Поле бесконечной однородно заряженной плоскости 2.5.2. Поле двух равномерно заряженных плоскостей 2.5.3. Поле заряженного бесконечного цилиндра (нити) 2.5.4. Поле двух коаксиальных цилиндров


Чтобы посмотреть презентацию с картинками, оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов презентации:

Кузнецов Сергей Иванович доцент кафедры ОФ ЕНМФ ТПУ Электростатика Тема 2. ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО-ГАУССА 2.1. Силовые линии электростатического поля2.2. Поток вектора напряженности2.3. Теорема Остроградского-Гаусса2.4. Дифференциальная форма теоремы Остроградского-Гаусса2.5. Вычисление электростатических полей с помощью теоремы Остроградского - Гаусса2.5.1. Поле бесконечной однородно заряженной плоскости2.5.2. Поле двух равномерно заряженных плоскостей2.5.3. Поле заряженного бесконечного цилиндра (нити)2.5.4. Поле двух коаксиальных цилиндров с одинаковой линейной плотностью заряда, но разным знаком2.5.5. Поле заряженного пустотелого шара2.5.6. Поле объемного заряженного шара 2.1. Силовые линии электростатического поля2.2. Поток вектора напряженности2.3. Теорема Остроградского-Гаусса2.4. Дифференциальная форма теоремы Остроградского-Гаусса2.5. Вычисление электростатических полей с помощью теоремы Остроградского-Гаусса2.5.1. Поле бесконечной однородно заряженной плоскости2.5.2. Поле двух равномерно заряженных плоскостей2.5.3. Поле заряженного бесконечного цилиндра (нити)2.5.4. Поле двух коаксиальных цилиндров с одинаковой линейной плотностью заряда, но разным знаком2.5.5. Поле заряженного пустотелого шара2.5.6. Поле объемного заряженного шара 2.1. Силовые линии электростатического поля Теорема Остроградского-Гаусса, которую мы докажем и обсудим позже, устанавливает связь между электрическими зарядами и электрическим полем. Она представляет собой более общую и более изящную формулировку закона Кулона. Остроградский Михаил Васильевич (1801 – 1862) отечественный математик и механик. Учился в Харьковском ун-те (1816 – 1820), совершенствовал знания в Париже (1822 – 1827). Основные работы в области математического анализа, математической физики, теоретической механики. Решил ряд важных задач гидродинамики, теории теплоты, упругости, баллистики, электростатики, в частности задачу распространения волн на поверхности жидкости (1826 г.). Получил дифференциальное уравнение распространения тепла в твердых телах и жидкостях. Известен тео­ремой Остроградского-Гаусса в электро­статике (1828 г.). Гаусс Карл Фридрих (1777 – 1855) немецкий математик, астроном и физик. Исследования посвящены многим разделам физики. В 1832 г. создал абсолютную систему мер (СГС), введя три основных единицы: единицу времени – 1 с, единицу длины – 1 мм, единицу массы – 1 мг.В 1833 г. совмест­но с В. Вебером построил первый в Герма­нии электромагнитный телеграф. Еще в 1845 г. пришел к мысли о конечной скорости распростране­ния электромагнитных взаимодействий. Изу­чал земной магнетизм, изобрел в 1837 г. униполярный магнитометр, в 1838 г. – бифилярный. В 1829 г. Сформулировал принцип наименьшего принуждения (принцип Гаусса). Один из первых высказал в 1818 г. предположение о возможности существования неевклидовой геометрии. Основная ценность теоремы Остроградского-Гаусса состоит в том, что она позволяет глубже понять природу электростатического поля и устанавливает более общую связь между зарядом и полем. силовые линии – это линии, касательная к которым в любой точке поля совпадает с направлением вектора напряженности Однородным называется электростатическое поле, во всех точках которого напряженность одинакова по величине и направлению, т.е. Однородное электростатическое поле изображается параллельными силовыми линиями на равном расстоянии друг от друга В случае точечного заряда, линии напряженности исходят из положительного заряда и уходят в бесконечность; и из бесконечности входят в отрицательный заряд. Т.к. то густота силовых линий обратно пропорциональна квадрату расстояния от заряда Для системы зарядов, как видим, силовые линии направлены от положительного заряда к отрицательному Густота силовых линий должна быть такой, чтобы единичную площадку, нормальную к вектору напряженности пересекало такое их число, которое равно модулю вектора напряженности , т.е. если на рисунке выделить площадку то напряженность изображенного поля будет равна 2.2. Поток вектора напряженности Полное число силовых линий, проходящих через поверхность S называется потоком вектора напряженности Ф через эту поверхность В векторной форме можно записать – скалярное произведение двух векторов, где вектор . Таким образом, поток вектора есть скаляр, который в зависимости от величины угла α может быть как положительным, так и отрицательным. Для первого рисунка – поверхность А1 окружает положительный заряд и поток здесь направлен наружу, т.е. Поверхность А2 – окружает отрицательный заряд, здесь и направлен внутрь. Общий поток через поверхность А равен нулю.Опишите второй рисунок самостоятельно. 2.3. Теорема Остроградского-Гаусса Итак, по определению, поток вектора напряженности электрического поля равен числу линий напряженности, пересекающих поверхность S. поток вектора напряженности через произвольную элементарную площадку dS будет равен:Т.е. в однородном поле В произвольном электрическом поле Подсчитаем поток вектора через произвольную замкнутую поверхность S, окружающую точечный заряд q . Окружим заряд q сферой S1. Центр сферы совпадает с центром заряда. Радиус сферы S1 равен R1. В каждой точке поверхности S1 проекция Е на направление внешней нормали одинакова и равна Тогда поток через S1 Подсчитаем поток через сферу S2, имеющую радиус R2: Из непрерывности линии следует, что поток и через любую произвольную поверхность S будет равен этой же величине:– теорема Гаусса для одного заряда. Для любого числа произвольно расположенных зарядов, находящихся внутри поверхности:– теорема Гаусса для нескольких зарядов. Поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность в вакууме равен алгебраической сумме всех зарядов, расположенных внутри поверхности, деленной на ε0. Полный поток проходящий через S3, не охватывающую заряд q, равен нулю: Таким образом, для точечного заряда q, полный поток через любую замкнутую поверхность S будет равен: – если заряд расположен внутри замкнутой поверхности; – если заряд расположен вне замкнутой поверхности; этот результат не зависит от формы поверхности, и знак потока совпадает со знаком заряда. Электрические заряды могут быть «размазаны» с некоторой объемной плотностью различной в разных местах пространства:Здесь dV – физически бесконечно малый объем, под которым следует понимать такой объем, который с одной стороны достаточно мал, чтобы в пределах его плотность заряда считать одинаковой, а с другой – достаточно велик, чтобы не могла проявиться дискретность заряда, т.е. то, что любой заряд кратен целому числу элементар-ных зарядов электрона или протона . Суммарный заряд объема dV будет равен:Тогда из теоремы Гаусса можно получить:– это ещё одна форма записи теоремы Остроградского-Гаусса, если заряд неравномерно распределен по объему. 2.4. Дифференциальная форма теоремы Остроградского-Гаусса Пусть заряд распределен в пространстве V, с объемной плотностью . Тогда Теперь устремим , стягивая его к интересующей нас точке. Очевидно, что при этом будет стремиться к ρ в данной точке, т.е.Величину, являющуюся пределом отношения к V, при , называют дивергенцией поля Е и обозначается . Дивергенция поля Е .(2.4.1)Аналогично определяется дивергенция любого другого векторного поля. Из этого определения следует, что дивергенция является скалярной функцией координат. В декартовой системе координат Итак, (2.4.3) Это теорема Остроградского-Гаусса в дифференциальной форме.Написание многих формул упрощается, если ввести векторный дифференциальный оператор (Набла) где i, j, k – орты осей (единичные векторы). Сам по себе оператор смысла не имеет. Он приобретает смысл в сочетании с векторной или скалярной функцией, на которую символично умножается:дифференциальная форма теоремы Остроградского-Гаусса. В тех точках поля, где – (положительные заряды) источники поля, где – стоки (отрицательные заряды). Линии выходят из источников и заканчиваются в стоках. 2.5. Вычисление электрических полей с помощью теоремы Остроградского-Гаусса2.5.1. Поле бесконечной однородно заряженной плоскости Поверхностная плотность заряда на произвольной плоскости площадью S определяется по формуле: dq – заряд, сосредоточенный на площади dS; dS – физически бесконечно малый участок поверхности. Представим себе цилиндр с образующими, перпендикулярными плоскости, и основаниями ΔS, расположенными симметрично относительно плоскостиТогда Суммарный поток через замкнутую поверхность (цилиндр) будет равна:Внутри поверхности заключен заряд . Следовательно, из теоремы Остроградского-Гаусса получим:откуда видно, что напряженность поля плоскости S равна: (2.5.1) 2.5.2. Поле двух равномерно заряженных плоскостей Пусть две бесконечные плоскости заряжены разноименными зарядами с одинаковой по величине плотностью σ Результирующее поле, как было сказано выше, находится как суперпозиция полей, создаваемых каждой из плоскостей. Тогда внутри плоскостейВне плоскостей напряженность поля Полученный результат справедлив и для плоскостей конечных размеров, если расстояние между плоскостями гораздо меньше линейных размеров плоскостей (плоский конденсатор). Распределение напряженности электростатического поля между пластинами конденсатора показано на рисунке: Между пластинами конденсатора действует сила взаимного притяжения (на единицу площади пластин): т.е. Механические силы, действующие между заряженными телами, называют пондермоторными. Сила притяжения между пластинами конденсатора: где S – площадь обкладок конденсатора. Т.к. Это формула для расчета пондермоторной силы 2.5.3. Поле заряженного бесконечного цилиндра (нити) Пусть поле создается бесконечной цилиндрической поверхностью радиуса R, заряженной с постоянной линейной плотностью где dq – заряд, сосредоточенный на отрезке цилиндра Представим вокруг цилиндра (нити) коаксиальную замкнутую поверхность (цилиндр в цилиндре) радиуса r и длиной l (основания цилиндров перпендикулярно оси). Для оснований цилиндров для боковой поверхности т.е. зависит от расстояния r.Следовательно, поток вектора через рассматриваемую поверхность, равен При на поверхности будет заряд По теореме Остроградского-Гаусса ТогдаЕсли , т.к. внутри замкнутой поверхности зарядов нет. Графически распределение напряженности электростатического поля цилиндра показано на рис 2.5.4. Поле двух коаксиальных цилиндров с одинаковой линейной плотностью λ, но разным знаком Внутри меньшего и вне большего цилиндров поле будет отсутствовать В зазоре между цилиндрами, поле определяется так же, как в п. 2.5.3: Таким образом для коаксиальных цилиндров имеем: Это справедливо и для бесконечно длинного цилиндра, и для цилиндров конечной длины, если зазор между цилиндрами намного меньше длины цилиндров (цилиндрический конденсатор). 2.5.5. Поле заряженного пустотелого шара Вообразим вокруг шара – сферу радиуса r (рис). Если то внутрь воображаемой сферы попадет весь заряд q, распределенный по сфере, тогдаоткуда поле вне сферы:Внутри сферы, при поле будет равно нулю, т.к. там нет зарядов: Как видно, вне сферы поле тождественно полю точечного заряда той же величины, помещенному в центр сферы. 2.5.6. Поле объемного заряженного шара Для поля вне шара радиусом R получается тот же результат, что и для пустотелой сферы, т.е. справедлива формула: Внутри шара при сферическая поверхность будет содержать в себе заряд, равныйгде ρ – объемная плотность заряда: объем шара: Тогда по теореме Остроградского-Гаусса запишем Т.е. внутри шара Т.е., внутри шара имеем Таким образом, имеем: поле объемного заряженного шара

Приложенные файлы

  • ppt 3412027
    Размер файла: 2 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий