет
94С
2,5- 10-'°
0,8- 10-1С
1,5- 10-'°
< ю-'4
1,6-10-'°
3,0- 10-'°
1,3- 10-'°
Преобла-
дающа?
^хема
распада
YY, Ye+e-
(i+vu, M.-va
Я+Я"
Я+Я"
Я+Я"
Pe~ve
ря~- пя°
ря°: nit+
пя~
ay
Ая-
Ля"
ЛК-, B-jt°
IX. ТАБЛИЦА ЭКЗОТИЧЕСКИХ ЧАСТИЦ
Название частицы
Чармоний
Очарованные
частицы
Ипсилон
Красивые частицы
(В-частицы)
Символ
//ф
ф'
ф"
D"
D+
F+
*.+
Г
Г
Г*
в
в
в
в
Масса, МэВ
3098
3684
4100
1863
1868
2030
2226
9460
10 016
10 380
5300
»
Электри-
ческий
заряд,
ея, е~
0
0
0
0
+1
+1
+1
0
0
0
1
0
0
1
Заряд
стран-
ность
S
0
0
0
0
0
+1
1
0
0
с
0
0
+1
0
очарова-
ние
С
0
0
0
+ 1
+ 1
+ 1
+ 1
0
0
0
0
0
0
1
красота
Ь
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
+1
+1
+1
+1
Время жизни
(или ширина
резонанса)
69 кэВ
220 кэВ
150 МэВ
10-1!> с
Ю-13 с
10-1Э с
Ю-13 с
25 кэВ
50 кэВ
10* с
Ю-14 с
1С* с
10"'* с
Кварковый
состар
ее
ее
ее
ей
cd
cs
use
bb
bb
bb
Ьй
bd
bs
be
la
3?
ho
< E
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
X. ТАБЛИЦА
Изотоп
н
D
т
3He
<Не
eLi
'Li
'Be
"Be
9Be
°Be
ioB
"B
"C
uC
13C
uC
uN
"N
uN
"O
ieo
"O
ISQ
I8F
19F
20p
aoNe
21 Ne
22Ne
"Na
23Na
24Na
J3Mg
24Mg
J5Mg

к
к
в
О
1/2
1
1/2
1/2
0
1
3/2
3/2
0
3/2
0
3
3/2
3/2
0
1/2
0

1
1/2

0
5/2
0

1/2

0

0
3
3/2
4

0
5/2
СВОЙСТВ
Избыток
массы ато-
ма,
а. е. м.
0,007825
0,014102
0,016049
0,016030
0,002604
0,015126
0,016005
0,016931
0,005308
0,012186
0,013535
0,012939
0,009305
0,011431
0
0,003354
0,003?42
0,005739
0,003074
0,000108
0,003072
0,005085
0,000867
0,000840
0,000950
0,001595
0,000015
0,007560
0,006151
0,008616
0,005565
0,010227
0,009033
0,005865
0,014956
0,014160
ИЗОТОПОВ
Атомы в
природной
смеси.
%
99,985
0,015

3.1014
~ 100
7,52
92,48


100

20
80

98,89
1.П


99,63
0,37

99,76
0,037
0,204

100

90,92
0,26
8,82

100


78,60
10,11
е(
Л
С
и
л
а
к

Р"
е+
Р+
Р+
р+
р+
р+
Период
полу-
распада
12,3 года
53 дня
Ю-18 с
2,5-10е
лет
20,4 мин
5570 лет
10 мин
2,1 мин
1,87 ч
12 с
2,6 года
15 ч
11 с
Энергии
а-, Р-
частиц,
МэВ
0,018
0,039
0,555
0,97
0,155
1,2
1,68
0,649
5,42
0,540
1,39
2,95
297
Продолжение
3
2 °-
Я at
о г
5S
12
13
14
15
16
17
18
19
24
25
27
29
30
35
38
Изотоп
JUMg
:'Mg
МА1
"А!
МА1
-8Si
MSi
3uSi
91Si
top
8lp
"P
32S
"S
34S
35C1
36C1
"Cl
3eAr
37Ar
MAr
4°Ar
39K
42K
61Cr
65Mn
58Co
"Co
e°Co
e3Cu
e5Cu
e5Zn
e2Br
"«Sr
n
D.
К
Я
s
с
и
0
1/2
5/2
3
0
1/2
0


1/2

0
3/2
0
3/2
3/2
2
3/2
0
3/2

0
3/2
2
7/2
5/2
2
7/?
4
3/2
3/2
5/2
6
0
Избыток
массы ато-
ма.
а. е, м.
0,017409
0,015655
0,013100
0,018465
0,018092
0,023073
0,023509
0,026239
0,024651
0,021680
0,026237
0,026092
0,027926
0,028540
0,032136
0,030966
0,031146
0,031688
0,034104
0,032452
0,033228
0,035679
0,037616
0,036286
0,037583
0,055214
0,061946
0,064246
0,066811
0,066194
0,070406
0,072214
0,0707(.6
0,083198
0,09436
Атомы в
природной
смеси,
%
11,29


100
92,27
4,68
3,05


100

95,02
0,75
4,21

75,4

/4,6
0,34


99,60
93,08


100

100

69,1
30,9


82,56
л
а
и
л
а.
Р~
и+
Р"
р~
(Г. *
к

Р"
к
К, Р+

Л", Р+

Период
полу-
распада
9,5 мин
6,7 с
2,3 мин
2,65 ч
2,5 мин
14,3 дня
87 дней
3,1 105
лет
32 дня
265 лет
1,52 ч
28 дней
72 дня
5,2 года
245 дней
36 ч
Энергия
a-, P-
частиц,
МаВ
1.75;
1,59
3,20
2,86
1,47
3,24
1.71
0,167
0,714
0,565
3,55;
1,99
0,47
0,31
0,325
0,456
298
Продолжение
3
Я" tx
Атом
номе
38
39
47
53
79
81
82
83
84
86
88
90
92
94
Изотоп
89Sr
eoSr
90 Y
107 Ag
127J
I2B[
""Аи
'«Аи
204Т1
206 рЬ
207рЬ
208рЬ
209 В j
210Bi
ziop0
222Rh
232Ra
2Я2ТЬ
233Th
234 U
23Б1Т
238TJ
238ц
239JJ
23ври
"9Ри
Я
О.
*t
К
Спин
5/2
0
2
1/2
5/2
1
3/2
2

0
.1/2
0
9/2
4


0
0

0
7/2
0
0


1/2
Избыток
массы ато-
ма.
а. е. м.
0,09257
0,09223
0,09282
0,09303
0,09565
0,09418
0,03345
0,03176
0,02611
0,02554
0,02410
0,02336
0,01958
0,01589
0,01713
0,01753
0,02536
0,03821
0,04143
0,04090
0,04393
0,04573
0,05076
0,05432
0,04952
0,05216
Атомы в
природной
смеси,
%


51,35
100
100


23,6
22,6
52,3
100




100
0,006
0,71

99,28


я
Расп
Р~
Р~
Р~
Р". к
р~

а
а
а
а
а
Р~
а
а
¦г
а
Р~
а
а
Период
полу-
распада
51 день
28 лет
64 ч
25 мин
2,7 дня
4,1 года
2,6- 106
лет
138 дней
3,8 дня
1620 лет
1,4- 10'°
лет
22 мии
2,5 105
лет
7,1 . 10»
лет
2,4. 107
лет
4,5- 109
лет
23,5 мин
89,6 лет
2,4. 104
лет
Энергия
а-. В-
частиц.
МэН
1,46
0,535
2,24
2,12;
1,67
0,96
4,97
5,3
5,49
4,777;
4,589
4,00.
3,98
1,23
4,76;
4,72
4,20
4,58
4,45;
4,50
4,13;
4,18
1,21
5,50;
5,45
5,15-
5,10
299
1
2
3
4
5
6
7
I
[Н]
Li 3
6,941
литий
Na
22,9897
натрий
К 19
39,098
калий
29 Си
63,546
медь
Rb 37
85,468
рубидий
47 Ag
107,868
серебро
Cs и
132,9054
цезнй
79 Аи
193,9665
золото
Fr 87
B23)
Франции
II
Be
9,01218
бериллий
Mg
24,305
магний
Са 20
40,08
кальций
30 Zn
65,38
цинк
Sr 38
87,62
стронций
48 Cd
112,41
кадмий
137,33
барий
ft0 Hg
200,59
ртуть
Ra 68
226,0254
pa дай
К1. ПЕРИОДИЧЕСКАЯ
III
В
10,81
бор
А1
26,98154
алюминий
Sc 21
44,9559
скандий
31 Ga
69,72
галлий
у 39
8S.9059
иттрий
49 In
114,82
индпй
La* 57
138,905
лантан
8. Т1
204,37
таллий
Ас" 89
B27)
актиний
IV
6 С
12.011
углерод
Si
28,085
кремнии
Ti 22
47,90
титан
( Т(-*
72,59
германий
Zr 40
91,22
цирконий
50 Sn
118,69
олово
Hf п
178,49
гафний
82 ри
207,2
свинег;
Ku 104
B61)
курчатовий
СИСТЕМА
V
7 N
14,0067
азот
15 р
30,97376
фосфор
V 23
50,9415
ванадий
33 As
74, 9216
мышьяк
Nb 41
92.9064
ииобпй
51 Sb
121.7
сурьма
Та 73
/ 80,947
тантал
83 gj
208,9804
висмут
105
* ЛАНТАНОИДЫ
Се 5S
140,12
церий
Рг
140,1017
празеодим
Nd ao
144.24
неодим 1
Pm ai
A45)
решений
Sm 62
150,4
самарий
Ей 63
151,96
европий
Gd e4
157,25
гадолиний
" АКТИНОИДЫ
Th so
232,0381
Ра 91
231,0359
иротакгиилй
U 92
233,029
уран
Np 93
23/,0482
]еп /уний
Ри 94
B44)
плутоний
Am95
B43)
америций
Cm В6
B47)
кюрий
300
ЭЛЕМЕНТОВ Д. И. МЕНДЕЛЕЕВА
VI
О
15,999
кислород
16
32,06
S
сера
VII
н
1.0079
водород
18,998403
фтор
С1
35.453
хлор
VIII
Не
4,00260
гелий
10
20,179
Ne
неон
Аг
39,948
a pi он
Обозначение
элемента
Целое число в скобках
массовое число наиболее
устойчивого радиоизотопа
Сг
хром
24
51,996
Мп
54,9380
марганец
Fe
55,847
Со
кобальт
27
58.9332
Ni
га
58,70
34
78,96
Se
35
79,904
бром
83,80
криптон
Мо
молибден
42
95,94
Тс
43
98,9062
технеций
Ru 44
101,07
рутений
Rh 45
102,9055
родни
Pd
палладий
46
106,4
52
127,60
Те
теллур
83
126,9045
иод
64 Хе
131,30
ксенон
W
вольфрам
74
183,85
Re 7б
186.207
реннй
Os
осмий
76
190,2

иридий
77
192,2
Pt
78
195,09
84
B09)
Ро
полоннй
85
B10)
86 Rn
B22)
радон
ть
65
158,9254
тербий
162,50
диспрозий
Но "
164,9304
гольмий
Er 68
167,26
эрбий
Тт
168,9342
тулий
Yb
70
173,04
иттербий
Lu
174,967
лютеций
Вк
97
B47)
берклнй
Cf 9S
B51)
калифорний
Es
99
B54)
эйнштейний
Fmioo
B57)
фермий
Md
101
B58)
менделевий
LNoJ1
B55)
[нобелий]
[Lr]
103
B56)
[лоуренсий]
301
Станислав Миронович Козел
Эммануил Иосифович Рашба
Сергей Анатольевич Славатинский.
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ФИЗИКЕ
задачи МФТИ
Редактор /Л А. Михалина
Художественный редактор Т. И. К°льченко
Технический редактор А. П. Колесникова
Корректоры Н. Ю. Рычагоеа, М. Л. Медведская,
О. М. Березина
И Б № 12940
Сдано в набор 11.03.87. Подписано к печати 12.08.87.
Формат 84ХЮ8/М, Бумага тип. № 2. Гарнитура лите-
ратурная. Печать высокая. Усл. печ. л. 15,96. Уел,
кр.-отт. 16,17. Уч.-изд. л. 16,77. Тираж 93000 экз.
Зак,№ 215. Цена 75 коп.
Ордена Трудового Красного Знамени
издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Отпечатано с матриц. Ленинградской типографии
№ 2 головного предприятия ордена Трудового Крас-
ного Знамени Ленинградского объединения «Техни-
ческая книга» им. Евгении Соколовой Союзполиграф-
прома при Государственном комитете СССР по делам
издательств, полиграфии и книжной торговли. 198052,
г. Ленинград, Л-52, Измайловский проспект. 29
в Ленинградской типографии № в ордена Трудового
Красного Знамени Ленинградского объединении
«Техническая книга» им. Евгении Соколовой Союз-
полиграфпрома при Государственном комитете СССР
по делам издательств, полиграфии н книжной торгов-
ли. 193144, г. Ленинград, ул. Моисеенко. 10.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Редакция литературы по обшей и прикладной фи-
зике готовит к изданию в 1988 году:
I. НАУЧНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Андреев А. В., Емельянов В. И., Ильинский Ю. А. Коопера-
тиииые явления в опгике: Сверхизлучение. Бистабильность. Фа-
зовые переходы. (Соврем, пробл. физики). № 99.
Ахманов С. А., Выслоух В. А., Чиркин А. С. Оптика фемто-
секундных лазерных импульсов. (Соврем, пробл. физики).
№ 100.
Беляков В. А. Дифракционная оптика периодических сред
сложной структуры. № 103.
Пайерлс Р. Сюрпризы в теоретической физике: Пер. с англ./
Под ред. М. И. Каганова и Д. В. Ширкова. (Б-ка теорет. фи-
зики).№ 111.
Светосильные спектральные приборы/Вагин В. А., Гер-
шун М. А., Жижин Г. Н., Тарасов К. И.; Под ред. К. И. Тара-
сова. (Физика и техн. спектроск.). № 113.
Сухорукое А. П. Нелинейные волновые взаимодействия в оп-
тике. We 115.
II. НАУЧНО-ПОПУЛЯРНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Басов Н. Г. О квантовой электронике: Статьи и выступле-
ния. (Наука. Мировоззрение. Жизнь). № 120.
Воронцов М. А., Корябин А. В., Шмальгаузен В. И. Управ-
ляемые оптические системы. (Пробл. науки и техн. прогресса).
№ 121.
Гиваргизов Е. И. Искусственная эпитаксия перспективная
технология элементной базы микроэлектроники. (Пробл. иауки
и техн. прогресса). № 122.
Звездин А. К., Котов В. А. Магнитооптика тонких пленок.
(Пробл. науки и техн. прогресса). № 124.
III. СПРАВОЧНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Аленицын А. Г., Бутиков Е. И., Кондратьев А. С. Краткий
физико-математический справочник. № 125.
Сена Л. А. Единицы физических величин и их размерности.
3-е изд., перераб. № 127.
IV. КНИГИ, РЕКОМЕНДОВАННЫЕ ДЛЯ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ
В УЧЕБНОМ ПРОЦЕССЕ
Воронцов Ю. А. Теория и методы макроскопических изме-
рений/Под ред. В. Б. Брагинского. № 134.
Гольдин Л. Л., Новикова Г. И. Введение в квантовую фи-
зику. № 135.
Задков В. Н., Пономарев Ю. В. Компьютер в эксперименте:
Архитектура и программные средства систем автоматизации.
№ 136.
Карлов Н В. Лекции по квантовой электронике. 2-е изд.,
испр. и лоп. № 137.
Основы теории колебаний/Мигулни В. В., Медведев В И.,
Мустель Е. Р., Парыгин В. Н.; Под ред. В. В. Мигулина.
2-е изд., перераб. № 139.
Обращаем Ваше внимание на то, что тираж каждой выпу-
скаемой книги, пключенной в тематический план, определяется
книготорговой сетью и издательством на основе заказов инди-
видуальных покупателей и организаций. Срок для приема таких
заказов 60 дней со дня поступления тематического плана в
книготорговую сеть. Вы можете с уверенностью рассчитывать на
приобретение заинтересовавшей вас книги только в случае, если
своевременно оформите на нее предварительный заказ.
Не откладывайте оформление предварительного заказа!
Предварительные заказы принимаются магазинами «Академ-
книги» и «Союзкниги», распространяющими литературу данной
тематики. Там же вы можете ознакомиться с Аннотированным
тематическим планом выпуска Главной редакции физико-матема*
тической литературы издательства «Наука» на 1988 год.

Приложенные файлы

  • doc 4467097
    Размер файла: 1 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий