Дифференциальная геометрия. Теория функций комплексного переменного. > основные алгебраические структуры (группы, кольца, поля, полукольца) и их основные их свойства.



«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана»
(МГТУ им.Н.Э.Баумана)

УТВЕРЖДАЮ
Первый проректор
проректор по учебной работе
МГТУ им. Н.Э. Баумана
_______________ Е.Г. Юдин
«___» «___________» 2008 г.

Дисциплина для учебного плана специальности(ей): 2304010065, 1404000062
Факультета(ов) – ФН (каф.ФН-2, ФН-4)

Алгебра

Автор(ы): Канатников А.Н.
Кафедра ФН-12, «Математическое моделирование»

Виды занятий
Объем занятий, час


Всего
02 семестр
17 недель
03 семестр
17 недель



Лекции
68
34
34



Семинары
51
34
17



Лабораторные работы
(
(
(



Самостоятельная работа
51
34
17



Итого:
170
102
68



Проверка знаний:

экзамен
зачет





Виды самостоятельной работы и контрольных мероприятий
Объем, час / выполнение, неделя выдачи-сдачи


Всего, час
02 семестр
17 недель
03 семестр
17 недель



Домашнее задание №1
№2
25
10/7-12
10/9-13



Рубежный контроль №1
№2
4
2/14
2/10



Контрольная работа №1
№2






Курсовой проект
(
(
(



Курсовая работа
(
(
(




Москва, 2008

Программа составлена на основании Государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования в соответствии с требованиями к обязательному минимуму содержания основной образовательной программы по специальностям 2304100065 «Прикладная математика» и 1404000062 «Техническая физика».
Раздел 1. Цели и задачи дисциплины.
Цель дисциплины:

·
формирование у будущих специалистов твердых теоретических знаний в области современной алгебры, необходимых для использования в других математических дисциплинах, а также в решении различных прикладных задач.

Задачами дисциплины является изучение:

·
изучение основ линейной алгебры, включая теорию линейных пространств, теорию евклидовых пространств, теорию линейных операторов, теорию квадратичных форм, элементы тензорной алгебры;


·
Изучение основ общей алгебры, включая элементы теории множеств и математической логики, основные алгебраические структуры.

Примечание.
Изучение данной дисциплины базируется на следующих курсах (разделах курсов):
Аналитическая геометрия.
Математический анализ (введение в анализ, дифференциальное исчисление).
После освоения данной дисциплины студент подготовлен для изучения следующих курсов учебного плана:
Дифференциальное исчисление функций многих переменных.
Дифференциальные уравнения.
Интегральное исчисление функций многих переменных.
Дифференциальная геометрия.
Теория функций комплексного переменного.
Функциональный анализ.
Дискретная математика.
Методы оптимизации и вариационное исчисление.
Раздел 2. Знания, умения и навыки, получаемые после освоения дисциплины.
2.1. Студент должен знать:

·
основные понятия линейной алгебры (линейное, евклидово, нормированное пространства, базис, линейные операторы, квадратичные формы, тензоры);


·
основные алгебраические структуры (группы, кольца, поля, полукольца) и их основные их свойства.

2.2. Студент должен уметь:

·
распознавать в конкретных математических моделях основные алгебраические структуры и анализировать модели на основе таких структур;


·
оперировать символьными представлениями объектов линейной и общей алгебры, выполнять преобразования алгебраических выражений в различных алгебраических структурах.


Понятия: линейная алгебра, линейные пространства; базис; скалярное произведение, квадратичная форма, тензор, группа, кольцо, полукольцо, поле.
Методики расчета: ( нет.
Приборы и изделия: ( нет.
2.3. Студент должен иметь навыки:

·
решения типовых задач линейной алгебры (преобразование координат векторов, матриц линейных операторов и квадратичных форм, координат тензоров при замене базиса, анализировать свойства линейных операторов, квадратичных форм и приводить их к каноническому виду);


·
решения типовых задач общей алгебры (задачи, связанные с множествами и отношениями, задачи на распознавание основных алгебраических структур, решение уравнений и систем в конечных полях, задачи на факторизацию основных алгебраических структур).


Раздел 3. Содержание дисциплины.

п/п
Раздел дисциплины
Лекции,
ч.
Семинары,
ч.
Лабораторные работы,
ч.
Литература


2 семестр
34
34
(


3.1.
Линейные пространства
5
2
(
[1, гл.1]

3.2.
Линейные подпространства
3
4
(
[1, гл.2]

3.3.
Евклидовы пространства
4
4
(
[1, гл.2]

3.4.
Псевдообратная матрица
4
4
(
[1, д3.3]

3.5.
Линейные операторы
8
6
(
[1, гл.2]

3.6.
Жорданова нормальная форма
3
6
(
[4, гл.2§4]

3.7.
Квадратичные формы
3
4
(
[1, гл.8]

3.8.
Элементы тензорной алгебры
4
4
(
[1, гл.10]


3 семестр
34
17
(


3.9.
Множества и отношения
6
3
(
[2, гл.1]

3.10.
Группы, кольца и поля
8
5
(
[3, гл.4]

3.11.
Модули и алгебры
4
2
(
[5, гл.4§3-4]

3.12.
Кольцо многочленов
6
2
(
[3,гл.5§2-3]

3.13.
Упорядоченные множества
3
2
(
[2, 1.8]

3.14.
Полукольца и булевы алгебры
7
3

[2, гл.3]

Содержание:
3.1. Линейные пространства
Определение и свойства линейного пространства. Примеры линейных пространств. Линейная зависимость векторов. Базис линейного пространства и координаты. Размерность линейного пространства. Линейные операции в координатах. Преобразование координат при замене базиса. Комплексное линейное пространство.
3.2. Линейные подпространства
Определение подпространства. Сумма и пересечение подпространств. Теорема о размерностях суммы и пересечения. Явное и неявное описание подпространства. Прямая сумма подпространств. Линейные оболочка и ранг системы векторов. Прямое дополнение. Проекция на подпространство.
3.3. Евклидовы пространства
Определение и примеры. Неравенство Коши  Буняковского. Нормированные пространства. Евклидова норма. Ортогональные системы векторов. Ортогональное дополнение. Ортонормированные базисы и вычисления в них. Процесс ортогонализации Грама  Шмидта. Скалярное произведение в комплексном линейном пространстве.
3.4. Псевдообратная матрица
Несовместные системы и метод наименьших квадратов. Геометрическая интерпретация. Расстояние от вектора до подпространства. Псевдорешения и их свойства. Псевдообратная матрица. Критерии псевдообратной матрицы. Способы вычисления псевдообратной матрицы и псевдорешений. Ортогональное проектирование с помощью псевдообратной матрицы.
3.5. Линейные операторы
Определение и примеры. Матрица линейного оператора и ее преобразование при замене базиса. Произведение линейных операторов. Алгебра линейных операторов.
Cобственные векторы линейного оператора и их свойства. Характеристическое уравнение линейного оператора. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду.
Самосопряженные операторы и их свойства. Теорема о корнях характеристического уравнения самосопряженного оператора. Инвариантные подпространства. Теорема о приведении самосопряженного оператора к диагональному виду.
Ортогональные операторы и ортогональные матрицы. Матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому. Ортогональные преобразования матриц. Канонический вид ортогонального оператора.
Проекторы и их свойства. Операторная интерпретация псевдообратной матрицы. Псевдообратные операторы.
3.6. Жорданова нормальная форма
Корневые подпространства. Теорема о сумме корневых подпространств. Жорданвы клетки и жордановы цепочки. Канонический вид линейного оператора (жорданова нормальная форма). Характеристики, определяющие структуру канонического вида. Построение канонического (жорданова) базиса в случае отсутствия комплексных корней характеристического уравнения.
3.7. Квадратичные формы
Определение и примеры. Преобразование матрицы квадратичной формы. Квадратичные формы канонического вида. Закон инерции. Типы квадратичных форм и критерий Сильвестра. Билинейные формы.
Кривые и поверхности второго порядка и их классификация.
3.8. Элементы тензорной алгебры
Сопряженное пространство. Векторы и ковекторы. Взаимные базисы. Рефлексивность конечномерного линейного пространства. Сопряженный оператор в произвольном линейном пространстве. Полилинейные формы. Их запись в базисе и закон преобразования при замене базиса. Тензоры и операции над ними.
3.9. Множества и отношения
Понятия множества. Алгебра множеств. Кортеж и декартово произведение. Отображения и соответствия. Отношения и алгебраические операции. Элементы математической логики. Мощность множества и теорема Кантора  Бернштейна.
3.10. Группы, кольца и поля
Алгебраические операции, формы их записи. Алгебраические структуры и их классификация. Группоиды, полугруппы, моноиды и группы. Примеры. Подгруппы. Образующие. Конечные группы. Теорема Лагранжа. Морфизмы групп. Факторгруппа. Определение кольца и его общие свойства. Специальные типы колец. Поля. Морфизмы колец и полей. Факторкольца.
3.11. Модули и алгебры
Понятие о модулях. Примеры. Фактормодули. Точные модули. Свободные модули и понятие базиса. Алгебры над полем. Примеры. Алгебры с делением и теорема Фробениуса.
3.12. Кольцо многочленов
Кольцо многочленов. Алгебраическая и функциональная точки зрения на многочлен. Теория делимости в кольце многочленов над полем. Алгебра кватернионов.
3.13. Упорядоченные множества
Отношение порядка. Монотонные отображения. Наибольший (наименьший) и максимальный (минимальный) элементы. Точная верхняя (нижняя) грань. Индуктивные множества и теорема о неподвижной точке.
3.14. Полукольца и булевы алгебры
Полукольца и замкнутые полукольца. Ряды в полукольцах. Решение систем линейных уравнений в полукольцах. Симметричные полукольца. Решетки и булевы алгебры.

Раздел 4. Семинары.
№ п/п
Тема семинара
Объем, ч.
Литература


2 семестр
34


4.1.
Линейные пространства
2
[6, гл.4§1]

4.2.
Линейные подпространства
4
[6, гл.4§2]

4.3.
Евклидовы пространства
4
[6, гл.4§1]

4.4.
Псевдообратная матрица
4
[1, Д3.3]

4.5.
Линейные операторы
6
[6, гл.4§2]

4.6.
Жорданова нормальная форма
6
[7, §41]

4.7.
Квадратичные формы
4
[6, гл.4§3]

4.8.
Элементы тензорной алгебры
4
[7, гл.XI]


3 семестр
17


4.9.
Множества и отношения
3
[2, гл.1]

4.10.
Группы, кольца и поля
5
[7, гл.XIII,XIV]

4.11.
Модули и алгебры
2
[8, §22]

4.12.
Кольцо многочленов
2
[7, гл.6]

4.13.
Упорядоченные множества
2
[2, гл.1]

4.14.
Полукольца и булевы алгебры
3
[2, гл.3]

Содержание:
4.1. Линейные пространства
Линейные пространства, размерность, базис. Координаты вектора в базисе. Матрицы перехода. Изменение координат при замене базиса линейного пространства.
4.2. Линейные подпространства
Примеры подпространств. Ранг системы векторов. Линейная оболочка системы векторов. Явное и неявное описание подпространства. Сумма и пересечение подпространств.
4.3. Евклидовы пространства
Свойства скалярного произведения. Процесс ортогонализации Грама  Шмидта. Ортогональное дополнение. Ортогональная проекция на подпространство.
4.4. Псевдообратная матрица
Нахождение псевдорешений и нормального псевдорешения системы. Скелетное разложение. Вычисление псевдообратной матрицы.
4.5. Линейные операторы
Примеры линейных операторов. Матрица линейного оператора. Изменение матрицы линейного оператора при переходе от базиса к базису. Подобные матрицы. Собственные числа и собственные векторы линейного оператора. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду. Свойства самосопряженных операторов. Канонический вид ортогонального оператора.
4.6. Жорданова нормальная форма
Приведение матрицы линейного оператора к жордановой нормальной форме.
4.7. Квадратичные формы
Понятие квадратичной формы. Преобразование матрицы квадратичной формы при изменении базиса. Приведение квадратичной формы методом Лагранжа к нормальному виду. Приведение квадратичной формы к диагональному виду ортогональным преобразованием. Определение типа квадратичной формы. Критерий Сильвестра. Приведение уравнения линии (поверхности) 2-го порядка к каноническому виду.
4.8. Элементы тензорной алгебры
Линейные формы, их координатная запись, преобразование при замене базиса. Взаимные и биортогональные базисы. Тензоры, закон их преобразования, связь с полилинейными формами. Запись тензора малого ранга в матричной форме. Операции над тензорами, записанными в матричной форме.
4.9. Множества и отношения
Множества и операции над ними. Теоретико-множественные тождества. Метод двух включений и метод характеристических функций. Отношения, композиция отношений. Типы бинарных отношений. Фактормножества. Мощность множеств.
4.10. Группы, кольца и поля
Проверка аксиом полугруппы, моноида, группы, кольца. Подгруппы и нормальные делители. Классы смежности. Факторгруппы. Аксиомы кольца. Подкольца. Образующие. Факторкольца. Конечные поля, решение систем линейных уравнений в конечных полях.
4.11. Модули и алгебры
Проверка аксиом модуля. Левые и правые модули. Подмодули. Образующие модулей. Примеры алгебр над полем. Алгебра линейных операторов.
4.12. Кольцо многочленов
Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Алгоритм Евклида. Неприводимые многочлены. Алгебраические уравнения в конечных полях.
4.13. Упорядоченные множества
Поиск максимальных (наибольших) и минимальных (наименьших) элементов в упорядоченном множестве. Монотонность отображений, непрерывность в индуктивных множествах.
4.14. Полукольца и булевы алгебры
Аксиомы полукольца, примеры полуколец. Итерация замкнутого полукольца. Системы линейных уравнений в полукольцах. Булевы функции и их представление.
Раздел 5. Лабораторные работы ( нет.
Курсом не предусмотрено.
Раздел 6. Самостоятельная работа.
№ п/п
Тема самостоятельной работы
Объем, ч.
Литература


1 семестр
34


6.1.
Самостоятельная проработка курса лекций
24
[1, 4]

6.2.
Домашнее задание 1. Линейная алгебра
10
[1, 4, 6]


2 семестр
17


6.3.
Самостоятельная проработка курса лекций
7
[2, 3, 5]

6.4.
Домашнее задание 1. Группы, кольца, поля
10
[2, 7]

Содержание:
6.1. Самостоятельная проработка курса лекций
“Явное и неявное описание подпространств” (3 ч); “Корневые подпространства и жорданова нормальная форма” (4 ч); “Приведение уравнения линии/поверхности второго порядка к каноническому виду” (4 ч). Подготовка к рубежному контролю (4 ч.). Подготовка к экзамену (9 ч.).
Подготовка к рубежному контролю и экзамену.
Рубежный контроль №1 проводится по пп. 3.5, 3.6.
6.2. Линейная алгебра
Выдача – 07 неделя, сдача – 12 неделя.
Выполнение задания, выданного преподавателем.
6.3. Самостоятельная проработка курса лекций
Подготовка к рубежному контролю (2 ч.).
Подготовка к зачету (5 ч.).
Рубежный контроль №1 проводится по пп. 3.10, 3.11.
6.4. Группы, кольца, поля
Выдача – 09 неделя, сдача – 13 неделя.
Выполнение задания, выданного преподавателем.
Раздел 7. Курсовой проект, курсовая работа ( нет.
Курсом не предусмотрено.

Раздел 8. Учебно-методические материалы.
8.1. Основная литература.
Канатников А.Н., Крищенко А.П. Линейная алгебра: Учеб. для вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1998. –336 с.
Белоусов А.И., Ткачев С.Б. Дискретная математика. Учеб. для вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. –744 с.
А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры: Учеб. для вузов. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. – 272 с.
А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра: Учеб. для вузов. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. – 368 с.
А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры: Учеб. для вузов. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. – 272 с.
Сборник задач по математике для втузов. Ч. 1. Линейная алгебра и основы математического анализа: Учеб. пособие для вузов / Под ред. А.В. Ефимова и Б.П. Демидовича. 2-е изд., – М.: Наука, 1986. – 428 с.
Сборник задач по алгебре / Под ред. А.И. Кострикина. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. – 464 с.
Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. 5-е изд. – М.: Наука, 1974. – 384 с.
8.2. Дополнительная литература.
Власов П.А., Кавинов А.В., Канатников А.Н. Алгебра: Метод. указания к выполнению домашнего задания. – М.: МГТУ, 2007. 80 с.
Крищенко А.П. Линейные пространства. Линейные операторы. – М.: Изд-во МГТУ, 1988.
Пугачев О.В., Стась Г.П., Чередниченко А.В. Квадратичные формы и их геометрические приложения. Методические указания к выполнению типового расчета. – М.: МГТУ, 2004. – 59 с.
Ильичев А.Т., Крапоткин В.Г., Савин А.С. Линейные операторы. Методические указания к выполнению типового расчета. – М.: МГТУ, 2003. – 36 с.
Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. 6-е изд., стереотип. – М.: Наука, 1984. – 319 с.
8.3. Наглядные материалы и пособия ( нет.



Программа составлена: доцент, Канатников А.Н. ______________


Программа обсуждена и одобрена на заседании кафедры ФН-12

Заведующий кафедрой ФН-12
Крищенко А.П. ___________________ «____» __________ 2008 г.



Руководитель НУК ФН
Назаренко Б.П. ___________________ «____» __________ 2008 г.



СОГЛАСОВАНО:


Заведующий кафедрой ФН-2
Кувыркин Г.Н. ___________________ «____» __________ 2008 г.





Председатель Учебно-методической комиссии факультета ФН
Гладышев В.О. ___________________ «____» __________ 2008 г.





Начальник Методического отдела
Васильев Н.В. ___________________ «____» __________ 2008 г.











Алгебра
ФН-12





13PAGE 15


13PAGE 14915
документ из 9 страниц

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования






Приложенные файлы

  • doc 4342665
    Размер файла: 327 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий