В параллелограмме ABCD со сторонами AB 8см, BC 12см через середину M стороны BC проведена прямая, параллельная стороне AB.


Часть I.
Практикум для подготовки к итоговому контролю по геометрии в 8 классе.
Цель:
Повторить основные правила, формулы, научиться применять их в решении геометрических задач.
Научится умению анализировать задачу, отыскивать подход к ее решению
Научиться последовательно описывать ход решения задачи, делая все необходимые ссылки на теорию.
Научиться представлять задачу и ее решение в электронном варианте.
Научиться грамотно представлять задачу, используя ее презентацию. Тренировка речи с использованием терминологии предмета.
Овладение тестовыми технологиями в решении геометрических задач.
Тема: « Четырехугольники»
На большее основание AD трапеции ABCD опущены перпендикуляры BM и CK. Определите вид четырехугольника BCKM и найдите его периметр, если BC=7см и BM =5см.
Одна из диагоналей ромба равна его стороне. Определите углы ромба.
Боковая сторона равнобедренной трапеции равна 13 см, меньшее основание трапеции 7см, высота – 12см. Вычислите большее основание трапеции.
В треугольнике ABC на продолжении медианы BD за точку D отложили отрезок DE, равный BD. Докажите, что ABCE – параллелограмм.
В параллелограмме ABCD со сторонами AB =8см, BC = 12см через середину M стороны BC проведена прямая, параллельная стороне AB. Эта прямая пересекает сторону AD в точке K. Определите периметр четырехугольника ABMK.
На основании AB прямоугольника ABC взята произвольная точка M, через которую проведены прямые, параллельные его сторонам. Доказать, что периметр образовавшегося четырехугольника не зависит от положения точки M на стороне AB.
В прямоугольнике ABCD из вершины D опущен перпендикуляр на диагональ AC. Доказать, что угол, образованный этим перпендикуляром и второй диагональю BD равен разности углов, которые диагональ AC образует со смежными сторонами прямоугольника.
Одна боковая сторона трапеции больше другой на 4 см и меньше нижнего основания на 2см. Вычислите стороны трапеции, если сумма боковых сторон и верхнего основания равна 16 см, а диагональ трапеции AC является биссектрисой угла A.
Тема: «Площадь».
Найдите боковую сторону и площадь равнобедренного треугольника, если его основание равно 18см, а угол, противолежащий основанию равен .
Найти площадь равнобедренного треугольника с боковой стороной 17см и основанием 16 см.
Найти площадь равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой 8см.
Найти площадь параллелограмма, стороны которого 4см и 7см, а угол между ними .
Площадь прямоугольника равна 36, а отношение его сторон 1:4. Найдите площадь квадрата, периметр которого равен периметру прямоугольника.
Основания равнобедренной трапеции равны 9см и 17см, а боковая сторона образует с основанием угол . Найдите площадь этой трапеции.
Будут ли равновелики треугольники, если сторонами одного из них служат катеты прямоугольного треугольника, а сторонами другого гипотенуза и опущенная на нее высота. Записать вывод словами и проиллюстрировать формулой.
Один из углов ромба равен . Доказать, что его сторона является средней пропорциональной величиной между его диагоналями.
10.Диагональ прямоугольника равна 2а. Диагонали пересекаются под углом . Определите площадь прямоугольника, если одна из его сторон равна b, установить зависимость между a и b.
В прямоугольной трапеции меньшая диагональ, большее основание и большая боковая сторона образуют равносторонний треугольник со стороной а. Найдите площадь трапеции.
III. Тема: «Подобные треугольники»
Прямые AB и CD параллельны. Секущие AD и BC пересекаются в точке О. Докажите, что треугольник AOB подобен треугольнику DOC. Найдите отрезки AO и OB, если AB=8см, CD=15см, CO=12см, DO=9см.
В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла C опущена высота CD. Докажите, что треугольник ACD подобен треугольнику ABC, определите гипотенузу AB, если AC=6см, AD=4см.
Прямая MK параллельная стороне AC треугольника ABC пересекает две его стороны в точках M и K. Известно, что KB: BC = 1:3. Найдите площадь треугольника ABC? Найдите площадь треугольника ABC, если площадь треугольника MNK=8см.
Из вершины D параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке G и диагональ AC в точке О. Найти сторону AD, если GC =14см, GO: OD=1:3.
Диагонали трапеции делят ее на четыре треугольника. Найдите отношение оснований трапеции, если отношение площадей треугольников, прилежащих к основанию равно 4.
В треугольнике ABC на стороне AC отмечена точка D так, что AD =1см, DC =3см. Найдите сторону AB, если , если BC=10см.
Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, делит прямой угол в отношении 1:2. Доказать, что гипотенуза делится основанием этой высоты в отношении 1:3.
Радиус окружности равен 8см. В точке А проведена касательная к окружности, а из точки В – хорда, параллельная к касательной. Определите расстояние между касательной и хордой.
В равнобедренный треугольник ABC с основанием AB вписана окружность с центром О. Определите отношение отрезков высоты треугольника, проведенной из вершины С, на которые она делится точкой О, если BC = 30см, AB = 48см.
Сумма углов при основании трапеции равна . Докажите, что высота трапеции есть среднее пропорциональное между ее проекциями боковых сторон на основание.
Тема: «Треугольник и его свойства. Теорема Пифагора».
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 17см, его основание равно 16см. Найдите высоту, проведенную к основанию. Найдите высоту, проведенную к боковой стороне.
В треугольнике ABC AB = 14см, AC= 12см, AC = 10см. MK- средняя линия треугольника (M AB, KAC). Определите периметр и площадь треугольника AMK.
В равнобедренном треугольнике одна сторона 11см, другая сторона 4см. Определите площадь этого треугольника.
Угол между неравными высотами равнобедренного треугольника равен . Найдите углы этого треугольника.
В треугольнике два угла равны по , большая сторона треугольника равна 20см. Найдите две другие стороны треугольника.
В треугольнике две стороны равны 10см и 12см. Угол между ними равен . Найдите площадь этого треугольника.
В параллелограмме ABCD BD = см, AC= 26см, AD = 16см. Через точку О пересечения диагоналей проведена прямая, перпендикулярная стороне BC. Найдите отрезки, на которые эта прямая разделила строну AD.
В треугольнике ABC AB =BC. Высота AK делит сторону BC на отрезки BK = 24см и KC = 1см. Найдите площадь треугольника и сторону AC.
Две окружности радиуса ми 13см и 15см пересекаются. Расстояние между их центрами и равно 14 см. Общая хорда этих окружностей AB пересекает отрезок в точке K. Найдите и , если -центр окружности радиусом 13см.
В равнобедренной трапеции со взаимно перпендикулярными диагоналями боковая сторона равна 26см. Высота, проведенная из вершины тупого угла, делит большее основание на отрезки, меньший из которых равен 10см. Н
Тема «Окружность».
Найти площадь прямоугольной трапеции, описанной около окружности, если ее меньшая боковая сторона равна 8см, а угол при основании равен.
Окружность с центром О касается сторон MK , KT , TM треугольника MKT в точках A , B , C соответственно. Найти углы треугольника ABC, если .
В прямоугольном треугольнике один из углов равен , а расстояние от центра вписанной окружности до вершины этого угла равно 10см. Найти большую сторону этого треугольника.
Прямоугольный треугольник с катетами 6см и 8см вписан в окружность. Найдите радиус этой окружности.
Равносторонний треугольник со стороной 8см вписан в окружность. Найдите радиус этой окружности.
Равнобедренный треугольник с основанием 8см вписан в окружность радиуса 5см. Найдите площадь этого треугольника и его боковую сторону.
Расстояния от центра вписанной в равнобедренную трапецию окружности до концов боковой стороны равно 9 и 12см. Найдите площадь трапеции.
Меньший из отрезков, на которые центр описанной окружности около равнобедренного треугольника делит его высоту, равен 8см. Основание треугольника равно 12см. Найдите площадь этого треугольника.
Найти площадь равнобедренного треугольника, у которого боковая сторона равна см , а радиус описанной окружности равен 5см.
Часть II.
Задачи повышенного уровня сложности (часть II).
Одна из сторон треугольника равна 8 см, а два его угла равны соответственно 300 и 450. Найдите все возможные случаи значения периметра треугольника.
Один из углов треугольника 1500, а две его стороны равны 2см и 7см. Найдите все возможные случаи значения площади треугольника.
В треугольнике ABC углы A и B соответственно равны 380 и 860. Найдите углы треугольника, вершинами которого являются точки касания сторон с вписанной в треугольник окружностью.
В треугольнике ABC ∠A=450 , AB=7, AC=42. Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников ACA1 и ABA1, где AA1 – высота треугольника ABC.
Напишите уравнение всех прямых, отсекающих от окружности x2+y2=25 хорду длины 6.
Найдите площадь треугольника с вершинами A(1; 4) , B(-3; -1), C(2;-2).
Найдите площадь трапеции с боковыми сторонами 13 и 20 и основаниями 6 и 27.
В круговой сектор с углом 600 помещен круг, касающийся дуги сектора и обоих радиусов. Найдите отношение площади сектора и площади круга.
Высота ромба, проведенная из вершины тупого угла, делит сторону ромба в отношении 2:1, считая от вершины его острого угла. Какую часть площади ромба составляет площадь вписанного в него круга?
Две медианы треугольника равны 3 и 4. В каких пределах может изменяться третья медиана треугольника? При каких ее значениях треугольник будет прямоугольным?
Биссектриса треугольника делит одну из его сторон на отрезки 3см и 5см. В каких пределах может изменяться периметр треугольника?
Квадрат ABCD со стороной 8см повернули вокруг его центра так, что точка K, лежащая на стороне AB, где AK=1, перешла в точку на стороне BC. Найдите все возможные расстояния между точкой D и ее образом при этом повороте.
В треугольник ABC вписана окружность. C1 и B1 – точки ее касания со сторонами AB и AC соответственно, AC1=7, BC1=8, B1C =8. Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей относительно треугольника ABC.
Постройте треугольник по трем точкам касания его сторон с вписанной в треугольник окружностью.
Решение задач повышенного уровня сложности.
Задача 1
Одна из сторон треугольника равна 8 см., а два его угла соответственно равны 30° и 45°. Найдите все возможные случаи значения периметра треугольника
4682490404495Дано:
с = 8
1 = 30°
2 = 45°
Найти: Р
00Дано:
с = 8
1 = 30°
2 = 45°
Найти: Р
Условия задачи неоднозначны, поэтому необходимо рассмотреть несколько случаев решения этой задачи:
120015730250011595107302500
479679021082000 a 105° b
47967903835400048063151739900047967908699500
2527308826500300990215900037966658826500 45° 30°
8
Решение:
Пусть сторона с – основание данного треугольника, углы 1 и 2 прилежат к нему.
180° - 45° - 30° = 105° - угол напротив основания
По теореме синусов выражаем сторону а:
5076825172085006257290172085008sin105° = asin30° => a = 42(3- 1)Sin 105° = sin (60°+45°) =32∙22+22 ∙12= 22∙3+12=2∙(3+1)4150495046482042(3- 1)0042(3- 1)296227577216000а = 4 8 ∙12∙42∙3+1=162∙(3+1)=822∙(3+1)=82∙(3- 1)3+1∙3- 1=82(3- 1)2=По тому же принципу выразим сторону b:
4806315170180008sin105°=bsin45°=> b= 8(3-1)4425315400058(3-1)008(3-1)b = 4 8∙22 ∙42∙(3+1)=163+1=16∙(3-1)3+1∙(3- 1)=Теперь нетрудно дать ответ:
1834515379730= 4(23 + 6- 2)
00= 4(23 + 6- 2)
Р = 8 + 423- 1 + 8(3-1) = 4( 2 + 23 – 2 + 6 - 2)=
Ответ: 4(23 + 6- 2)
11595102927350012725402927350012954029273500 В

8
12166601270000 4 31051532702500
86296516510000383476531750002628903175000А 45° 30° С H
Пусть сторона с лежит против угла в 45°
4286252476500 ВНС: ВН – 4см (т.к. катет, лежащий против угла в 30° равен половине гипотенузы)
Тогда:
110109023368000168211523368000НС = 64 - 16 = 48 = 434286252603500168211514986000111061514986000 АВН: В = А = 45° => АН=ВН
37585653276604∙(3 + 3 +2)
004∙(3 + 3 +2)
АВ = 16 + 16 = 421043305-10223500Р = 43+4+42+8= 12 +42 +82 =
АС
Ответ: 4(3 + 3 +2)
Этот случай мы предлагаем Вам для самостоятельного решения. При успешном решении ситуации III вы придете к ответу:
Р = 4(2 +32 +6)
Данная задача полезна тем, что в ходе ее решения можно потренировать технику преобразования выражений, содержащих иррациональность.
Задача 5
Напишите уравнения всех прямых, отсекающих от окружности
х2 +y2 =25 хорду длины 6
4563110155575Дано:
х2 +y2 =25
ВС = 6
Найти:
Уравнения прямых, удовлетворяющих условиям

00Дано:
х2 +y2 =25
ВС = 6
Найти:
Уравнения прямых, удовлетворяющих условиям

205676590805001625600139700086677563563500318897063563500 li-60960091440
24288751485900021291551485900081915010096500 В
6
11239508382000212915518351500290512518351500 5 К
2908935133350022383753937000 4
2446655-18415000 С
2129155101600029959305778500 О 5
1295403556000
546925511747500471487510477500
48367956159500589597561595009188456159500
471487520891500
364934522352000 х2 +y2 =25
Решение:
Таких хорд существует множество => предполагается найти общий вид всех прямых
18662652819400047625028194000Вообще, уравнения прямых можно представить в общем виде несколькими способами:
2905125206375А(x₁; y₁)
В (x2; y2)
00А(x₁; y₁)
В (x2; y2)

39243002705100039243002286000y = kx + b y – y₁y₂-y₁ = x – x₁x₂-x₁ , где точки на прямой
Использование этих формул оказалось тупиковым
1714502413000017145061341000Пусть li - одна из тех прямых, которая отсекает хорду равную 6.
17145032893000 ОВС: ОВ = ОС = 5
ОСК: ОК = 4
К – точка касания li и окружности с центром О и радиусом 4.
Переформулируем задачу:
Необходимо составить уравнения прямых, касающихся данной окружности в точке К (х0; y0)
Сделаем новый чертеж:
2195195348615009239252349503009900271145003009900171132500
195262559055000 li380238017653000368427023368000 К (х0; y0)
4
93345021463000 О
4871720952500 Р24765033401000Вектор ОК выходит из начала отсчета, поэтому :
ОК {х0; y0}
Рассмотрим РК :1114425-54610РК 00РК 962025-54610 х₀-х; y₀-y
00 х₀-х; y₀-y
790575-5461000 Р ∈ li
Р (х; y)
70485034544000Очевидно, РК ⊥ ОК-19050140335
= 0
00
= 0

16192564135РК ∙ ОК00РК ∙ ОК
х₀ ∙(х₀ - х) + y₀ ∙(y₀ - y) = 0
26606527305000x₀² - x∙x₀ + y₀² - y∙y₀ = 0
2660653111500
16
222821522669500
x∙x₀ + y∙y₀ = 16 , где
(х₀; y₀) – точка, лежащая на окружности с центром в точке О и радиусом равным 4.
Ответ: x∙x₀ + y∙y₀ = 16
Задача №12
Квадрат АВСD со стороной 8 см. повернули вокруг его центра так, что точка К, лежащая на стороне АВ, где АК=1, перешла в точку на стороне ВС. Найдите все возможные расстояния между точкой D и ее образом при этом повороте.
Дано:
Сторона – 8см.
АК=1
Найти:
Расстояния между точкой D и ее образом в заданном повороте.
При повороте точка К, перемещаясь на сторону ВС, может оказаться в точке К 1 или К2. Осталось узнать, куда переместится точка D.
Нужно проследить угол поворота.
КОК 1: D→D1
КОК 1=90°( можно легко увидеть на чертеже) DА, т.к. DОА=90°
==8
3)КК2 КОК2=90°+; - ?
КВК1: КК1=
КОК1: КО=К1О=5


4)DD2
DОD2: DО=DВ==
DОD2=


DD2=
Ответ: DD1=8см
DD2=11,2см

Приложенные файлы

  • docx 4463454
    Размер файла: 426 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий