В работе рассмотрены модели изображений динамических трехмерных групповых точечных объек-тов (ГТО) в виде пучка бикватернионных векторов.


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
200
Известия Самарского научного центра Российской академии наук, т.6, №1, 2004
Введение
Понятие изображения представляет со
бой сложный объект в силу ряда специфи
ческих информационных характеристик:
информационной емкости, компактности,
наглядности, внутренней структуры, отра
жающей логические и физические взаимо
связи окружающего мира, контекстной ин
формации, статистических свойств и т.д.
Такая сложность приводит к тому, что на
сегодняшний день не существует единой
точки зрения на теорию обработки и пони
мания изображений. Не имеется окончатель
ной формулировки даже такого важнейше
го первоначального понятия теории, как ал
гебра изображений 1–2.
На современном этапе для анализа
изображений применяется огромное коли
чество самых разнообразных по своей
природе методов и подходов, среди кото
рых не последнее место занимают эврис
тические и слабо проверенные методы, что
неоднократно отмечалось рядом авторов,
например работы 3–4. В этой связи пред
ставляют интерес подходы, базирующие
ся на строгих теоретических положениях,
например, использующие аппарат теории
сигналов, но применяющие упрощенные
модели изображений объектов, не связан
ные со значительной потерей информации.
Один из таких подходов заключается в
отказе от обработки каждой точки изобра
жения и переходе к обработке лишь его
контуров.
Контур целиком определяет форму
изображения и содержит всю необходимую
информацию для распознавания изображе
ний по их формам. Методы контурного ана
лиза в большей степени, чем растровые ме
тоды, дают возможность использовать мо
дели, инвариантные к случайным перено
сам, поворотам и изменениям масштабов
изображений. Исключительно важная роль
анализа контуров подчеркивается в целом
ряде оригинальных и обобщающих работ
по распознаванию и обработке зрительных
образов.
В этом плане интерес представляют мо
нографии 5–6 авторского коллектива под
руководством проф. Фурмана Я.А., полнос
тью посвященные вопросам контурного ана
лиза и его применений к обработке сигна
лов и изображений. В работе 5 преимуще
ственно рассмотрены вопросы обработки и
понимания плоских изображений на осно
ве анализа комплекснозначных контуров и
пучков векторов, а в работе 6 рассмотре
ны вопросы анализа 3Dизображений на
основе кватернионных сигналов. Данная
работа посвящена вопросам формирования
аналитической модели контурного сигнала
пространственного изображения динами
ческого объекта, меняющего свои координа
ты в пространстве с течением времени.
УДК 519.2
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДИНАМИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ
НА БАЗЕ ГИПЕРКОМПЛЕКСНЫХ АЛГЕБР
©2004
А.Н. Леухин
Марийский государственный технический университет
В работе рассмотрены модели изображений динамических трехмерных групповых точечных объек
тов ГТО в виде пучка бикватернионных векторов. Рассмотрено линейное пространство биква
тернионных пучков. Введены скалярное произведение и евклидовое пространство, а также гиль
бертово пространство контурных сигналов динамических трехмерных изображений. Рассмотрен
изоморфизм алгебры бикватернионов и алгебры комплексных матриц специального вида четвер
того порядка. Рассмотрены лоренцевы вращения в пространствевремени в бикватернионной
модели. На основе неприводимых представлений ортогональной группы вводятся базисные фун
кции для спектрального анализа бикватернионных сигналов.
201
Управление и моделирование
Модели контуров изображений
Модели плоских изображений
Модель контура плоского изображения
удобно представить на примере бинарного
изображения, формируемого на этапе обна
ружения, где пиксел, принадлежащий облас
ти изображения объекта, кодируется едини
цей, а пиксел, принадлежащий фону, кодиру
ется нулем. На рис.1 представлен сформиро
ванный фрагмент бинарного изображения, а
на рис.2 точками выделена соответствующая
граница.
Для аналитического задания контура
необходимо поставить в соответствие каждо
му граничному пикселю определенное чис
ло. Элементарный вектор ЭВ


соединяет
соседние граничные пиксели в направлении
обхода;

– номер этого ЭВ,
0,1,...,1
k

,
N
– количество ЭВ в контуре данного изоб
ражения рис.3.
Таким образом, произвольный

контур
Γ
, состоящий из
N
ЭВ, задается в виде век
торастолбца размерности
N


T
0121
;;;...;
N



Γ
.
1
В дальнейшем для удобства записи вы
ражение 1 будем представлять как




1
,
0


N


Γ
. Элементарные векторы яв
ляются первыми разностями функций, зада
ющих линию контура. Если начало

го ЭВ
контура изображения находится в точке с ко
ординатами




y
x
;
, а конец вектора в точ
ке с координатами


1
1
;




y
x
, то в комплек
снозначном коде 5 ЭВ будет иметь вид:









y
y
i
x
x







1
1

.
2
Аналогичным образом можно получить
аналитические модели плоских точечных
изображений. На рис.4,
а
показана сцена, со
стоящая из
N
точечных объектов. Каждому
точечному объекту соответствует один пик
сел квадратной сетчатки оперативного запо
минающего устройства. На рис.4,
б
точечные
образы в сцене описываются цепочкой ЭВ,
образующих контур


0,1

N



Γ
, а на
рис.1,
в
 пучком векторов


0,1

N



B
.
Модели пространственных
изображений
В работе 6 предложена модель в виде
кватернионного сигнала для описания 3
D

Рис. 1.
Пример сформированного бинарного
изображения
Рис.2.
Задание точками граничных пикселей
бинарного изображения при учете соседства только
по вертикали и горизонтали
Рис.3.
Задание контура элементарными векторами
202
Известия Самарского научного центра Российской академии наук, т.6, №1, 2004
изображений пространственных ГТО. Как и
в случае плоских изображений, для аналити
ческого описания пространственных изобра
жений можно использовать как аналитичес
кую модель кватернионного контура
Γ
, так
и аналитическую модель пучка векторных
кватернионов
Q
:




0,1
N




Γ








123
ik


,




0,1
N



Q








123
ik

, 3
где
0,...,1
N

;


1


,


2


,


3


,



1

,


2

,


3

  соответственно
i
ая,

ая,
k
ая компоненты

го элементарного
о
вектора в составе кватернионного контура
пучка. На рис.5 показан пример представ
ления кватернионного контура
Γ
и пучка
а
векторных кватернионов
Q
.
Для математических моделей 3Dизоб
ражений точечных объектов достаточно лишь
пучка векторных кватернионов
Q
рис.5.
Однако в результате ряда преобразований над
такими сигналами элементарные векторы в
составе кватернионных пучков могут пред
ставлять собой полный кватернион с нерав
ной нулю реальной частью. Поэтому в общем
случае для аналитической модели 3Dизоб
ражений точечных объектов будем использо
вать полные кватернионы. Следовательно,
контур пространственного изображения мож
но рассматривать, как элемент линейного
кватернионного пространства
N
H
.
Модели динамических
пространственных изображений
Отметим, что рассмотренная выше ма
тематическая модель в виде пучка кватерни
онных ЭВ для описания 3
D
изображений
пространственных ГТО использует информа
цию только о пространственных координа
тах точек
X
,
Y
,
Z
в декартовой системе ко
о
ординат, где координате
X
соответствует
i

ая компонента

го ЭВ 




1
, координате
те
Y
соответствует

ая компонента
а

го ЭВ 




2
, а координате
Z
соответствует
k
ая
компонента

го ЭВ 




3
. Если положе
е
ние каждой точки в пространствевремени
рассматривать, как некоторый вектор с коор
динатами:
z
Z
y
Y
x
X
t
c
S








, 4
где
c
 скорость света,
t
 время,
X
,
Y
,
Z

координаты точки в трехмерном простран
стве в декартовой системе координат; то по
лучим математическую модель 3
D
изображе
ния динамического пространственного изоб
ражения ГТО. При этом изображение форми
Рис.4.
Формирование аналитического описания группового точечного объекта
Рис. 5.
Задание кватернионных контуров и пучков
а
б
в
203
Управление и моделирование
руется при смене двух последовательных кад
ров в течение некоторого наблюдаемого ин
тервала времени
0
1
t
t
t


. В момент време
ни
0
t
формируется аналитическое описание
пространственного ГТО, представленного
пучком векторов




1
,
0


N

o
O
. В момент
времени
1
t
формируется аналитическое опи
сание пространственного ГТО, представлен
ного сигнальным пучком векторов








1
,
0


N
c
c

o
O
. Причем за время
t
между двумя кадрами изображений про
странственный ГТО перемещается вдоль оси
p
с некоторой постоянной скоростью

, и
поворачивается вокруг оси
p
на угол

рис.6.
В работе 7 показано, что


2
2
2
2
2
Z
Y
X
ct
S




.
5
 квадратичная форма специальной теории
относительности, ассоциированная с алгеброй
пространствавремени. Для рассмотрения ал
гебры пространствавремени выберем алгеб
ру комплексных матриц специального вида,
изоморфную алгебре бикватернионов 8.
Бикватернионы представляют собой си
стему гиперкомплексных чисел, состоящую
из восьми компонент с базисными элемента
ми
K

I
E
d
k

i
,
,
,
,
,
,
,
,
1
. Произвольный биква
тернион можно представить в виде:
K
D

C
I
B
E
A
k
d

c
i

a
o















.

6
Сложение и умножение двух бикватер
нионов производится покомпонентно. Умно
жение бикватернионов полностью определя
ется таблицей умножения базисных элемен
тов. Таблица умножения базисных элементов
бикватернионов имеет вид:
Бикватернионы обладают следующими
свойствами: коммутативны по сложению, и
не коммутативны по умножению; ассоциатив
ны по сложению и по умножению; дистри
бутивны.
Из выражения 6 следует, что бикватер
нион состоит из двух кватернионов:




Dk
C
Bi
A
E
dk
c
i
a

E

o











'
,
8
где
E
 мнимая единица удвоения кватерни
онов. Такое представление бикватерниона
всегда возможно, и оно единственно. Про
из
ведение двух бикватернионов






11'1
oE

,






2
'
2
2
E

o


, с
учетом записи 8, можно рассматривать сле
дующим образом:






















2
'
2
1
'
1
2
1
E

E

o
o
9




















2
'
1
2
1
'
2
'
1
'
2
1




E












,
где произведения




2
1



,




2
'
1
'



,




2
1
'



,




2
'
1



выполняются в соответ
ствии с правилами умножения кватернионов.
Сопряжение бикватерниона образуется
сменой знаков у компонент, в образовании
мнимых единиц которых участвовали мни
мые единицы:
*
oaicdkAEBICDK

.10
Скалярная часть бикватерниона:
E
A
a
o



скал
.
11
Векторная часть бикватерниона би
вектор:
K
D

C
I
B
k
d

c
i

o












век
.
12
Рис.6.
Аналитическая модель динамического
3
D
изображения группового точечного объекта
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
i

k
E
I

K
K
i
k

I
E
K



k
i

K
E
I
I
k

i
K

I
E
E
E
I

K
i

k
k
I
E
K

i
k



K
E
I

k
i
i
K

I
E
k

i
K

I
E
k

i





























1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
i

k
E
I

K
K
i
k

I
E
K



k
i

K
E
I
I
k

i
K

I
E
E
E
I

K
i

k
k
I
E
K

i
k



K
E
I

k
i
i
K

I
E
k

i
K

I
E
k

i




























7
204
Известия Самарского научного центра Российской академии наук, т.6, №1, 2004

Любой бикватернион можно предста
вить в виде суммы скалярной и векторной
частей:
век
скал
o
o
o


.
13
Определим правый обратный бикватер
нион
'
1
EQ
Q
o



такой, что
о




1
'
'
1





EQ
Q
E

oo
.
14
Из выражения 9 следует, что для нахож
дения правого обратного бикватерниона тре
буется выполнение двух равенств:







.
0
'
'
,
1
'
'
Q
Q

Q

Q
Тогда параметры обратного бикватерни
она имеют вид:























.
0
'
,
0
'
'
,
0
;
0
'
'
,
'
'
1
1
1
1


и

Q
Q

при
Q


Q




Q
15
где
1


 обратный кватернион;
'
'
1




,
Q


'
1

 произведения кватернионов.
Обратный кватернион


1
1
'
'







существует в том и только в том случае,
когда
0
'
'
1







.
16
В случае не выполнения условия 16
обратного правого бикватерниона не суще
ствует. Определим общий вид бикватернио
на
o
, не имеющего правого обратного. Для
этого требуется решить уравнение вида:
0
'
'
1







.
17
Таким образом, из уравнения 17 сле
дует, что бикватернионы, не имеющие пра
вого обратного, можно получить из произ
вольного бикватерниона
'
E

o


с
0


,
используя




K
D

C
I
B
E

o








1
'
ноль
,
18
где
1
2
2
2



D
C
B
.
Бикватернионы, не имеющие правого об
ратного, обладают следующими свойствами:
0
*
ноль
ноль


o
o
.
19




0
2
век
ноль
2
скал
ноль


o
o
,
20
причем, бикватернион  делитель нуля
ноль
o
представляет собой нильпотенту если


0
2
скал
ноль

o
,
21
а бикватернион – делитель нуля
ноль
o
пред
ставляет собой идемпотенту если


0
2
скал
ноль

o
.
22
Матричная интерпретация
бикватернионов
Бикватернионы вида 6 можно задать
квадратной комплексной матрицей четверто
го порядка:
adiciDAiBCi
ciadiBCiDAi
DAiBCiadici
BCiDAiciadi











O
.
23
Матрицы
,,,,',',','
EIKEIK
, соответ
ствующие базисным элементам
1,,,,,,,
ikEIK
бикватерниона, выразим из
базисных матриц четырехмерного векторно
го пространствавремени
T
,
X
,
Y
,
Z
:
1000
0100
0010
0001









T
,
0001
0010
0100
1000









X
,
000
000
000
000
i
i
i
i









Y
,
0010
0001
1000
0100









Z
. 24
В результате получим:
1000
0100
0010
0001







E
,
205
Управление и моделирование
000
000
'
000
000
i
i
i
i







ETXYZ
,
25
000
000
000
000
i
i
i
i











IYZ
,
0100
1000
0001
0010









ZX
,
000
000
000
000
i
i
i
i









KXY
,
0001
0010
'
0100
1000







IXT
,
000
000
'
000
000
i
i
i
i









ZT
,
0010
0001
'
1000
0100









KXT
.
В матричных обозначениях вектор про
странствавремени определится как:











Z
Y
X
T
S
Z
Y
X
ct



























ct
Z
i
Y
X
ct
i
Y
X
Z
Z
i
Y
X
ct
i
Y
X
Z
ct
0
0
0
0
,26
где матрицы
T
,
X
,
Y
,
Z
 базисные матри
т
ри
цы четырехмерного векторного простран
ства, определенные в соответствии с выра
жением 24.
Преобразование вида
1
'


SRSR
,
27
является лоренцовым вращением простран
ствавремени. Здесь
R
 такой бикватерни
он в матричных обозначениях, что
1


RRE
,
1

R
 обратный бикватернион.
Далее запишем выражение для бикватер
нионов
R
и
1

R
. Сгруппируем слагаемые в
составе матричного представления бикватер
ниона 23, выделив векторную часть:
'''
cdBCD

BIKIK


''
cd



IKEE


'''''
BCD

IK
σEσ
,
28
где
σ
и
'
σ
 векторы пространства:
а:
00
00
00
00
dci
cid
dci
cid











σ
,
29
00
00
'
00
0
DBCi
BCiD
DBCi
BCiD











σ
.
30
В результате для бикватерниона
R
в
матричных обозначениях каноническое раз
ложение будет иметь вид:






ch2sh2


REB






cos2'si2


EEB
,






1
ch2sh2



REB






cos2si2'


EEB
. 31
Лоренцовое вращение пространства
времени 27 можно интерпретировать как:
206
Известия Самарского научного центра Российской академии наук, т.6, №1, 2004
1 Вращение в трехмерном простран
стве. К ним приходим в случае
0


,
'''
ABC

BIK
,

222
1
ABC

. 32
Тогда вращающий бикватернион
R
и
обратный к нему бикватернион
1

R
пред
ставляют собой кватернионы и имеют следу
ющий вид:






cos2si2
ABC


REIK
,






1
cos2si2
ABC



REIK
,33

 угол поворота вокруг оси
p
, с координа
тами
xA

,
yB

,
zC

.
Получаем обычные вращения в трехмер
ном пространстве.
2 Специальные преобразования Лорен
ца. К ним приходим в случае
0


,
'
C

BK
,
0
A

,
0
B

,
1
C

.
34
Тогда вращающий бикватернион
R
и
обратный к нему бикватернион
1

R
в мат
ричных обозначениях будут иметь вид:
chsh'
22





REK
,

1
chsh'
22






REK
.
35
Если исходное положение точки в про
странствевремени задавать некоторым век
тором
SctXxYyZz

, то в ре
зультате специальных преобразований Ло
ренца новое положение точки будет задавать
ся вектором


'''''
SctXxYyZz

,
где:








',
',
'chsh,
''chsh.
XX
YY
ZZct
ctctZ














36
Перепишем два последних равенства
выражения 36 в виде:














'chth,
'chth.
ZZct
ttZc









37
Выражение 37 представляет собой спе
циальное преобразование ЛоренцаЭйнштей
на. При фиксированном параметре

из вы
ражений 36 и 37 следует, что если


th
Zct


,
0
XY

, то
о
'''0
XYZ

.
Это показывает, что преобразование со
стоит в равномерном и прямолинейном сдви
ге выделенных координатных осей вдоль на
правления противоположного направлению
оси
OZ
. При таком подходе, если обозначить


th
c



, 38
вытекает условие, что скорость движения

не может быть больше скорости света
c
.
3. Прямолинейное равноускоренное
движение точки с вращением вокруг оси, за
даваемой направлением движения винтовое
движение.
Рассмотрим вращающий бикватернион
в случае, когда задающий его бивектор име
ет следующий вид:
'''
BCD

BIK
,

222
1
BCD

.
39
где
B
,
C
,
D
 задают координаты оси
си
p
вдоль которой происходит движение и вра
щение точки. Тогда вращающий и обратный
к нему бикватернионы имеют следующий
вид:






ch2sh2'''
BCD




REIK






cos2si2
BCD




EIK




ch2cos2


E






ch2si2
BCD


IK






sh2cos2'''
BCD


IK




sh2si2'


E
,




1
ch2cos2



RE






ch2si2
BCD


IK






sh2cos2'''
BCD


IK




sh2si2'


E
. 
40

Рассмотренные выше виды преобразо
ваний пространствавремени: вращение, спе
циальные преобразования Лоренца и винто
вое движение можно выполнять и в виде про
207
Управление и моделирование
изведения бикватернионов вида:


~
r
o
r
o
c



, 41
где
r
 вращающий бикватернион









2
ch
2
cos
r

















k
D

C
i
B
2
ch
2
si










E
2
si
2
sh






K
D

C
I
B










2
sh
2
cos
, 42
~
r
 “сопряженный” бикватернион к биква
терниону
r
по следующему правилу:
:









2
ch
2
cos
~
r

















k
D

C
i
B
2
ch
2
si










E
2
si
2
sh






K
D

C
I
B










2
sh
2
cos
, 43
o
 бикватернион, соответствующий исходно
му вектору пространствавремени

z
Z
y
Y
x
X
t
c
S










Z
Y
X
t
c
o
0
0
0
0


, 44


c
o
 бикватернион, соответствующий
полученному в результате лоренцового
вращения вектору пространства времени
z
Z
y
Y
x
X
t
c
S








'
'
'
'
'




'
'
'
0
0
0
0
'
Z
Y
X
t
c
o
c


, 45
B
,
C
и
D
 координаты оси вращения – дви
жения, такие , что
1
2
2
2



D
C
B
.
Отличие представления лоренцового вра
щения пространствавремени в виде 41 от
матричного 27 заключается в том, что в вы
ражении 41 вместо обратного бикватернио
на
1

r
, как это было в матричном представ
лении 
1

R
, используется “сопряженный”
бикватернион 43. Это связано с тем, что пред
ставление вектора пространствавремени в
матричном виде, отличается от матричного
представления вектора пространства.
Пространства бикватернионных
сигналов
Рассмотрим два бикватернионных сиг
нала




1
,
0


N

o
O
и




1
,
0


N

u
U
, где
де
каждый бикватернионный ЭВ в общем виде
соответствует выражению 6. Бикватернион
ный сигнал можно рассматривать как элемент
N
мерного линейного пространства
N
O
.
Произведение и сложение бикватернионных
сигналов выполняется поэлементно. В ре
зультате сложения или умножения полных
бикватернионных сигналов образуется новый
бикватернионный сигнал. Бикватернионный
сигнал обладает структурой ассоциативного
кольца. В силу того, что операция умноже
ния над кольцом бикватернионов
O
являет
ся некоммутативной, будем различать правое
N
O
линейное пространство бикватернион
ных сигналов, в котором умножение биква
тернионного сигнала




1
,
0


N

o
O
на ска
ляр
o
при
N
O

O
,
O
o

, удовлетворяет
следующим аксиомам:
а
N
O
o


O
,
б


o
o






U
O
U
O
0
,
в


2
1
2
1
o
o
o
o






O
O
O
,
г




o
o
o
o





O
O
,
д
O
O


1
.
Скалярное произведение в пространстве
N
O
при ортонормированном базисе имеет
вид:










1
0
*
,
N



o
U
O
.
46
Евклидовую норму произвольного биква
тернионного сигнала
O
можно выразить, ис
пользуя свойство скалярного произведения:











1
0
7
0
2
,
N

l
l

o
O
O
O
. 47
Для любых двух бикватернионных сиг
налов
O
и
U
справедливо неравенство
о
КошиБуняковского:


2
2
2
,
U
O
U
O


. 48
Нормированное скалярное произведе
ние зададим выражением:
208
Известия Самарского научного центра Российской академии наук, т.6, №1, 2004


U
O
U
O



,
cos
. 49
В рассматриваемом евклидовом биква
тернионном пространстве
N
O
со скалярным
произведением контуров пространственно
временных изображений 46 введем рассто
яние между двумя бикватернионными сигна
лами:
U
O


R
. 50
Используя выражение 50 можно за
писать:
Введенное представление удовлетворя
ет следующим условиям:
0
,

O
O
R
,
O
U
U
O
,
,
R
R

.
Евклидовое бикватернионное простран
ство
N
ой размерности является полным.
Спектральный анализ
бикватернионных сигналов
В работе 9 для спектрального и корре
ляционного анализа кватернионных сигналов
предлагается использовать базисные функ
ции неприводимых представлений ортого
нальной группы


3
O
, которые представля
ют собой сферические гармоники. Для спек
трального анализа бикватернионных сигна
лов можно также использовать базисные фун
кции неприводимых представлений ортого
нальной группы


d
O
. При использовании
процедуры удвоения для формирования ги
перкомплексной системы получим, что раз
мерность пространства
d
 кратна степени 2
для бикватернионов
8
2
3


d
. При этом
м
полярный вектор в гиперкомплексном про
странстве, кроме
2

d
, всегда содержит не
четное количество координат, так как нуле
вая компонента ЭВ  представляет собой ска
ляр, не имеющий отношения к простран
ственным координатам полярного вектора.
Рассмотрим неприводимые представления
ортогональной группы


d
O
только для не
четных
8

d
.
Правило построения неприводимых
представлений ортогональной группы


d
O
имеет следующий вид: все допустимые схе
мы для заданного значения
d
определяют
ся, полагая
,...
2
,
1
,
0

r
и отбирая неотрица
тельные числа

, удовлетворяющие урав
нению:
r








...
2
1
, 52
где







...
2
1
, причем некоторые из
чисел

могут быть нулями;


2
d
, если
d
четно, и
1
2



d
, если
d
нечетно.
При
3

d
:
1


. Поэтому неприводи
мые представления группы


3

O
описыва
ются одним значком
1

. Базисными функци
ями служат симметрические тензоры
1

го
о
ранга с нулевым следом.
При
5

d
:
2


. Следовательно, непри
водимые представления группы


5

O
харак
теризуются двумя целыми числами


2
1


,
причем
2
1



.
При
7

d
:
3


. Следовательно, не
приводимые представления группы


7

O
характеризуются двумя целыми числами


3
2
1



, причем
3
2
1





.
Работа выполнена при финансовой под
держке гранта РФФИ №040100243.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
Журавлев Ю.И.
Об алгебраическом под
ходе к решению задач распознавания и
классификации // Проблемы кибернети
ки. Вып. 53. М.: Наука, 1978.
2.
Гуревич И.Б., Журавлев Ю.И., Сметанин
Ю.Г.
Алгебры изображений: исследова
тельские и прикладные задачи/ Труды IV
конференции РОАИ. Новосибирск, 1998.
3.
Suder M.A
. Coet o Iorace, Myopia
ad Novelette i Coputer Visio Systes/
/ CVGIP: Iae Uderstad. 1991. Vol.53.
№1.


U
O
U
O
U
O
,
2
2






R





O
U
U
O
U
O
,
,
2
2




51
209
Управление и моделирование
4.
ai R.C., Biford T.O.
Revolutios ad
experietal coputer visio// CVGIP:
Iae Uderstad. 1991. Vol.53. №1.
5.
Фурман Я.А., Кревецкий А.В., Передреев
А.К., Роженцов А.А., Хафизов Р.Г., Егоши
на И.Л., Леухин А.Н.
Введение в контур
ный анализ; приложения к обработке изоб
ражений и сигналов. М.: Физматлит, 2003.
6.
Фурман Я.А., Кревецкий А.В., Роженцов
А.А., Хафизов Р.Г., Леухин А.Н.,
Егошина
И.Л.
Комплекснозначные и гиперкомплек
сные системы в задачах обработки мно
MATHEMATICAL MODELS OF DYNAMIC IMAGES
ON THE BASE OF HIPERCOMPLEX ALGEBRA

2004 A.N. Leukhi
Mari State Techical Uiversity
Iaes odels of dyaic 3
D
rouped poit oects o the aer of iuaterio vectors uch are
offered this paper. Liear space of iuaterio vectors uch is cosidered. Scalar product ad Euc
lidia
space, ad Hilert space of cotour sials of dyaic 3
D
iaes are ive. Biuaterio alera
isoorphis with special type coplex atrixes of forth order is show. Lorez rotatio i spaceti
e
are cosidered i iuaterio odel. The asis fuctios for spectral aalysis of iuaterio si
als o
the ase of o rouht represetatios of orthooal roup


d
O
are desied.
гомерных сигналов. М.: Физматлит, 2004.
7.
Daveport C.M.
Coutative Hyper
Coplex Calculus with Applicatios to
Special Relativity. Koxville, Teesse,
1991.
8.
Clifford W.K.
Preliiary Sketch of
Biuaterios. – Proc. Lodo Math. Soc.
Vol.4. 1873.
9.
Leukhi A.N.
Paraeter Estiatio of
Quaterio Sial Rotatio o the Base of
Spherical Aalysis // Patter Recoitio ad
Iae Aalysis. Vol.13. No.1. 2003.

Приложенные файлы

  • pdf 4346606
    Размер файла: 425 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий